Задания

Уравнение Максвелла, оптическая часть спектра

,

, (7.1)

,

,

.





Граничные условия:

, . (7.2)




а б в


На границе (плоскость ХY):

, (7.3)

,.

Кинематические следствия:

1) , ;

2) , (7.4)

плоскости .

Плоскость падения – плоскость образованная нормалью к границе раздела сред (ось ) и падающим лучом (вектор ).

.





(7.5)


а) Пусть , тогда (7.4) . (7.6)

Но . (7.7)

Отраженный и переломленный лучи лежат в плоскости падения.


б) Пусть ,тогда (7.4)

. (7.8)




; (7.9)

2.


. (7.10)


Закон преломления Снеллиуса.




, (7.11)

где , , ,

и – соответственно фазовые скорости света в 1-ой и 2-ой среде.

,

,

. (7.12)

,

,

. (7.13)




Плоскую волну, вектор которой произвольно ориентирован относительно плоскости падения (именно – составляет угол с плоскостью падения) можно разложить на сумму волн, у одной из которых напряженность электрического поля лежит в плоскости падения, а у другой перпендикулярно ей. Изучив поведения этих волн при отражении и преломлении прямым применением принципа суперпозиции с учетом аддитивности плотности потока энергии, получим все характеристики волны с произвольной ориентировкой напряженности электрического поля.


Рис 7.2а, (7.2), (7.3)


(7.14)


def: , (7.15)


def: . (7.16)


рис. 7.2б, (7.2),(7.3)


(7.17)


def: . (7.18)


def: . (7.19)








def: - коэффициенты Френеля


Замечание. Полученные соотношения (7.15),(7.16),(7.18),(7.19) и рис 7.4 соответствуют случаю и выбранному направлению векторов и на Рис. 7.2.

Отрицательные значения коэффициента и означают, что при соответствующих значениях угла падения направление векторов и принимают направление противоположное показанному на рис. 7.2 направлению.

Следствие

1. При отражении от оптически более плотной среды () и углах падения () фаза обеих ( и ) компонент электрического вектора противоположна фазе падающего (скачок фазы ), и совпадает с фазой падающей волны при . В частности, это имеет место и при нормальном падении (). Явление потери полуволны ( Δφ = π ) при отражении от оптически более плотной среды () имеет важное значение в интерференционных установках.

2. При больших углах падения () и отражения от более плотной среды и противоположны по знаку, а и совпадают по фазе. Наоборот, при больших углах и ()и совпадают по фазе, а и противоположны по знаку.

3. Преломленная волна во всех случаях ( и ) и при любых углах сохраняет без изменений фазу падающей волны.

4. При (нормальное падение) ,. (7.20)

5. При (скользящее падение) , то есть происходит полное отражение света. При этом сдвиг фазы компонентов и определяется согласно пункту 2. Очевидно, что в этом случае.

6. Особый случай: , ,, (7.21) что видно непосредственно из (7.15). Угол падения , при котором обращается в нуль коэффициент Френеля , называется углом Брюстера:

.

Отсюда , (7.22)

При угле падения :, (7.23)

где n – относительный показатель преломления

, (7.24)

Примеры: стекло с ,

вода с .

7. При падении света под углом Брюстера независимо от направления электрического вектора отраженный пучок имеет направление колебаний только перпендикулярные плоскости падения. Иначе: независимо от поляризации падающего пучка под углом Брюстера отраженный пучок поляризован перпендикулярно плоскости падения.

8. Из формул Френеля следует, что компоненты и совпадают по фазе, пока угол падения меньше угла Брюстера (), и становиться противоположным по фазе, когда . Таким образом при угле Брюстера происходит скачок фазы колебаний на .

Энергетические соотношения на границе раздела сред

Граница – плоскость :







, где

,

, ;

, . (7.25.)

(7.26)

, (7.27)

(7.28)

,

, (7.29)

.


Закон сохранения энергии:


Падающий на поверхность поток энергии равен сумме потоков энергии отраженной и прошедшей через поверхность


,

. (7.30)

Введем коэффициенты отражения и прохождения: и

(7.31)









Аналогично получим:

(7.32)

Напомним, что индекс означает, что оба коэффициента и следует относить к падающей на поверхность линейно поляризованной электромагнитной волне, при этом вектор составляет с плоскостью падения угол .


Для того, чтобы получить аналогичные соотношения для неполяризованной волны, достаточно полученные выражения усреднить по всевозможным значениям в интервале , т. е.

,

(7.33)

Упражнение: Проверить, что , для этого достаточно убедиться, что

и .

Неполяризованная волна после отражения становится частично поляризованной. Вычислим степень поляризации отраженной волны:

(7.34)

Если отражается линейно поляризованная волна, то отраженная компонента остается линейно поляризованной, однако вектор составляет угол с плоскостью падения, где нетрудно вычислить:



(7.35)

Аналогичные соотношения нетрудно получить для преломленной компоненты.


Естественный и поляризованный свет.


Волна, в которой направление колебаний электрического вектора (а, значит, и ) упорядочено каким-либо образом, называется поляризованной.

Если колебания вектора происходят в одной плоскости, проходящей через волновой вектор , то говорят о плоско-поляризованной волне (синоним – линейная поляризация). Плоскость, в которой колеблется вектор, называют плоскостью поляризации. Если вектор (а, значит, и ) вращается в плоскости, перпендикулярной волновому вектору с некоторой циклической частотой , при этом конец вектора описывает эллиптическую траекторию в каждой точке волновой поверхности (фронта) волны, то такую волну называют эллиптически-поляризованной. Как частный случай, поляризованной по кругу (циркулярно-поляризованной), если вектор описывает окружность.

Вращение по эллипсу (кругу) может происходить в двух направлениях – в зависимости от направления вращения вектора различают правую и левую эллиптические (круговые) поляризации. Если наблюдатель смотрит навстречу распространения волны, и вектор при этом вращается по часовой стрелке (правый винт), то поляризацию называют правой, в противном случае – левой.



Из рассмотренных видов поляризации – эллиптическая поляризация – наиболее общий вид поляризации волны. Линейная поляризация и круговая могут рассматриваться как частный случай эллиптической.

Волну эллиптической поляризации можно разложить на две взаимно перпендикулярные линейно-поляризованные волны с взаимно ортогональными плоскостями поляризации – разложить на два ортогональных орта, совершающих гармонические колебания с постоянным сдвигом фазы (т. е. когерентные друг другу). В зависимости от значений сдвига фазы между колебаниями и соотношения между амплитудами этих колебаний возникают разные виды эллиптических поляризаций (вспомним фигуры Лиссажу в теории колебаний). При сдвиге фазы , получаем линейно-поляризованный свет. Круговая поляризация возникает при сдвиге фаз и равенстве амплитуд ортогональных колебаний. Если же фазы хаотически меняются во времени – получаем некогерентное сложение ортогональных колебаний одинаковой частоты. Такой свет носит название неполяризованного или естественного (см. условное изображение на рис.7.8.в). Именно такой свет излучают естественные тепловые источники, в которых громадное число некоррелированных, находящихся в хаотическом тепловом взаимодействии, атомов излучают волновые цуги со случайными направлениями электрического вектора , с фазой хаотически меняющейся в каждом процессе излучения. Резюмируя вышесказанное, можно дать точное определение естественного света.

Статистическая смесь плоско-поляризованных волн различных направлений вектора , задаваемых множеством разных углов в плоскости фронта волны, при этом все направления вектора равновероятны .


Поляризаторы.

Как получить из естественного света плоско-поляризованный? Для этого существуют специальные оптические приспособления – поляризаторы. Эти приборы свободно пропускают колебания, параллельные плоскости, называемой плоскостью пропускания поляризатора. Колебания же, ортогональные этой плоскости, задерживаются полностью.

Частично-поляризованный свет.

Частично-поляризованный свет можно представить в виде суперпозиции двух некогерентных плоско-поляризованных волн с взаимно ортогональными плоскостями поляризации, но разными по интенсивности, при этом .




Частично–поляризованный свет можно интерпретировать как смесь в некоторой пропорции естественной компоненты и плоско-поляризованной. На рис. 7.9 вертикальные колебания соответствуют максимальной интенсивности , горизонтальные – минимальной . В качестве характеристики степени поляризованности частично–поляризованного света вводится величина, называемая степенью поляризации , которая определяется равенством:

. (7.34)

Очевидные соотношения:

, – для естественного света, (7.35)

– для плоско-поляризованного света.


Замечание: Соотношения ( 7.34 ), (7.35) применимы только к смешанным состояниям и как предельный случай к линейно-поляризованному свету. Эллиптическая поляризация как когерентная смесь не относится к сфере применимости этих соотношений.


^ Закон Малюса. Пусть на поляризатор падает линейно-поляризованный свет, вектор которого составляет угол с плоскостью пропускания . Вектор направлен перпендикулярно плоскости поляризатора. Поляризатор пропускает только ту составляющую вектора , которая параллельна плоскости пропускания , т. е. . Поэтому интенсивность прошедшего света:

, (7.36)

где – интенсивность падающего линейно-поляризованного света.

При этом прошедший пучок будет иметь поляризацию, т. е. вектор , направленную вдоль плоскости пропускания поляризатора .





Поляризация света при прохождении через границу двух диэлектриков.

Формулы Френеля дают возможность рассчитать амплитуду каждой из компонент и в отраженном и в проходящем свете, поэтому они содержат полное решение задачи о степени поляризации отраженного и преломленного света.

Если свет естественный, то . Для отраженного света, однако , поэтому отраженный свет становится частично-поляризованным. Так как , то электрический вектор, перпендикулярный к плоскости падения имеет большую амплитуду. При этом степень поляризации:

. (7.37)

Если , то ; и , т. е. отраженный свет полностью поляризован, причем вектор поляризации Ē1' перпендикулярен к плоскости падения. Коэффициенты Френеля и не обращаются в нуль и , т. е. и . Это означает, что имеет место частичная поляризация, причем преимущество имеют колебания в плоскости падения. Если .


При n=1,5 (воздух – стекло) → Р=.


Вывод: проходящий свет частично поляризован ()


Замечание.

При прохождении стеклянной плоскопараллельной пластинки на второй поверхности степень поляризации еще увеличится на 0,08.