Занятие кружка в группе одаренных детей

Занятие кружка в группе одаренных детей

Тема Задачи на разрезание

Цель

Познакомить учащихся с основными методами разрезания фигур с целью квадрирования; Сформулировать и доказать теорему Гервина-Бойяи; Рассмотреть примеры на квадрирование фигур в форме елочек.

В задачах на разрезания одну из фигур нужно разрезать на несколько частей, и сложить из них, без просветов и наложений, другую фигуру. Например, ниже на рисунке показано, как можно перекроить елочку в квадрат, разрезав её на пять частей.

Задача решена, но остается вопрос: можно ли перекроить эту елочку в квадрат, разрезав её на меньшее количество частей? Ответить на этот вопрос в общем случае почти всегда нелегко. Поэтому, найдя более короткое решение, трудно удержаться от удивления и восторга: «Этого не может быть!?».

Иногда может. Например, эту же елочку можно сквадрировать, разрезав её на четыре части. Такое «простое» четвертование придумала на моем занятии в областном профильном лагере для одаренных детей девятиклассница Маркина Екатерина. Возможно это минимальное разрезание.

Разработано много способов и приёмов разрезаний. Например, на рисунке показано, как с помощью двух паркетов, наложенных друг на друга ёлочку можно перекроить в квадрат.

Паркет – это замощение плоскости фигурами без наложений и пропусков. Здесь надо увидеть паркет, выложенный из одинаковых елочек и паркет из квадратов, равновеликих елочкам. Границы квадратов являются линиями, по которым нужно разрезать елочку на четыре части, и здесь же видно как из этих частей сложить квадрат. Правда, красиво!

На практике при решении задач на разрезании этим способом удобно один из паркетов нарисовать на бумаге, а другой на пленке. Тогда наложив пленку на бумагу, подбирают такое расположение одного паркета относительно другого, при котором получается разрезание на наименьшее число частей. Владеющие компьютером, могут накладывать паркеты в каком-либо графическом редакторе.

На рисунке изображено несколько елочек. Все елочки симметричны. Каждую из этих елочек нужно перекроить в квадрат, то есть разрезать на четыре части и сложить из них квадрат.

Среди этих елочек есть легко решаемые, – для разминки, но есть, что называется, «крепкие орешки». Это зависит от числа, которым выражается площадь елочки. Поэтому решение задачи нужно начинать с вычисления площади елочки, затем стороны квадрата. А вот как разрезать – подумайте.

Решение. Разрезание елочек показано на рисунках. На мой взгляд, из предложенных елочек, наиболее трудными в квадрировании являются елочки 1 и 3. Решаются они одинаково. Поясню решение на примере первой елочки.

Площадь елочки равна 45 клеток, поэтому сторона квадрата равна . Построим такой квадрат так, чтобы точки M и N лежали на его сторонах. Для этого проводится окружность диаметра MN. Из точки М про­водится окружность радиу­сом . Точка А пересечения этих окружностей является первой вершиной квадрата. На лучах AM и AN отметим еще две вершины В и D искомого квадрата АВСD. Точка K отмечается так, чтобы KN=ND. Восстанавливаем перпенди­куляр, проходящий через точку K. Осталось разрезать елочку и сложить квадрат.

Аналогично разрезается елочка 3.

Понятно, что предложенный ряд из четырех елочек можно неограниченно продолжать вправо, получая более высокие елочки. Должен отметить, что рассмотренный прием является общим методом квадрирования елочек с нечетным количеством «этажей». Общего метода разрезания на четыре части елочек с четным количеством «этажей» мне неизвестно.