Характеристики систем массового обслуживания

Лекция № 7

Характеристики систем массового обслуживания

Раздел 3. Теория массового обслуживания

1. Длительность обслуживания заявок в элементах СМО и поток их освобождений. 1

2. Основные характеристики узлов коммутации и ветвей связи вторичных сетей. 2

Контрольные вопросы.. 4

1. Длительность обслуживания заявок в элементах СМО и поток их освобождений

Длительность обслуживания заявок в СМО может быть случайной или детерминированной величиной. Детерминированным бывает время обслуживания заявок при фиксированных промежутках обслуживания (при фиксированной пропускной способности СМО). Для описания распределения длительности обслуживания пользуются функцией распределения вероятностей времени t. В теории массового обслуживания наиболее широко для описания закона распределения времени обслуживания пользуются показательным законом распределения, для которого функция распределения времени обслуживания имеет вид:

(1)

где m - параметр длительности обслуживания, называемый также интенсивностью обслуживания, m = 1 / M(t), M(t) - математическое ожидание длительности обслуживания.

Широкое использование показательного распределения для описания времени обслуживания заявок объясняется тем, что этот закон наиболее близок к реальному распределению и тем, что при этом законе аналитические соотношения для анализа показателей эффективности функционирования элементов вторичных сетей связи получаются наиболее простыми.

Основные числовые характеристики времени обслуживания при показательном распределении будут следующими:

(2)

После окончания обслуживания любой заявки занятые элементы системы освобождаются и готовы к обслуживанию следующей заявки.

Последовательность моментов времени, в которые происходит окончание обслуживания заявки в элементах СМО, образует поток освобождений. Характеристики потока освобождений зависят от закона распределения поступающего потока заявок, закона распределения времени обслуживания и принятой дисциплины обслуживания.

В СМО используются две основные дисциплины обслуживания:

- в порядке поступления заявок;

- в порядке их приоритета и времени поступления заявок с равными приоритетами.

При обслуживании потока поступающих заявок без потерь и при детерминированном времени обслуживания закон распределения потока освобождений будет совпадать с законом распределения потока поступающих заявок. При случайной длительности обслуживания порядок выхода заявок из системы массового обслуживания может отличаться от порядка их поступления на обслуживание.

При показательном распределении времени обслуживания заявок интенсивность m(t) потока обслуженных заявок на выходе n канальной системы массового обслуживания в любой момент времени t зависит от интенсивности m обслуживания заявок в каждом устройстве и числа i(t) устройств, занятых обслуживанием заявок в данный момент времени t

m(t) = m i(t)

(3)

Следует заметить, что при экспоненциальном законе распределения времени обслуживания поток обслуженных заявок на выходе системы массового обслуживания будет всегда обладать свойством ординарности и отсутствия последействия вне зависимости от закона распределения потока заявок, поступающих на обслуживание.

2. Основные характеристики узлов коммутации и ветвей связи вторичных сетей

Наиболее важной характеристикой СМО при решении задач анализа их вероятностно-временных характеристик является коэффициент средней относительной загрузки, называемый также коэффициентом использования. Его значение определяется из соотношения r = l×Т, где l - интенсивность поступления заявок в СМО; Т - среднее время обслуживания заявки. Величина r показывает долю времени, в течение которой СМО занята обслуживанием. Если СМО содержит n обслуживающих устройств (каналов), то величина r численно равна математическому ожиданию (среднему значению) числа устройств (каналов), занятых обслуживанием заявок в данной системе массового обслуживания. Следует заметить, что работа любой системы массового обслуживания с коэффициентом средней относительной загрузки r равным или приближающимся к единице не допустима из-за того, что очередь заявок, ожидающих обслуживания, будет бесконечно расти, и время ожидания в ней также будет стремиться к бесконечности.

Как следует из вышеописанного коэффициент средней относительной загрузки элементов СМО является безразмерной величиной. Но при анализе показателей эффективности СМО принято коэффициент средней загрузки измерять в Эрлангах. Очевидно при этом, что единица измерения коэффициента загрузки Эрланг размерности не имеет. Её определение для СМО ведется следующим образом. Если система массового обслуживания содержит одно обслуживающее устройство с экспоненциально распределенным временем обслуживания, на вход которого поступает простейший поток заявок, то его средняя относительная загрузка вычисляется из соотношения:

r = l×Т = l / m (Эрл),

(4)

где l - интенсивность потока заявок, поступающих на обслуживание, измеряемая числом заявок, поступающих за единичный интервал времени; Т - среднее время обслуживания; m = 1 / Т - интенсивность обслуживания заявок.

Если известны интенсивности li, i =1,2,...,n потоков заявок, поступающих на входы n канальной системы массового обслуживания, и известны интенсивности mi, i = 1,2,...,n обслуживания заявок в каждом обслуживающем устройстве, то средняя относительная загрузка r каждого устройства n канальной системы массового обслуживания определится из соотношения:

(5)

Общая нагрузка r, поступающая на всю n канальную систему массового обслуживания будет определяться из соотношения:

(6)

Часть нагрузки, поступающей в систему массового обслуживания в моменты времени занятости всех n обслуживающих устройств при отсутствии свободных мест в очереди для ожидания может получать отказ и теряться. В таких случаях нагрузка, обслуженная системой массового обслуживания, будет меньше поступающей нагрузки. Разность между поступающей и потерянной нагрузкой будет равна обслуженной нагрузке.

Среднее время пребывания заявки в любом элементе СМО определяется из выражения:

Т = W + Z,

(7)

где W - среднее время ожидания до начала обслуживания, Z - среднее время обслуживания заявки.

Величина среднего времени ожидания W отражает ту цену, которую абоненты системы платят за то, что ресурсы системы находятся в групповом использовании, а не предоставляются каждому абоненту в индивидуальное пользование.

В ряде СМО предусматривается возможность ожидания в очереди для тех заявок, которые не могут обслуживаться немедленно из-за занятости обслуживающего устройства. Для таких систем можно пользоваться известной формулой Литтла, позволяющей определить число заявок, находящихся в СМО в очереди и на обслуживании:

N = l ×T,

(8)

где l - интенсивность потока поступающих заявок; Т - среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди и на обслуживании).

Соответственно, число заявок, находящихся в очереди определится из соотношения:

М = l×W.

(9)

Для любой n канальной системы массового обслуживания при любых законах распределения потоков поступающих заявок и времени обслуживания справедливо соотношение:

М = N - n×r.

(10)

Контрольные вопросы

Основные характеристики систем массового обслуживания. Длительность обслуживания. Коэффициент средней относительной загрузки.