2.2. Матрицы прочностного анализа
Согласно принципу виртуальной работы, очень малое (виртуальное) изменение внутренней энергии деформаций должно компенсироваться таким же изменением внешней работы приложенных к телу нагрузок, т. е.
dU = dV, (2.2-1)
где U = U1 + U2 - энергия деформации (внутренняя работа),
V = V1 + V2 + V3 - внешняя работа,
d - символ виртуального приращения.
Виртуальная энергия деформаций определяется выражением
dU1 = òvol {de}T {s} d(vol) , (2.2-2)
где {e} - вектор деформаций,
{s} - вектор напряжений,
vol - объем элемента.
В предположении линейности поведения материала и малых (линейных) изменений геометрии уравнение (2.2-2) с помощью выражения (2.1-1) приводится к виду:
dU1 = òvol ({de}T [D] {e} - {de}T [D] {eth}) d(vol). (2.2-3)
Деформации связаны с перемещениями узлов соотношением:
{e }= [B] {u} , (2.2-4)
где [B] - матрица деформаций-перемещений, обусловленная функциями формы элемента,
{u} - вектор узловых перемещений.
В дальнейшем предполагается, что используется глобальная декартова система координат. Из уравнения (2.2-3) с учетом соотношения (2.2-4) и при условии, что вектор {u} не меняется по объему элемента, следует:
dU1 = {du}T òvol [B]T [D][B]d(vol) {u} - {du}T òvol [B]T[D] {eth}d(vol). (2.2-5)
Еще одна форма виртуальной энергии деформаций имеет место в том случае, когда поверхность тела перемещается относительно приложенной к ней нагрузки, например, в виде реакции упругого основания. Это может быть записано таким образом:
dU2 = òareaf ({dwn}T {s} d(areaf) , (2.2-6)
где {wn} - вектор перемещения по нормали к поверхности,
{s} - напряжение на поверхности,
arearf - площадь, по которой распределена реакция основания.
Как правило, векторы {wn} и {s} имеют только один отличный от нуля компонент. Нормальное перемещение точки связано с узловыми перемещениями выражением:
{wn} = [Nn] {u}, (2.2-7)
где [Nn] - матрица функций формы для перемещения элемента по нормали к поверхности.
Вектор напряжения {s} записывается следующим образом:
{s} = k {wn}, (2.2-8)
где k - жесткость основания в единицах (сила)/(длина) на единицу площади.
Из уравнений (2.2) при условии, что величина k - постоянна в пределах площади, получим соотношение:
dU2 = {du}Tk òareaf [Nn]T [Nn] d(areaf) {u}. (2.2-9)
Теперь обратимся к рассмотрению внешней виртуальной работы. Сперва учтем инерционные нагрузки:
dV1 = - òvol {dw}T {Fa}/vol d(vol) , (2.2-10)
где {w} - вектор перемещения общей точки,
{Fa} - вектор сил ускорения.
В соответствии со вторым законом Ньютона можно записать такое выражение:
{Fa}/vol = r ¶2{w} /¶t2, (2.2-11)
где r - плотность (вводится в виде параметра DENS командой МР),
t - время.
Перемещения в пределах элементах связаны с узловыми перемещениями следующим соотношением:
{w} = [N] {u}, (2.2-12)
где [N] - матрица, определяемая функциями форм элемента. Из уравнений (2.2-10), (2.2-11) и (2.2-12) при условии, что плотность r постоянна по объему, следует:
dV1 = - {du}T r òvol {N}T {N} d(vol) ¶2{w}/¶t2. (2.2-13)
Работа вектора сил давления определяется формулой:
dV2 = òareap d{wn}T {P} d(areap), (2.2-14)
где {P} - вектор приложенного давления (в нормальном направлении содержит только один отличный от нуля компонент),
areap - площадь, по которой распределено давление.
Из уравнений (2.2-12) и (2.2-14) следует выражение:
dV2 = {du}T r òvol {Nn}T {P} d(areap). (2.2-15)
Если не утверждается обратное, давление считается приложенным по нормали к наружной поверхности каждого элемента.
Работа узловых сил {Fe}nd, приложенных к элементу, может быть вычислена согласно соотношению:
dV3 = {du}T {Fe}nd . (2.2-16)
При анализе напряжений все материальные свойства элементов определяются при средней для каждого элемента температуре. Итак, в конечном итоге из уравнений (2.2-1), (2.2-5), (2.2-9), (2.2-13), (2.2-15) и (2.2-16) следует выражение:
{du}T òvol ([B]T [D] [B] d(vol) {u} - {du}T òvol [B]T [D] {eth} d(vol) + + {du}Tk òareaf [Nn]T [Nn] d(areaf) {u} = - {du}T r òvol {N}T {N} d(vol) ¶2{u} /¶t2+ {du}T òareap {Nn}T {P} d(areap) + {du}T {Fe}nd | (2.2-17) |
Если обратить внимание на то, что вектор {du}T, представляющий собой набор произвольных виртуальных перемещений, является общим для каждого из слагаемых выражения (2.2-17), то это уравнение можно представить следующим образом:
([Ke] + [Ke]f) {u} - {Fe}th = [Me] {u’’} + {Fe}pr + {Fe}nd. (2.2-18)
Здесь [Ke] = òvol [B]T [D] [B] d(vol) - матрица жесткости элемента,
[K fe] = k òareaf [Nn]T [Nn] d(areaf) - матрица жесткости основания,
{Fe}th = òvol [B]T [D] {eth} d(vol) - вектор тепловых нагрузок для элемента,
[Me] = r òvol {N}T {N} d(vol) - матрица масс элемента,
{u’’} = ¶2{u} /¶t2- вектор ускорения (аналогичен силе тяжести),
{Fe}pr = òareap {Nn}T {P} d(areap) - вектор сил давления.
Уравнение (2.2-18) представляет собой уравнение равновесия, полученное для одного конечного элемента.
Приведенные выше матрицы и векторы нагрузок рассматривались как наиболее полные (последовательные). Возможны и другие формулировки уравнений равновесия. Так, например, если учитывать только диагональные компоненты матрицы масс (с помощью команды LUMPM, ON), то получится матрица, которая называется "сгущенной" (см. раздел 13.2). Для большинства таких массовых матриц характерно то, что вращательные степени свободы не учитываются. Если требуется устранить вращательные степени свободы (с помощью команды KEYOPT для определенных элементов), то получающиеся матрицы или векторы нагрузок называются "редуцированными (сокращенными)". Из сказанного следует, что использование редуцированного вектора сил давления позволяет избежать появления “паразитного” момента сил, как в случае использования полного вектора нагрузок. Примером этого может служить тонкая круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением, которая моделируется оболочечными элементами, имеющими разные размеры. Как показано на Рис. 2.2-1, последовательный подход к заданию давления приводит к появлению паразитного момента в месте сопряжения двух смежных элементов.
Рис 2.2-1. Влияние различий в размерах элементов
Вывод данных под заголовком "CENTROID, MASS, AND MASS MOMENT INERTIA" не означает, что имело место обращение к каким-либо матрицам масс. Просто масса каждого конечного элемента была приведена к его центру. При этом под “центром” элемента подразумевается не центр масс, а начало cистемы координат элемента, для которого справедливы следующие соотношения:
Xс = {N0}T {Xn} (2.2-19)
Yс = {N0}T {Yn} (2.2-20)
Zс = {N0}T {Zn}, (2.2-21)
где Xс и т. д. - выходная величина XC и т. д.;
{N0} - вектор функций формы, вычисленный в начале системы координат элемента;
{Xn} - вектор узловых координат.
В качестве примера на Рис. 2.2-2 показан искривленный элемент PLANE82.
Рис. 2.2-2. Местоположение центра
