«Условная оптимизация в экономических задачах». Методические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы для студентов направления 521500 «Менеджмент»

Министерство образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Методические указания и контрольные задания

к выполнению самостоятельной работы

для студентов направления 521500 «Менеджмент»

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2010

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по пособиям, рекомендуемым в списке литературы. В методических указаниях даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых задач. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре «Высшая математика и механика» Технологического института СГТУ.

На обложке тетради, в которой выполнена работа, студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины и дату отправки работы в институт.

Если работа выполнена без существенных ошибок, то студент допускается к собеседованию, по результатам которого работа может быть зачтена, либо не зачтена. При наличии существенных ошибок работа возвращается студенту для исправления.

ЛИТЕРАТУРА

1.  , Чхартишвили методы и модели в управлении. – М.: Дело, 2000.

2.  Колесников курс математики для экономистов. –М.: Инфра-М, 2001.

3.  Кудрявцев математического анализа. – Т. 1,2. – М.: Высшая школа, 1981.

4.  Васильев методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1980.

5.  Канторович решения в экономике.

- М.: Наука, 1980.

6.  , , Экономико-математические методы в планировании. – М.: Высшая школа, 1991.

ПОНЯТИЕ ОБ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

В условиях рыночной экономики практически значимыми являются задачи поиска экстремальных (максимальных и минимальных) значений экономических функций при наличии ограничений на переменные.

В качестве примера рассмотрим производственную функцию, т. е. уравнение связывающие ресурсы (факторы производства) и выпуск продукции. В рыночной экономике к ресурсам относятся: земля, капитал (основные фонды), труд и предпринимательская способность, т. е. способность объединить все виды ресурсов в едином процессе производства товаров и услуг. Ограничимся для простоты двумя ресурсами: капиталом и трудом .

Тогда производственная функция может быть записана в виде

,

где – количество произведенных товаров и услуг.

На приобретение ресурсов фирма планирует конкретную сумму денег, обозначим её . Если цена единицы капитала (основных фондов) равна , а единицы труда - , то должно выполняться условие

.

В процессе деятельности перед фирмой возникает практически важный вопрос: как наиболее эффективно распределить имеющиеся средства? Другими словами, какую часть общей суммы следует выделить на закупку оборудования (капитал ), а какую – на оплату труда персоналу (труд ). Математически эта задача формулируется так: найти максимум целевой функции (в данном случае это производственная функция).

,

при условии (ограничения по затратам)

.

Рассмотрим метод подстановки и метод множителей Лагранжа решения задач условной оптимизации.

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ

В простых случаях для нахождения условного экстремума произвольной целевой функции

при условии (ограничении)

можно применять метод подстановки. Для этого, используя ограничение, выражают одну переменную через другую, например, через : .

Подставляя в целевую функцию, получают некоторую функцию одной переменной:

.

Далее находят экстремальные точки уже этой функции. По конкретным значениям , используя функцию , вычисляют соответсвующие экстремальные значения переменной и значение целевой функции.

Применим метод подстановки для решения простой задачи.

Производственная функция фирмы имеет вид:

.

Определить уровень затрат на капитал и труд, при которых производственная функция достигает максимума. Затраты на единицу капитала и труда составляет и соответственно, а общая сумма затрат .

Математическая формулировка задачи: найти максимум целевой функции

при условии

.

Для решения выразим через , используя последнее равенство (ограничение по затратам)

.

Подставляя это выражение в производственную функцию, получаем

,

т. е. целевую функцию одной переменной . Далее найдем максимум полученной функции. Для этого вычисляем производную функции и приравниваем её к нулю:

Из полученного равенства определяем стационарную точку

Находим вторую производную функции :

.

Так как отрицательна, то в стационарной точке имеет место максимум целевой функции

Соответствующие затраты на труд находятся подстановкой оптимальной величины в ограничение по затратам

Итак, производственная функция фирмы достигнет максимума, если затраты на капитал и труд будут и соответственно.

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

Метод множителей Лагранжа в задаче отыскания условного экстремума является универсальным, так как позволяет решать задачу и в случае, когда трудно или невозможно из уравнения условия явно выразить одну из переменных через другую.

Если требуется найти условный экстремум целевой функции

при наличии условия (ограничения)

,

то отыскание условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа

,

где - неопределенный постоянный множитель.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

Уравнения образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными.

Решение этой системы - тройка чисел , первые два из которых, т. е. , и дают координаты точки условного экстремума целевой функции .

Применим метод множителей Лагранжа для следующей задачи.

Фирма – монополист производит два вида товаров и в количестве и соответственно. Функция затрат имеет вид:

Кривые спроса для каждого товара:

,

где и - цена единицы соответственно товаров и .

Фирма связана ограничением на общий объем производства товаров и, ее квота составляет единиц, т. е.

Требуется найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии.

Для решения задачи построим целевую функцию, в данном случае функцию прибыли, которая определяется как разница между доходом и затратами:

Для дохода от продажи товара имеем:

где выражение для берется из кривой спроса товара .

Аналогично доход от продажи товара :

.

Очевидно, что суммарный доход будет

Поскольку затраты известны из условия задачи, то прибыль (целевая функция) имеет вид:

.

Переписав ограничение в виде

,

получаем задачу условной оптимизации (поиска условного экстремума).

Для ее решения применим метод Лагранжа.

Строим вспомогательную функцию Лагранжа

.

Вычисляем частные производные и приравниваем их к нулю:

Полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными представим в виде:

и решим методом исключения. Для этого складываем первое и второе уравнения, что дает

, .

Подставляя полученное значение в первое уравнение, получаем

.

Ее решение легко находится: , .

Это и есть координаты точки условного экстремума, т. е. тот объем продаж, при котором прибыль максимальна. Соответствующее значение самой прибыли будет

.

Метод Лагранжа в том виде, как он был изложен, позволяет находить условные экстремумы. Вопрос о том, максимум это или минимум, остается открытым. При решении экономических задач, часто сам характер задачи подсказывает что ожидать – максимум или минимум.

Кроме того, существует простой способ анализа точки экстремума, вытекающий из самого определения максимума. Пусть – координаты точки экстремума, а - соответствующее значение целевой функции.

Берется точка , близкая к точке , и вычисляется значение целевой функции, т. е. .

Если , то в точке имеет место максимум.

Если , то в точке имеет место минимум.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Задачи составляются по таблицам в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки.

Задача 1. Производственная функция фирмы имеет вид:

Определить уровень затрат на капитал и труд , при которых производственная функция достигает максимума. Затраты на единицу капитала и труда составляют и соответственно, а общая сумма затрат - .

Числовые значения параметров задачи 1 даны в табл.1

Таблица 1

1	1	1	1	3	400
2	2	1	1	3	600
3	2	1	2	3	800
4	3	1	2	3	700
5	3	1	3	3	600
6	3	2	1	2	600
7	3	2	1	3	700
8	3	2	2	4	800
9	4	1	1	2	700
0	4	2	1	2	900

Задача 2. Фирма – монополист производит два вида товаров
и в количестве и соответственно. Функция затрат имеет вид:

,

а кривые спроса для товаров:

.

Квота фирмы на общий объем производства товаров и составляет единиц. Найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии.

Числовые значения параметров задачи 2 даны в табл.2

Таблица 2

1	10	2	10	50	1	1	30	1	1	16
2	20	1	16	60	1	1	40	1	1	22
3	15	1	19	40	1	1	60	2	1	20
4	17	1	21	50	1	2	70	1	1	24
5	21	2	17	70	1	2	50	1	1	18
6	19	2	21	80	1	2	50	2	1	30
7	16	3	22	90	2	1	60	1	2	26
8	24	3	18	70	2	1	40	1	2	24
9	22	3	16	60	2	1	30	2	2	32
0	20	4	18	50	2	2	90	1	2	28

СОДЕРЖАНИЕ

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ. 3

ЛИТЕРАТУРА.. 3

ПОНЯТИЕ ОБ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.. 4

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ.. 5

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА.. 6

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ.. 10

УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Методические указания

и контрольные задания

к выполнению самостоятельной работы

Составил

Рецензент:

Редактор