(МГУ им. , философский факультет)
Возможен ли сегодня «платоновский жест» и если «да», то как он возможен?[2]
С именем Алена Бадью связывают современное возрождение в философии (метафизике) «платоновского жеста», т. е. построение онтологии на количественном (числовом) фундаменте (= «матеме»), каковым, начиная с 20-х годов ХХ в. выступает канторовская теория множеств. Соответственно, метафизика при этом конституируется как математическая онтология. Эта интенция – «платоновский жест» – в нашей стране получила развитие благодаря усилиям , который предложил рассматривать математику как (универсальную) формальную онтологию природного[3]. При этом он, уже в противоположность (анти)платонизму[4] Бадью и господствующей в англосаксонской философской традиции натуралистического понимания математики (У. Куайн, Х. Патнем, Ф. Китчер, и особенно П. Мэдди[5]), пытается философски осмыслить саму математику в рамках «фундаментальной онтологии» Хайдеггера и последующей герменевтической традиции как формальную герменевтику. А в своих письмах А. Черняков выдвигает идею создания некоей математико-философской (или философско-математической) дисциплины, которая будет выступать современной формой философствования, осуществляемой homo mathematicus[6].
Целью данной статьи является обсуждение вопроса о том, возможен ли в наше время подобный «платоновский жест», т. е. можно ли рассматривать современную математику в качестве формальной (универсальной) онтологии, замещающей (или преобразующей) собой «первую философию», роль которой традиционно отводилась метафизике. Решающим в этой связи выступает вопрос о соотношении математики и метафизики, а в качестве основного метода нашего анализа выберем кантовский трансцендентальный метод, нацеленный на исследование «нашего [т. е. человеческого] способа познания предметов…» [КЧР, 44(В 25)][7], разновидностями которого и являются метафизика и математика. Вместе с тем мы будем опираться и на достижения современной философии математики [прежде всего, англоязычной[8]].
Прежде всего уточним смысловое содержание платоновского жеста, за возрождение и развитие которого в современной философии ратуют Ален Бадью и Алексей Черняков. Под платоновским, точнее пифагоро-платоновским жестом следует понимать попытку положить в основание Космоса [онтологии] число, т. е. развить [пифагорейский] тезис «Всё есть число». Как говорит по этому поводу А. Черняков в статье «Онтология как математика: Бадью, Гуссерль, Плотин» платоновский жест состоит в предложении Платона [Платона ли?] «затеять разбирательство или тяжбу по поводу сущего как такового, двигаясь отнюдь не в направлении, заданного вопросом «что есть сущее?..» (именно в этом направлении развивается Аристотелева [и вся последующая европейская] метафизика), а опираясь на вопрос «коликое оно?», каково по количеству?»[9].
При этом А. Черняков опирается на свой перевод фр. 242с из платоновского «Софиста»: «Слишком легковесно, как мне кажется, говорил с нами Парменид, да и всякий другой, кто когда-либо затевал разбирательство по поводу сущего, дабы определить коликое оно и какое», которому он дает достаточно спорную на наш взгляд интерпретацию, «заменяя» платоновское «какое?», соответствующее категории качества, на свое «каково по количеству?», где уже фигурирует категория количества[10]. Более того, последующий (кон)текст диалога показывает, что сам Платон оба «окольных» – качественный и количественный – типа дискурса относительного бытия, в отличие от рассмотрения «основного» вопроса о бытии на уровне сущности, определяет в качестве мифов, или «детских сказок» [фр. 242d]. Тем самым уже на этом уровне возникает вопрос о том: является ли приписываемый (вслед за Бадью) А. Черняковым Платону жест собственно платоновским? – или же платоновскую мысль несколько переиначивают в угоду своим собственным интересам, что, в общем, характерно и незазорно для творчески мыслящего философа.
[Заметим, что уже здесь возникает вопрос о правомерности приписывания подобного «платоновского жеста» самому Платону, поскольку А. Г. Черняков дает достаточно спорную интерпретацию фр. 242с платоновского «Софиста», заменяя платоновское «какое?» соответствующее аристотелевской категории качества, на выражение «каково по количеству?», где уже фигурирует категория количества, т. е. редуцируя двойной платоновский вопрос о качественном и количественном исследовании сущего к одному «количеству»; и утверждая, при этом, что именно количественный [математический] «окольный» путь может заменить собой [метафизическое] исследование сущего через сущность. Хотя непосредственный перевод Чернякова этого фр. в принципе точен: «Слишком легковесно, как мне кажется, говорил с нами Парменид, да и всякий другой, кто когда-либо затевал разбирательство по поводу сущего, дабы определить коликое оно и какое» (ср. со стандартным русскоязычным переводом: «Мне кажется, что Парменид, да и всякий другой, кто только когда-либо принимал решение определить, каково существующее количественно и качественно, говорили с нами, не придавая значения своим словам» [Платон Софист /Его же. Собр. соч. в 4 т. М.: Мысль, 1993. Т. II. С. 309; выделено курсивом мной. – К. С.] — англ.: http://classics. mit. edu/Plato/sophist. html: «I think that Parmenides, and all ever yet undertook to determine the number and nature of existences, talked to us in rather a light and easy strain»; или греч.: ««εὐκόλως μοι δοκεῖ Παρμενίδης ἡμῖν διειλέχθαι καὶ πᾶς ὅστις πώποτε ἐπὶ κρίσιν ὥρμησε τοῦ τὰ ὄντα διορίσασθαι πόσα τε καὶ ποῖά ἐστιν» (http://el. wikisource. org/wiki/%CE%A3%CE%BF%CF%86%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%AE%CF%82), который буквально переводится как «дабы определить сущее, сколько его есть и какое оно есть» [у Платона используются термины posos (сколькие) «в каком количестве, сколь многочисленный; какой длины, какой продолжительности» и poios (какие) «какой, что за»). А буквально в следующем абзаце [фр. 242d] Платон характеризует эти «окольные» — качественный и количественный — типа исследования бытия как «детскую сказку» или миф (« каждый из них, представляется мне, рассказывает нам какую-то сказку, будто детям» //англ.: «As if we had been children, to whom they repeated each his own mythus or story») — см. прим.1].
Однако мне не хотелось бы свести вопрос о возможности платоновского жеста к подобной терминологически-переводческой полемике, и поэтому перейду к обсуждению более существенного вопроса об онтологическом и эпистемологическом статусе математики и ее соотношении с метафизикой. Данный анализ создаст нам тот необходимый задел, на основе которого можно будет дать аргументированный ответ на вопрос о возможности «платоновского жеста», или математической онтологии.
Европейская философская традиция выделяет три основных типа познания: физику в широком смысле (естествознание), математику и метафизику. Каждый из этих типов познания характеризуется своим предметом и методом. При этом они образуют некое упорядоченное единство, базисом которого выступает физика, а «первой философией» — метафизика. Математика в этой триаде занимает срединное место, отличаясь от физики тем, что изучает не конкретные, а абстрактные объекты, но все же является «второй философией», отличаясь от метафизики своим более приземленным характером, поскольку абстрактные объекты математики являются абстракциями от физических объектов и не достигают «чистоты» идеальных объектов метафизики. Об этом говорит, например, Платон в своем четырехчастном отрезке из кн. 6 «Государства»[11], или Аристотель в кн. 6.1 «Метафизики» (1026а) и кн. 1 трактата «О душе» (403b)[12]
Вместе с тем математическое [знание] в определенном отношении является более фундаментальным, чем физическое, поскольку математика выступает для физики как (формальная) мета-физика, ибо «книга природы написана на языке математики, ее буквами служат треугольники, окружности и другие математические фигуры, без помощи которых… невозможно понять ее речь…» (Г. Галилей), а «в любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле [т. е. теоретической системы знаний, а не сырого эмпирического материала] лишь столько, сколько имеется в ней математики» (Кант)[13]. Поэтому физика, особенно современная не может обойтись без математики. Причем с математизации физики и начинается классическая европейская наука. Так, например, основополагающий для становления европейской науки труд Ньютона называется «Математические (перво)начала натуральной философии». Этот мета-физический характер математики[14] связан с тем, что она не привязана жестко к действительному миру эмпирического (как одному из возможных миров), а выявляемые ею законы абстрактных объектов имеют универсальный характер, т. е. справедливы для любого (любого ли?) из возможных миров[15].
Важной особенностью математики является то, что ее [абстрактные] объекты имеют особый онтологический статус. Если физические объекты являются реальными и удостоверяются нами как существующие путем их вос-приятия с помощью наших органов чувств (или физических приборов), то подобное удостоверение в существовании абстрактных объектов невозможно (ср. с известным «числа на дороге не валяются»), и поэтому для них должен быть предложен другой онтологический критерий [существования]. Согласно Канту, важнейшей (первой) конституирующей особенностью математики является то, что математические объекты не даются (как физические), а задаются при помощи дефиниций[16], например посредством принципа абстракции Юма–Фреге[17]. Правда, при этом возникает опасность порождения «математических монстров», для предотвращения которых математика вводит ряд самоограничений. Во-первых, математические объекты должны задаваться конструктивно: существовать для них – означает быть не вос–принимаемым, а конструируемым, т. е. быть построенным по некоторому правилу (алгоритму)[18]. Кант определяет математику как «познание посредством конструирования понятий» [КЧР, 423], что следует распространить не только на математическую деятельность (т. е. на математические действия, главными из которых являются вычисления, построения и доказательства), но и на способы порождения (введения) ее объектов (см. предыдущую сноску). Конструктивный характер существования математических объектов гарантирует их «непротиворечивость», однако одного этого недостаточно, поскольку противоречие может возникнуть при сопряжении разных абстракций в единую математическую конструкцию и поэтому следует гарантировать глобальную непротиворечивость (resp. непротиворечивость в точном смысле слова) той или иной системы математических объектов, что в современной математике достигается посредством применения аксиоматического метода: в основании развитых современных математических теорий лежат системы аксиом (что выступает как вторая специфицирующая черта математического знания по Канту), для которых доказывается непротиворечивость, т. е. невозможность получения из них следствий, несовместимых друг с другом (синтаксическая непротиворечивость) и/или с областью моделирования (семантическая непротиворечивость). Аксиомы (постулаты) математики, посредством которых фиксируются соотношения между вводимыми по определению математическими абстракциями/объектами (типа «Прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками») являются теми базовыми априорно-синтетическими (осново)положениями[19], благодаря которым абстрактное математическое знание имеет информативно-содержательный характер и, вследствие этого, может применяться к физической реальности[20].
Однако в первую очередь и прежде всего конструктивный характер математики связан с третьей из выделенных Кантом конституент математической деятельности – демонстрацией[21], каковым являются математические действия: алгебраические вычисления, геометрические построения и (логические) доказательства. Собственно, именно это и легло в основу его определения математики как познания «посредством конструирования понятий», в рамках которого можно выделить два основных типа – остенсивное и символическое – конструирования, комбинирование и переплетение которых задает, в конечном итоге, любую математическую деятельность[22]. Развивая этот тезис, можно сказать, что спецификой математического языка является его не декларативный, а процедурный характер, а задача математики состоит не столько в [онтологическом] описании мира сущностей, сколько в выделении, экспликации и использовании (!) в особом [математическом] языке наиболее универсальных типов операций с [абстрактными] объектами[23]: например, в операции сложения [объектов/чисел], которая записывается с помощью формальной записи «a + b = c», символом «+» репрезентируется, прежде всего, математическое действие сложения, т. е. символически представлен алгоритм (resp. кантовская схема) сложения, при этом здесь же, хотя и косвенным образом, представлен и результат осуществления этого сложения – число с. Я даже сказал бы, что математик в подобной математической записи видит, прежде всего, указание на действие/операцию, тогда как профан, по аналогии с обыденным/естественным языком, скорее, обращает внимание на результат этой операции, забывая или не ведая о том, что за ним скрывается. При этом хотелось бы обратить внимание на то, что математические демонстрации выступают аналогами физических экспериментов, главной функцией которых является удостоверение в существовании (в том или ином смысле) соответствующих физических или математических объектов, хотя, если в случае физики, подобные действия/удостоверения имеют объективно-физический характер, то в случае математики подобные конструкции являются, по Канту, ментальными действиями нашего сознания[24].
Онтологическая значимость подобного шага заключается в том, что таким образом Кант вводит новый онтологический критерий существования: «существовать — значит быть конструируемым», который отличается от наивно-реалистического (физического): «существовать — значит быть объектом возможного восприятия, т. е. быть в принципе воспринимаемым», что можно трактовать как проявление его «измененного метода мышления» (resp. коперниканского переворота). При этом Кант иллюстрирует предлагаемый критерий конструируемости с помощью математических примеров[25]. Достаточно показательным (парадигмальным) является следующий пример, посредством которого иллюстрируется вводимый в 1-м изд. Критики концепт предмета вообще (resp. трансцендентального объекта, который Кант обозначает = х): «Так, мы мыслим треугольник как предмет[26], когда сознаем сочетание трех прямых линий согласно правилу, соответственно которому такое созерцание всегда может быть показано» [КЧР, 504].
К недостаткам критерия воспринимаемости можно отнести, во-первых, его не-универсальный характер, поскольку он не применим ни к абстрактным математическим объектам, ни к идеальным метафизическим объектам, которые не вос-принимаются ни посредством органов чувств, ни посредством физических приборов. Во-вторых, более точный [трансцендентальный] анализ показывает, что само по себе восприятие, т. е. обнаружение на «экране» нашего сознания того или иного содержания [сознания] еще не гарантирует объективного существования этого содержания, поскольку для подобного приписывания мы должны быть уверены, что наше восприятие является результатом «внешнего» воздействия, а не (само)воздействием на нашу пассивную чувственность активных компонентов нашего сознания, каковым, по Канту, является рассудок. Тем самым возникает проблема [четкого] различения объективно-реального от субъективного, поскольку, возможно, что мы выдаем за объективно-воспринятое порождения собственной фантазии. Причем здесь идет речь о родовом недостатке любого вос-приятия, в том числе и с помощью прибора (например, осциллографа), на экране которого вместо изображения внешних сигналов может быть представлен результат некоторой внутренней (т. е. «субъективной») активности самого прибора, например как результат сбоя его работы. Это означает, что одного критерия воспринятости для решения онтологической проблемы недостаточно и он должен быть дополнен критерием отличения восприятия от псевдовосприятия, сна от яви (Декарт), явлений реальных от явлений воображаемых (Лейбниц).
Кантовский критерий конструируемости свободен от подобных недостатков. Так, он вполне применим и к объектам физических теорий, т. е. к теоретическим конструктам науки, которые с необходимостью подчиняются законам соответствующих научных теорий. Именно этот критерий конструируемости – правилосообразности (со смысловым акцентом на втором термине) и составляет основу объективности: объективно значимым выступает то, что является правилосообразным [т. е. подчиняется некоторому правилу], или всеобще-необходимым. Явным образом Кант говорит об этом в своих «Пролегоменах»: «Таким образом, объективная значимость и необходимая общезначимость… суть взаимозаменяемые понятия, и хотя мы не знаем объекта самого по себе, но когда мы рассматриваем суждение как общезначимое и, стало быть, необходимое, то под этим мы разумеем объективную значимость»[27], — причем эта мысль проходит красной нитью через всю Критику[28]. Тем самым трансцендентальный подход предполагает существенный пересмотр смысла объективного [существования]: объективным (= имеющим место в объекте) является общезначимое, т. е. имеющее место не только для нашего единичного сознания, но для [трансцендентального] сознания вообще. Существующими для Канта выступают формальные объекты, конструируемые по некоторому правилу, парадигмальным случаем которых выступают абстрактные объекты математики.
Однако, с одной стороны, из этого вовсе не следует, что Кант развивает именно математическую онтологию, поскольку помимо математических правил, трансцендентальные объекты должны подчиняться логическим и физическим законам, а также, что более важно в свете обсуждаемой нами проблемы, метафизическим (со)отношениям, выраженных в кантовской системе категорий. Точнее определить кантовский (resp. трансцендентальный) подход как формальную онтологию (в качестве наиболее общего учения о предмете вообще), которая свое последующее развитие и уточнение получила в работах Гуссерля уже как формальная онтология интенциональных предметов.
С другой стороны, конструктивно-операциональный характер математического знания приводит к развитию в ХХ в. еще одной влиятельной в настоящее время концепции [математического] структурализма. Он выдвигает весьма радикальный тезис о без-объектном (= не-онтологическом) характере математического знания: математика занимается не объектами, а структурами, которые и определяют относительное место/позицию математических (квази)объектов в составе структур. Так, например, тройка – это не самостоятельный (полноценный) объект, а лишь то, что занимает «место» между двойкой и четверкой. При этом такое «слабое» понимание чисел достаточно для решения главной задачи математической деятельности – выполнения математических операций (resp. для ответов на вопросы типа «тройка больше двойки?», «тройка меньше четверки?»)[29]. В своих радикальных версиях структурализм выдвигает тезис о том, что математика может обойтись без объектов и даже без структур (соответственно, математика сама по себе не-онтологична)[30], что сближает крайний структурализм с инструментализмом.
Таким образом, понимание математики как абстрактной науки порождает целый спектр возможных онтологических позиций. Неявно полагаемая Бадью и Черняковым платоническая трактовка математики не является единственно возможной интерпретацией. Наряду с математическим платонизмом, который трактует абстрактные объекты математики как полноценные онтологические сущности, возможны, по крайней мере, еще три трактовки математического. Во-первых, это понимание абстрактных объектов как не(до)определенных конкретных объектов, т. е. их трактовка в модусе возможности, а не действительности (Р. Ингарден, Дж. Хеллман и др.). Данная трактовка тяготеет к номинализму, а в своих радикальных версиях — к фикционализму[31]. Во-вторых, это понимание абстрактных объектов как овеществленных свойств, развиваемое в работах неологицистов (Э. Залта и др.). С одной стороны, это достаточно влиятельная версия современного математического платонизма (наряду с объектным платонизмом Геделя и Бернайса). С другой стороны, трактовка математических абстракций как свойств оставляет открытым онтологический вопрос о том, свойствами чего являются математические абстракции, т. е предполагает наличие некоторой уже не-математической онтологии. В-третьих, это структуралистское понимание математических «объектов» как мест в составе структур (Л. Витгенштейн, П. Бенацерраф, С. Шапиро и др.), т. е. третья из возможных трактовок математических абстрактов не как объектов или свойств, а как отношений. При всех своих вариациях структурализм тяготеет к антиреализму, в рамках которого возможно как номиналистское понимание математических структур в качестве наших языковых конструкций, так и концептуалистское понимание математической деятельности в качестве наших ментальных конструкций (Кант, Гуссерль, интуиционизм).
Перейдем теперь к обсуждению эпистемологического аспекта математического знания, которое покажет серьезные различия между математикой и метафизикой как типами нашей познавательной активности. Когда Кант говорит о конструктивном характере математической деятельности, он определяет конструирование как соотнесение той или иной понятийной абстракции с «a priori соответствующим ему [т. е. общезначимым, а не эмпирическим] созерцанием» [КЧР, 423]. Это означает, что в отличие от метафизики, которая определяется Кантом как «познание разумом [или одним лишь чистым рассудком] посредством понятий» [КЧР, 423] в математическом познании задействованы оба «основных ствола человеческого познания… – чувственность и рассудок» [КЧР, 46]. Это замечание Канта можно рассматривать как трансцендентальное уточнение аристотелевского различения между второй и первой философией. Математика, как и физика, является двухкомпонентным типом (по)знания и предполагает определенное сочетание двух типов представлений: понятий рассудка и созерцаний чувственности. Различие между ними состоит в том, что если физика начинается с созерцания (или опыта), которое потом осмысляется как понятие (созерцаемый феномен мы определяем посредством понятий как такой-то и такой-то), то математика, напротив, начинает с понятий (которые вводятся по определению), которые посредством определенного конструирования соотносятся с соответствующим ему созерцанием: например, понятие треугольника соотносится с образом/чертежом треугольника, – причем именно этот «выход» за пределы области рассудочных понятий и позволяет получать «приращение» математического знания (в случае треугольника – получить, например, доказательство о сумме его углов; см. кантовский анализ структуры данного доказательства: [КЧР, 424–425])[32]. А сходство физического эксперимента и математического доказательства, о чем мы уже говорили выше, как раз и будет состоять в том, что оба этих действия, хотя и в разных направлениях (эмпирическом: от объекта к субъекту (индукция) vs. рационалистическим: от субъекта к объекту (дедукция)) позволяют связать в единую конструкцию эпистемологически разнородные типы представлений: понятия и созерцания. Вместе с тем это согласуется и с пониманием математики у Платона, который в своем четырехчастном отрезке хотя и помещает ее в область умопостигаемого, но приписывает математике направленность не наверх, к «беспредпосылочному началу» (Единому), а вниз, в область чувственного. Тем самым математика мыслится греками () как абстрактная наука о чувственных вещах, правда стоящая выше «физики». Соответственно, в ходе конструирования математические понятия, в отличие от метафизики, осмысляются не в своей понятийной чистоте, а как формальные – пространственные или временные – созерцания. Это означает, что математика основана на большем числе предпосылок и поэтому не может рассматриваться в качестве первой философии. При этом она, как любая вторая философия, не осмысляет свои собственные основания, каковыми являются для нее априорные формы пространства и времени, которые выступают [трансцендентальными] условиями математического конструирования, т. е. выполняют роль ее онтологических пресуппозиций (resp. онтологических допущений (Куайн)): любое математическое построение с необходимостью осуществляется в пространственной (геометрия) или временной (алгебра) «среде».
Как мы уже отмечали, сходную позицию относительно эпистемологического статуса математики занимает и Кант, когда говорит, что, хотя естествознание и невозможно без математики, т. е. должны быть особые математические основания естествознания, что позволяет рассматривать математику как онтологию природного, но математика не может заменить собой метафизику[33]. Так, если обратиться к списку кантовских категорий, математическими оказывается лишь категории из группы «Количество», а категории остальных групп и, прежде всего, метафизические категории из группы «Отношения» математикой не ухватываются. В этой связи (для развития трансцендентальной онтологии) Кант говорит о необходимости создания особой трансцендентальной логики, которая должна заниматься исследованием трансцендентального содержания суждения, не ухватываемое техническими средствами формальной логикой[34]. Так, в суждении «Мел – белый» содержится метафизическая (resp. онтологическая) «информация» о том, что в этом суждении мел выступает как субстанция, а белый – как акциденция, а в суждении «Солнце нагревает камень» Солнце как онтологический предикат (категория) выступает в качестве причины нагревания [камня], а событие «нагревание камня», соответственно, выступает как следствие.
На основе проведенного [трансцендентального] анализа математического (по)знания[35] вернемся теперь к обсуждению возможности современного платоновского жеста и выдвижению наших контраргументов, а именно к критике 1) его универсальности; 2) тезиса «математика как онтология», т. е. понимания математики как возможной замены метафизики; 3) тезиса о математическом модусе современной философии.
Укажем на два главных ограничения математико-онтологического подхода (= платоновского жеста), за который ратуют Бадью и Черняков. Первое из них имеет философский характер и связано с общим пониманием философии (метафизики), второе – внутриматематический характер и связано с тем, что развитие математики показывает ее собственные ограничения, препятствующие ее рассмотрению в качестве полноценной онтологии. В свою очередь, в составе первого ограничения можно выделить два дополняющих друг друга момента – историко-философский и концептуально-философский.
Прежде всего, обратим внимание на то, что, хотя платоновский жест и необходим для становления метафизики (resp. онтологии), являясь одним из ее конституирующих моментов, он явно недостаточен для конституирования метафизики как метафизики. Если положить в качестве основного вопроса античной философии вопрос «из чего состоят вещи?», то нельзя ограничиться чисто математическим ответом типа вещи «состоят из чисел (Пифагор) или атомов (Демокрит)», поскольку полноценный ответ на поставленный вопрос предполагает и ответ на вопрос: «а из чего состоят атомы?», для чего необходим уже физический жест, т. е. ответ типа «вещи (атомы) состоят из воды», восходящий к милетской школе. Именно с Фалеса и начинается европейская философия (онтология). В этой связи можно сказать, что метафизика как тяжба о бытии (о чем говорит обсуждаемый выше фр. 242с из «Софиста») предполагает ответы на два дополняющих и не сводимых друг к другу – физический (качество) и математический (количество) – вопроса о том, (1) колико и (2) каково сущее. Более того, согласно историко-философской концепции Гегеля, оба этих жеста: физический (фалесовско-аристотелевский) и математический (пифагоро-платоновский) необходимы, но недостаточны для конституирования метафизики и представляют собой предфилософию, поскольку метафизика, появление которой связано с парменидовским жестом, начинается с вопроса о сущности (что есть сущее?), а не с вопросов о его качестве (какое оно?) и количестве (коликое оно?).
В качестве еще одного нашего союзника можно рассмотреть метафизическую концепцию монадологии Лейбница. Казалось бы, именно Лейбниц, как правильно пишет А. Черняков, выдвигает идею построения «всеобщей науки» (scientia generalis), «универсального исчисления» (calculus universalis), которые являются концептуальными наследниками декартовской mathesis universalis[36]. Более того, именно лейбницевские математические бесконечно малые (точнее: неделимые геометрические точки) выступают концептуальным обоснованием его метафизических монад. Но можно ли на этом основании утверждать, что монадология Лейбница является математической онтологией? Понятно, что нет. В одном из своих текстов[37] Лейбниц приводит следующий понятийный ряд: физическая (материальная) точка – математическая точка – метафизическая точка, и поясняет, что если математическое является абстракцией от физического/материального (в духе Аристотеля), то монада (метафизическая точка, формальный атом) выступает как следующий уровень абстракции, как «преодоление» математического метафизическим, а именно: монада является такой [не-математической] точкой, которая мыслится в своей чистоте, т. е. в отвлечении от пространственного[38].
В развитие нашего тезиса о невозможности/недопустимости замены метафизического математическим можно было бы привести еще целый ряд имен крупных философов. Вместо этого зададим встречный вопрос сторонникам математической онтологии: готовы ли они переписать самые значительные онтологические концепции на языке математики и можно ли сделать это для всех онтологических концепций? А ведь только в случае сведения всего метафизического к математическому допустимо утверждать о том, что математика – это онтология вообще, а не ее частный вариант, не одна из онтологий.
Завершим наш философский (контр)аргумент еще одним обращением к Канту. Одна из целей кантовской «Критики чистого разума» — построение научной онтологии. Для этого, пишет Кант в своем письме к Г. Герцу (от 01.01.01 года), необходимо найти «ключ ко всей тайне метафизики, до сих пор остававшейся еще скрытой для себя самой»[39], т. е. принцип построения системы метафизических категорий[40]. В качестве такового он выбирает логический принцип (по)строения суждений, в соответствии с которой выделяет четыре группы категорий по три в каждой. Как мы уже отмечали, собственно математической является лишь первая группа категорий «Количество»[41], которой для построения полноценной онтологии явно недостаточно. Двумя другими компонентами кантовской трансцендентальной онтологии выступают (физическая) группа категорий «Качество» и (собственно метафизическая) группа «Отношение», которые, очевидно, невозможно промоделировать «математическими» категориями. Поясним это на примере метафизических категорий, которые Кант определяет также как онтологические предикаты. Какие типы метафизических отношений выделяет Кант? Это отношение 1) «субстанция – акциденция» (что соответствует структуре простого категорического суждения «S есть P»), 2) «причина – следствие» и 3) «взаимодействие» (или «общение»[42]). А теперь спросим сторонников математической онтологии: возможно ли математическое моделирование таких метафизических (онтологических) характеристик как субстанция и/или причинность, можно ли это метафизическое (онтологическое) содержание о мире передать посредством математического языка, т. е. посредством логико-математических формализмов? Как мы уже отмечали, математика на это неспособна, по крайней мере на сегодняшний день, и Кант неслучайно создает для реализации этой задачи свою трансцендентальную логику, которая отличается от формальной логики , или, что в данном случае одно и то же, от формальной математики. Об этом, в частности, говорит тот факт, что несмотря на предпринятые логикам и математиками ХХ века усилия (в рамках так называемых релевантных логик), так и не удалось предложить адекватную формализацию причинной связи, понимаемой физически или метафизически.
Перейдем к изложению нашего второго (контр)аргумента, который имеет (внутри)математический (точнее, логический) характер. Он связан с тем, что развитие математики, особенно в ХХ веке, показало ограниченность формально-математического подхода. Сущностная абстрактность математического знания не позволяет дать полноценные ответы на все онтологические вопросы. Речь идет о так называемых (мета)теоремах об ограниченных возможностях формализмов. Самая известная из них – вторая теорема Гёделя о неполноте, согласно которой для достаточно богатых математических систем (содержащих формальную арифметику) невозможно доказать некоторую формулу, выразимую на языке данной теории, что в свете нашего обсуждения свидетельствует о принципиальной неполноте математических онтологий, их невозможности выступать в роли полноценной онтологии. Собственно это подтверждает высказанное нами в связи с обсуждением метафизических категорий Канта положение, что вся метафизика, в частности, категории субстанции и причины, не могут быть формализованы посредством платоновского жеста, и поэтому метафизику нельзя заменить адекватной (полной) математической онтологией.
Однако имеется и более серьезное возражение против возможности построения универсальной математической онтологии, связанное с теоремой Лёвенгейма-Сколема[43], которая указывает на то, что математические формализмы не могут полностью предопределить содержательные моменты онтологической модели: математическая онтология в силу своей абстрактности в принципе недоопределена и порождает не одну-единственную модель (resp. онтологию), а целое семейство моделей (resp. онтологий), причем разной мощности, неизоморфных. В этой связи Х. Патнем, который философски осмысляет теорему Лёвенгейма-Сколема, в своей восходящей к Канту концепции «внутреннего реализма», обращает внимание на то, что, например, фраза «Вишня висит на дереве» может относиться не только к вишневому дереву (стандартная интерпретация), но и указывать на кошку, сидящую на коврике. В этом случае первоначальная фраза о вишнях и дереве должна пониматься/интерпретироваться как «Кошка сидит на коврике» (нестандартная интерпретация[44]) и у нас нет возможности решить однозначно, какая из этих интерпретаций (resp. описаний мира): стандартная или нестандартная(-ые) – является истинной, т. е. соответствует онтологии нашего мира[45].
Это означает, что [абстрактные] математические онтологии не только неполны (теорема Гёделя), но и недоопределены (теорема Лёвенгейма-Сколема), т. е. представляют собой, скорее, семейство количественных (квази)онтологий, которые должны быть уточнены/конкретизированы посредством уже не математического (resp. платоновского), а физического («качество») и/или метафизического («сущность») жестов. Одной математики явно недостаточно для того, чтобы отличить, например, вишню от кошки, или утверждать, что в нашем мире не существует кентавров, а «висеть/сидеть» обозначает действие предмета, а не сам предмет.
Подведем некоторый итог наших размышлений. Возможен ли платоновский жест в современной философии? Если его понимать как развитие математических онтологий (resp. как тезис «математика – это онтология»), то выше мы привели ряд контраргументов: математическая онтология в чистом виде невозможна, она не может заменить собой метафизическую онтологию [классической философии]. Проведенный нами (вслед за Кантом) трансцендентальный анализ математики показывает, что она как наука об абстрактных объектах выступает в качестве мета-физики по отношению к естествознанию, т. е. может выполнять роль формальной квазионтологии и, более того, реально выступает таковой по отношению к современному естествознанию («физике»), которое без математики невозможно. В этом смысле вполне оправдан пафос А. Бадью и А. Чернякова, которые предлагают строить современную философию не на родовых процедурах искусства (поэзии), политики, любви, а на науке, т. е. возродить платоновский жест в современной философии. Однако из того, что современная философия должна быть научной, вовсе не следует, что сама философия должна превратиться в науку или что матема (= математика) должна заменить собой философию, стать онтологией. Так, Платон в своем «Федоне» противопоставляет мудрость Сократа (как философа) не только мудрости политика и поэта, но и мудрости ремесленника, каковым можно счесть современного ученого (в том числе математика), специалиста в своей области. Вторая философия, к которой (по Аристотелю) относятся физика и математика, не может заменить собой первую философию, исследующую первые причины бытия, сущее как сущее.
Развитие формальных онтологий, т. е. реализация платоновского жеста, безусловное благо для философии (метафизики), поскольку служит превращению последней «из [спекулятивной] алхимии в [научную] химию» (Кант), служит делу развития «философии как строгой науки» (Гуссерль), что особенно актуально в нашу эпоху софистического постмодерна с его тезисом об якобы «смерти метафизики» и размыванием строгих критериев во всех областях человеческой культуры, в том числе и в деле отличения мысли от псевдомысли. Подобное привнесение математического в философию делает ее более точной и конструктивной.
Но это не отменяет необходимости [метафизической] онтологии и не позволяет говорить о полной замене метафизического математическим. Точнее, математическая (resp. формальная) онтология возможна как один из видов онтологии, как ее частный случай, наряду с другими, однако говорить о замене всех метафизических онтологий математическими является, по крайней мере, преждевременным. Для этого должен быть существенно изменен статус математики, она должна стать не физической, т. е. наукой, направленной на мир физических сущностей, – а метафизической, т. е. наукой, направленной на исследование первоначал, превратиться из второй философии в первую. Хотя надо признать, что подобный тренд в развитии современной математики, начиная с конца ХIХ – начала ХХ вв., налицо; и связано это, как правильно подметил А. Бадью, с теорией множеств Кантора, которая выступает для физической математики в качестве метаматематики, некоторого базового языка математический теорий.
В этой связи представляется чрезвычайно интересным приведенный в начале статьи программный тезис А. Чернякова о том, что мы, возможно, стоим на пороге конституирования новой первой философии, на пороге создания некоей математической философии или философской математики (этот тезис следует отличать от более радикального тезиса «математика – это онтология», который мы подвергли серьезной критике). Возможен ли подобный черняковский жест? На этот вопрос можно дать осторожный положительный ответ. Возможность платоно-черняковского жеста можно связать с конструкцией четырехчастного отрезка из кн. 6 платоновского «Государства»[46]. В этой конструкции Платон помещает математику в область умопостигаемого, между чувственной физикой (область веры/мнения) и идеальной метафизикой (областью «беспредпосылочного начала»/диалектики), хотя и приписывает ей направленность в область чувственно-постигаемой физики. Если трактовать платоновскую конструкцию как геометрический отрезок, то можно помыслить интенцию современной математики вверх-к-метафизике как переход к абстракциям более высокого типа, каковым является, например, теория множеств[47], а метафизики вниз-к-математике как переход от неоплатонической метафизики Единого («беспредпосылочного начала») к метафизике Множественного (что, собственно, и осуществляет Бадью в своей концепции из «Бытия и события»). В этом двойном движении математика становится более мета-физичной, а метафизика – с необходимостью математичной (вследствие того, что Многое, в отличие от Единого, имеет некоторую онтологическую структуру и [математические] отношения между разными элементами Многого, т. е. предполагает некую математику). Тем самым математика становится необходимым компонентом любой плюральной онтологии (resp. онтология Многого существенно математична).
Примечание 1.
Под пифагоро-платоновским жестом следует понимать попытку положить в основание Космоса число, т. е. развить [пифагорейский] тезис «Всё есть число». Собственно же платоновский жест, как говорит об этом Черняков, состоит попытке «затеять разбирательство или тяжбу по поводу сущего как такового, двигаясь отнюдь не в направлении, заданного вопросом «что есть сущее?..» (именно в этом направлении развивается Аристотелева метафизика), а опираясь на вопрос «коликое оно?», каково по количеству?».
== вопрос: насколько корректен данный перевод Чернякова: каково по количеству? == (*см. сноску ниже + также греч. оригинал и англ. пер)
Греч.(http://el. wikisource. org/wiki/%CE%A3%CE%BF%CF%86%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%AE%CF%82:
Ξένος
τὰ δοκοῦντα νῦν ἐναργῶς ἔχειν ἐπισκέψασθαι πρῶτον [242c] μή πῃ τεταραγμένοι μὲν ὦμεν περὶ ταῦτα, ῥᾳδίως δ' ἀλλήλοις ὁμολογῶμεν ὡς εὐκρινῶς ἔχοντες.
Θεαίτητος
λέγε σαφέστερον ὃ λέγεις.
Ξένος
εὐκόλως μοι δοκεῖ Παρμενίδης ἡμῖν διειλέχθαι καὶ πᾶς ὅστις πώποτε ἐπὶ κρίσιν ὥρμησε τοῦ τὰ ὄντα διορίσασθαι πόσα τε καὶ ποῖά ἐστιν.
Θεαίτητος
πῇ;
Ξένος
μῦθόν τινα ἕκαστος φαίνεταί μοι διηγεῖσθαι παισὶν ὡς οὖσιν ἡμῖν, ὁ μὲν ὡς τρία τὰ ὄντα, πολεμεῖ δὲ ἀλλήλοις [242d] ἐνίοτε αὐτῶν ἄττα πῃ, τοτὲ δὲ καὶ φίλα γιγνόμενα γάμους τε καὶ τόκους καὶ τροφὰς τῶν ἐκγόνων παρέχεται: δύο δὲ ἕτερος εἰπών, ὑγρὸν καὶ ξηρὸν ἢ θερμὸν καὶ ψυχρόν, συνοικίζει τε αὐτὰ καὶ ἐκδίδωσι: τὸ δὲ παρ' ἡμῖν Ἐλεατικὸν ἔθνος, ἀπὸ Ξενοφάνους τε καὶ ἔτι πρόσθεν ἀρξάμενον, ὡς ἑνὸς ὄντος τῶν πάντων καλουμένων οὕτω διεξέρχεται τοῖς μύθοις. Ἰάδες δὲ καὶ Σικελαί τινες ὕστερον Μοῦσαι συνενόησαν ὅτι συμπλέκειν [242e] ἀσφαλέστατον ἀμφότερα καὶ λέγειν ὡς τὸ ὂν πολλά τε καὶ ἕν ἐστιν, ἔχθρᾳ δὲ καὶ φιλίᾳ συνέχεται. διαφερόμενον γὰρ ἀεὶ συμφέρεται, φασὶν αἱ συντονώτεραι τῶν Μουσῶν: αἱ δὲ μαλακώτεραι τὸ μὲν ἀεὶ ταῦτα οὕτως ἔχειν ἐχάλασαν, ἐν μέρει δὲ τοτὲ μὲν ἓν εἶναί φασι τὸ πᾶν καὶ φίλον ὑπ' [243a]ἀφροδίτης, τοτὲ δὲ πολλὰ καὶ πολέμιον αὐτὸ αὑτῷ διὰ νεῖκός τι. ταῦτα δὲ πάντα εἰ μὲν ἀληθῶς τις ἢ μὴ τούτων εἴρηκε, χαλεπὸν καὶ πλημμελὲς οὕτω μεγάλα κλεινοῖς καὶ παλαιοῖς ἀνδράσιν ἐπιτιμᾶν: ἐκεῖνο δὲ ἀνεπίφθονον ἀποφήνασθαι--
англ.: (http://classics. mit. edu/Plato/sophist. html; Translated by Benjamin Jowett
Str. I think that Parmenides, and all ever yet undertook to determine the number and nature of existences, talked to us in rather a light and easy strain.
Theaet. How?
Str. As if we had been children, to whom they repeated each his own mythus or story;-one said that there were three principles, and that at one time there was war between certain of them; and then again there was peace, and they were married and begat children, and brought them up; and another spoke of two principles,-a moist and a dry, or a hot and a cold, and made them marry and cohabit. The Eleatics, however, in our part of the world, say that things are many in name, but in nature one; this is their mythus, which goes back to Xenophanes, and is even older. Then there are Ionian, and in more recent times Sicilian muses, who have arrived at the conclusion that to unite the two principles is safer, and to say that being is one and many, and that these are held together by enmity and friendship, ever parting, ever meeting, as the-severer Muses assert, while the gentler ones do not insist on the perpetual strife and peace, but admit a relaxation and alternation of them; peace and unity sometimes prevailing under the sway of Aphrodite, and then again plurality and war, by reason of a principle of strife. Whether any of them spoke the truth in all this is hard to determine; besides, antiquity and famous men should have reverence, and not be liable to accusations; so serious; Yet one thing may be said of them without offence-
Примечание 2.
Теорема Лёвенгейма — Сколема — утверждение из теории моделей о том, что если множество предложений в счётном языке первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет счётную модель. Эквивалентная формулировка: каждая модель счётной сигнатуры имеет счётную элементарную подмодель.
Эта теорема появилась в работе Лёвенгейма 1915-го года; она также часто называется теоремой Лёвенгейма — Сколема о понижении мощности (downward Löwenheim — Skolem theorem в англоязычной литературе), чтобы отличать её от похожего утверждения, называемого теоремой Лёвенгейма — Сколема о повышении мощности: (upward Löwenheim — Skolem theorem).
Одним из пионеров подобного подхода в 70-е годы ХХ в. выступил П. Бенацерраф, автор известной статьи «Чем числа не должны быть?»[48]; видными представителями современного [умеренного] структурализма выступают, например, С. Шапиро (S. Shapiro) и М. Резник (M. Resnik). В своей же радикальной форме структурализм выдвигает тезис о том, что математика вообще может обойтись без объектов[49].
J. Cemeny Mathematics without numbers (??); G. Hellman (Geoffrey Hellman (1989). Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation. Oxford University Press.; Structuralism without Structures’. Philosophia Mathematica 4 (1996):) Field, H., 1980. Science without Numbers: a defense of nominalism, Oxford: Blackwell. John P. Burgess and Gideon Rosen, A Subject with No Object:
принцип абстракции Юма — Фреге (
) == (α) (β) [(∑(α) = ∑(β)) ↔ (α ≈ β)] (Целищев, Онтология…. стр.91
[1] В основу данного текста был положен мой доклад на Первых чтениях, посвящённых Алексею Григорьевичу Чернякову, в рамках научной конференции «Онтологические исследования современной России» (СПб, ВРФШ, 19.11.2010), тезисный вариант которого был размещен на форуме ВРФШ (03.12.2010; http://*****/f/forum. php? id=1; http://*****/f/topic. php? id=16; http://*****/blog/?p=174). Позже на форуме было размещено письмо от 01.01.2001 (http://*****/f/topic. php? id=29), в котором высказаны схожие с нашими критические замечания к тезису Чернякова/Бадью «математика – это онтология».
[2] В основу данного текста был положен мой доклад на Первых чтениях, посвящённых Алексею Григорьевичу Чернякову, в рамках научной конференции «Онтологические исследования современной России» (СПб, ВРФШ, 19.11.2010), тезисный вариант которого был размещен на форуме ВРФШ (03.12.2010; http://*****/f/forum. php? id=1; http://*****/f/topic. php? id=16; http://*****/blog/?p=174). Позже на форуме было размещено письмо от 01.01.2001 (http://*****/f/topic. php? id=29), в котором высказаны схожие с нашими критические замечания к тезису Чернякова/Бадью «математика – это онтология».
[3] Математика как формальная онтология //Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15–16 июня 2007. М.: 2007. С. 87 – 89.
[4] С содержательной точки зрения Бадью выступает как анти-платоник или как анти-неоплатоник, поскольку строит свою онтологию на категории не единого (одного), а множественного.
[5] Так, например, последняя книга П. Мэдди «Вторая философия: натуралистический метод» прямо определяет математику в качестве второй, а не первой философии (Maddy P., Second Philosophy: A Naturalistic Method, 2007).
[6] Вот «программное» заявление о его «интенции создать новый предмет исследования, который не будет ни философией, ни математикой, но, в каком-то смысле, и тем и другим. Он будет посвящен все тем же вопросам: что значит сущее, «реальность», сознание и т. д.? Но для постановки этих вопросов, и, возможно, поиска ответов математика будет (по замыслу) использоваться не как аналогия или метафора, а как собственный язык (logos oikeios, по Аристотелю)» [форум ВРФШ, пост http://*****/f/topic. php? id=22#post-72].
[7] Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994. Далее ссылки на этот текст будет обозначаться так: [КЧР, номер стр.].
[8] Англоязычная философия математики (набор тем, проблем, концепций) не совсем совпадает с ее российским аналогом. Обзор англоязычной философии математики представлен в статье: http://plato. stanford. edu/entries/philosophy-mathematics/.
[9] Онтология как математика: Гуссерль, Бадью, Плотин //Сущность и слово. Сборник научных статей к юбилею проф. . М.: Феноменология-герменевтика, 2009. С. 414. (вставки в квадратных скобках мои. – К. С.).
[10] Ср. со стандартным переводом: «Мне кажется, что Парменид, да и всякий другой, кто только когда-либо принимал решение определить, каково существующее количественно и качественно, говорили с нами, не придавая значения своим словам» [Платон Софист //Платон. Собр. соч. в 4 т. М.: Мысль, 1993. Т. II. С. 309; выделено курсивом мной. – К. С.]. См. более обширное филологическое отсупление по этому поводу в прим.1.
[11] Заметим, что знаменитый платоновский миф о пещере (нач. кн. 7 «Государства») является иллюстрацией к этому «отрезку».
[12] Аристотель, Метафизика кн.6, 1026а (т.1, с.181) / О душе, кн.1.1, гл.1, 403b (т. 1, с.374)]
[13] Метафизические начала естествознания // Сочинения в 8 т. Т. 4. М.: Чоро, 1994. С. 58.
[14] Так, в Стэнфордском университете Э. Залта создал Лабораторию Метафизических исследований (http://mally. stanford. edu/index. html), задача которой – исследование мета-физических (математических и логических) объектов.
[15] Так понимается математика в концепции неологицизма/неофрегианства (Э. Залта (Zalta) и Б. Линский (Linsky), К. Райт (Wright), Р. Хэйл (Hale), Дж. Булос (Boolos) и др.), которая по своей сути является современной разновидностью платонизма.
[16] «Математические дефиниции создают само [математическое] понятие [, содержащее в себе произвольный синтез, который может быть сконструирован a priori (в созерцании)]» [КЧР, 432].
[17] Формально принцип абстракции может быть записан так: (α) (β) [(∑(α) = ∑(β)) ↔ (α ≈ β)], где ∑(α)/∑(β) обозначают вновь вводимые абстрактные объекты в метаязыке (∑). Например, ∑(α) может означать новую абстракцию D(α) — «направление (прямой)», которая «получена» на основе понятийной конструкции более низкого уровня: «прямая α параллельна прямой β»: D(α) = D(β) ↔ прямая α параллельна прямой β (Г. Фреге Основоположения арифметики, § 64; подробнее о принципе абстракции см.: http://plato. stanford. edu/entries/frege-logic/).
[18] Концепция самого Канта может быть определена как трансцендентальный конструктивизм, поскольку его способы построения (resp. принципы конституирования) математических объектов/конструкций носят трансцендентальный характер, т. е. должны соотноситься с некоторым «действием чистого мышления» ([КЧР, 73]; подробнее об этом см.: Л. Моделирование рассуждений в математике: трансцендентальный подход //Модели рассуждений – 1: Логика и аргументация. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. С. 63–90; Трансцендентальная философия математики //Вестник Московского университета. Серия 7 «Философия», № 2, 2008. М: Изд-во МГУ им. , 2008. С. 88–106.). Этот мыслительный ход Канта получил развитие в математическом интуиционизме (resp. интуиционистской математике).
[19] Ср. с кантовским вопросом «Как возможны синтетические суждения априори в математике?».
[20] Ср. с названием известной работы Э. Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках».
[21] «Основательность математического знания зиждется на дефинициях, аксиомах и демонстрациях» [КЧР, 430]. Заметим также, что далее, при обсуждении демонстраций Кант различает догмы (философского знания) и матемы (математики) [КЧР, 435].
[22] См.: О (концепте) числе(а): его онтологии и генезисе //Число (сб. статей под ред. ). М.: МАКС Пресс, 2009. С. 116–133.
[23] Заметим, что примером подобного действия является одно из ключевых понятий концепции А. Бадью – «счет-за-одно».
[24] Здесь мы излагаем близкую нам кантовскую концепцию математики, которая получила развитие в рамках интуиционистской математики, хотя возможен и физикалистcкий взгляд на природу математических конструкций. Так, например, античная геометрия конструктивный характер математики связывала с возможностью построения геометрических объектов с помощью циркуля и линейки., а в ХХ в. подобная трактовка получила развитии в программе эрлагенского конструктивизма (П. Лоренцен и др.; см., например: Lorenzen P. Konstruktive Wissenschaftstheorie. Frankfurt, 1974).
[25] См., например, [КЧР, 423–430; 124–125; 103, 112 и др.].
[26] Заметим, что в своих текстах Кант не проводит концептуального различия между терминами предмет и объект.
[27] Пролегомены ко всякой будущей метафизике, которая может появиться как наука // Соч. в 8 т. Т. 4. М.: Чоро, 1994. С. 56.
[28] См., например: «Эти представления связаны в объекте, т. е. безотносительно к состоянию в субъекте» [КЧР, 105], цитаты выше, а также [КЧР, 95, 97, 102, 104, 105, 132–133, 155, 183 и др.].
[29] Идеологом данного подхода в 70-е годы ХХ в. выступил П. Бенацерраф, автор известной статьи «Чем числа не могут быть» (Benacerraf P. What Numbers Could not Be, 1965). Подробнее о структурализме см.: http://www. iep. utm. edu/m-struct/. Видными представителями [умеренного] структурализма выступают С. Шапиро (S. Shapiro) и М. Резник (M. Resnik). Подробнее о разных версиях структурализма см., например: Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. 1997.
[30] См., например: Field H. Science without Numbers: a Defense of Nominalism. 1980; Hellman G. Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation, 1989; Hellman G. Structuralism without Structures. 1996; Burgess J., Rosen G. A Subject with No Object. 1999.
[31] См., например: Field H. Realism, Mathematics & Modality. 1989.
[32] Правда, здесь остается вопрос о том, насколько данный (кантовский) тезис применим к алгебраическим конструкциям, который тем более насущен, если мы будем учитывать неоднородность математического знания, в составе которого умопостигаемая арифметика (алгебра) является более мета-физической, чем «физическая» (чувственная) геометрия.
[33] Поэтому название труда Ньютона «Математические начала натуральной философии» концептуально неточно (это является одним из лейтмотивов последнего труда Канта «Opus postumum»). У естествознания могут быть только метафизические первоначала (ср. с названием работы Канта «Метафизические начала естествознания»), хотя и без математики оно невозможно.
[34] См., [КЧР, 72, 84 и особенно (о трансцендентальном содержании) с. 86].
[35] По возможности, мы старались провести его нейтрально, хотя в ходе его проведения был получен ряд косвенных контраргументов к тезису Бадью/Чернякова «математика – это онтология». Выскажем их теперь в явной форме.
[36] Соответственно, его монадология, согласно А. Чернякову, выступает реализацией платоновского жеста в философии.
[37] Новая система природы и общения между субстанциями, а также о связи, существующей между душой и телом // Соч. в 4 тт. Т. 1. М.: Мысль, 1982. С. 272 (и сноска № 2 на с. 591).
[38] Ср. с замечанием из письма А. Чернякову от 01.01.2001: «Онтология Лейбница не calculus universalis, а монадология, принципиально нематематическая» (форум ВРФШ, пост http://*****/f/topic. php? id=29).
[39] Письма [избранные] // Сочинения в 8 т. Т. 8. М.: Чоро, 1994. С. 487–489. Ср. также: «Для философа нет ничего более желательного, чем суметь вывести из одного априорного принципа и соединить таким образом в одно познание все многообразное [содержание] понятий и основоположений, которые прежде, при их применении in concrete, представлялись ему разрозненными. Прежде он только верил, что полностью накоплено то, что оставалось ему после определенного отвлечения и что, как казалось ему через сравнение их друг с другом, составляет особый вид познаний, — но это был только агрегат; теперь же опознает, что именно столько-то [познаний] — ни больше, ни меньше — может составить вид знаний; он усмотрел необходимость произведенной им классификации, что и есть понимание, и только теперь имеет он систему» [ Пролегомены ко всякой будущей метафизике, которая может появиться как наука. Сочинения в 8-ми т. Т.4 — М.: Чоро, 1994. – С. 83].
[40] В Критике Кант называет это метафизической дедукцией [категорий].
[41] В определенном смысле к логико-математическому можно также отнести кантовскую группу модальных категорий, формализация которых осуществлена в современных модальных логиках.
[42] Третья категория группы образуется путем синтеза первых двух, наследуя их характеристики. В метафизической категории «взаимодействие» синтезируется субстанциональность первой и условность второй из категорий, т. е. это некая (мета)субстанциональность следующего уровня, преодолевающая предшествующую одно-сторонность условной импликации. Этот синтез можно представить как дву-стороннее действие (в одну и другую сторону), за счет чего и образуется новая самодостаточная (замкнутая) конструкция – взаимодействие (на уровне логических связок: импликация «переходит» в эквивалетность).
[43] В нашей аргументации мы используем не саму теорему, а ее [философскую] интерпретацию, восходящую к Х. Патнему. Первоначальная теорема Лёвенгейма-Сколема (1915 г.) говорила о том, что если множество предложений в счётном языке первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет счётную модель (теорема о понижении мощности). Несколько позже появилось сходное по своей интенции утверждение: если множество предложений счётного языка первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет модель произвольной бесконечной мощности (теорема Лёвенгейма-Сколема о повышении мощности; см. прил. 2). Наш тезис о неизоморфности моделей математических теорий опирается на то обстоятельство, что счетные и несчетные модели, а также модели разной степени мощности, очевидно, неизоморфны.
[44] Ср. с известным афоризмом Д. Гильберта: «Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"!». (см.: К. Рид Гильберт (пер. с англ.,).– М.: Наука, 1977, гл. VIII "Столы, стулья и пивные кружки", с. 79-88)) Феномен абстрактности математических объектов в литературе получил название проблемы Юлия Цезаря, которая состоит в том, что референтом некоторого числа в принципе может быть и Юлий Цезарь (см.: Г. Фреге Основоположения арифметики, § 56).
[45] См. изложение концепции Х. Патнема в работе: Хакинг Ян. Представление и вмешательство. М.: Логос, 1998. С. 105–124.
[46] Этим платоновский жест А. Чернякова будет отличаться от платоновского жеста А. Бадью, который строит свою математическую онтологию на базе гипотез платоновского «Парменида», полагая, в отличие от него, изначальное существование многого.
[47] Соответственно, таковым также является переход от математических чисел к ординалам и кардиналам.
[48] Benacrrraf P., What Numbers Could not Be?, 1965.
[49] См., например: G. Hellman(Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation (1989); Field H., Science without Numbers: a defense of nominalism (1980); J. P. Burgess and G. Rosen, A Subject with No Object (1999).
