Идея: исследуй остатки при делении
Вам предстоит, выбирая разделы каталога, раскрывая гиперссылки, переходить к разделам материалов о идеи применения исследования остатков для решения задач с числами.
Если Вы хотите, до изучения всех разделов материалов о этой идеи обратиться к другой из идей, то это можно сделать двумя способами:
Первый вариант – прокруткой обратиться к началу файла, в котором приведен список всех десяти идей для решения задач с числами.
Каталог материалов о идеи
«Исследование остатков при решении задач с числами»
Эвристики, указывающие на целесообразность исследования остатков от деления.
Варианты реализации идеи исследования остатков от деления.
Ключевые слова, используемые в тексте условия, которые указывают на возможность исследования остатков и слова, используемые при описании реализации идеи.
Примеры (пример 1 и 2) реализации идеи исследования остатков.
Коллекция заданий на реализацию разных вариантов идеи исследования остатков.
Задания для самостоятельного выполнения заданий путем реализации идеи исследования остатков.
Указания для выполнения заданий из предыдущего раздела.
Тренажеры: учимся составлять задачи; учимся находить и исправлять ошибки; учимся анализировать ситуацию в задаче; учимся отказываться от известного решения и находить новое решение; учимся получать следствия.
Творческие задания.
Эвристики:
- в ситуации задачи имеется выражение, которое делится на некоторое число а (его надо самостоятельно определить), которое связано с элементами ситуации,
- удается исследовать, определить остатки от деления на число а, как отдельных объектов уравнения, так и частей уравнения,
- исследование остатков позволяет выделить случаи, которые возможны в ситуации задачи.
Возврат в каталог для выбора раздела.
Варианты реализации идеи:
· применяется перебор остатков,
· применяется известное утверждение о делимости;
· доказывается свойство делимости на число, связанное с ситуацией в задаче.
Возврат в каталог для выбора раздела.
Ключевые слова:
При распознавании:
Решить уравнение в целых числах.
Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах.
При описании реализации идеи:
- число (из уравнения) или объект уравнения делится на …;
- исследуем делимость … левой части;
- исследуем делимость … правую часть;
- сравним остатки и получим следствия из результата сравнения.
Возврат в каталог для выбора раздела.
Примеры реализации метода разложения
при решении уравнений в целых числах
Пример 1
Докажите, что уравнение х3+у3=4(х2у+ху2+1) не имеет решений в целых числах.
Визуальное изучение уравнения показывает:
Уравнение зависит от двух неизвестных.
Уравнение имеет третью степень относительно х и у.
Уравнение не удается разрешить ни относительно х, ни относительно у.
В уравнении имеется сумма кубов х и у.
Наличие суммы кубов указывает на возможность выполнения таких действий:
- разложение левой части на два множителя,
- выделить куб суммы х и у.
Первая возможность указывает на целесообразность реализовать идею разложения на множители. Вторая возможность указывает на целесообразность реализовать идею исследования остатков.
Покажем реализацию второй возможности.
Преобразуем уравнение к виду:
(х+у)3=7ху(х+у)2+4.
Появилось число 7. Это указывает на возможность исследования остатков левой и правой частей уравнения на 7.
По условию х и у – целые числа, поэтому 7ху(х+у) делится на 7 и правая часть уравнения при делении на 7 имеет остаток 4.
Так как куб целого числа при делении на 7 не может давать остаток 4, то уравнение не имеет решений.
Предлагаем самостоятельно дать ответы на такие вопросы:
Что подсказало возможность применить исследование остатков?
Что подсказало выбор варианта реализации исследования?
Как составить аналогичные задания;
Как усложнить задание?
Как отразить работу над уравнением в личном справочнике?
Пример 2
Решить в целых числах уравнение 3х2+2=у2.
Анализ ситуации показывает, что применить метод разложения на множители не удается.
Что делать дальше?
Единого ответа нет.
Требуется найти новый вариант действий, обнаружить и применить новые связи между элементами уравнения.
Начать поиск имеет смысл с вопросов, которые позволят изменить направления поиска. Часть вопросов и ответы на них поместим в таблицу.
Вопросы | Ответы |
Какие выводы можно сделать из того факта, что присутствует 3? | 1. 3х2 делится на 3 2. 3х2 можно представить в виде суммы или разности разных одночленов. 3. Получить выражение, которое должно делится на 3 |
Как сказывается наличие числа 2? | 1. Левая часть уравнения не делится на 3. 2. Левая часть уравнения при делении на 3 имеет остаток 2. 3. 2 можно представить разными способами: 2=1+1=3-1. 4. 2 можно перенести в правую часть уравнения. |
Можно ли как-то использовать наличие коэффициентов 3 и 2? | 1. Левая часть уравнения при делении на 3 имеет остаток 2. 2. Исследовать остатки от деления на 3 правой части уравнения. |
Отсюда появляется идея: Выяснить, какие остатки при делении на 3 имеет правая часть уравнения.
Важно осознать и выявить из наших действий все полезное, что может пригодиться при решении иных задач. В этой плоскости можно отметить:
1. Полезно задавать вопросы, позволяющие разобраться в ситуации.
2. Каждый должен для себя выделить те вопросы, которые позволят ему научиться выявить особенности ситуации.
Обобщая идею использования остатков от деления, заметим, что часто помогает выполнение таких действий:
1. Учитывая, индивидуальные особенности уравнения или опираясь на опыт решения, выбирают целое число.
2. Исследуют остатки при делении на число (выбранное на первом шаге) левой и правой частей уравнения.
3. Если удается доказать, что обе части уравнения имеют разные остатки, то уравнение не имеет решений.
Предлагаем самостоятельно дать ответы на такие вопросы:
Что подсказало возможность применить исследование остатков?
Что подсказало выбор варианта реализации исследования?
Как составить аналогичные задания;
Как усложнить задание?
Как отразить работу над уравнением в личном справочнике?
В следующем разделе приводится коллекция заданий, при решении которой используются свойства делимости.
Возврат в каталог для выбора раздела.
Коллекция уравнений в целых числах
при решении которых применяется результаты исследования остатков
Условия заданий коллекции
(остатки)
Рекомендуем попытаться самостоятельно реализовать идею исследования остатков, но после решении имеет смысл познакомиться с решениями, приведенными ниже.
Задание 1. Найти целые решения уравнения х2=3у2+2.
Задание 2. Найти целые решения уравнения: 3х2+6х+8=у2.
Задание 3. Найти целые уравнения: у2=5х2+7.
Задание 4. Найти целые решения уравнения у2=7х5+3.
Задание 5. Найти целые решения уравнения 5х2-7у2=9.Задание 6. Найти целые решения уравнения x2+y2+z2=2007.
Задание 7. Найти целые решения уравнения х2-2у2=81z2+318.
Задание 8. Найти целые решения уравнения x2+y2=2002(z2+t2).
Задание 9. Найти целые решения уравнения х(х+1)(х+2)(х+3)=256у5+2.
Задание 10. Найти целые решения уравнения 2х2+7у2=3z2.
Задание 11. Найти натуральные решения уравнения х!+62=у2, где 1! = 1;
х! =1∙2∙3∙…∙х.
Задание 12. Найти натуральные решения уравнения x4+2y4+8z4=4t4.
Задание 13. Найти целые решения уравнения 53х-43х=61z6+7.
Задание 14. Сколько натуральных решений имеет уравнение 5(x2+y2)=z2+t2?
Задание 15. Решить уравнение 4х2-5у=6 в целых числах.
Задание 16. Найти натуральные решения уравнения (2x+2y)2=2t+2z.
Возврат в каталог для выбора раздела.
Решение заданий коллекции
Коллекция заданий, при решении которых используется
свойство делимости целых чисел
Задание 1. Найти целые решения уравнения х2=3у2+2.
Анализ ситуации. Видим, что 3у2 делится на 3, поэтому правая часть при делении на 3 имеет остаток 2. Вот этот факт, что известен остаток от деления правой части на 3 и подсказывает: имеет смысл исследовать остаток от деления левой части уравнения на 3.
Получаем:
1. х не делится на 3, поэтому х может иметь при делении на 3 остаток 1 или 2.
2. Пусть х при делении на 3 дает остаток 1: х=3е+1, где е – целое число.
3. Тогда х2=9е2+6е+1 и, следовательно, правая часть уравнения при делении 3 имеет остаток 1. Отсюда получаем: х, имеющие остаток 1 при делении на 3 не могут быть решениями исходного уравнения.
4. Пусть х при делении на 3 дает остаток 2: х=3е+2, где е – целое число.
5. Тогда х2=9е2+12е+4 и, следовательно, правая часть уравнения при делении 3 имеет остаток 1. Отсюда получаем: х, имеющие остаток 2 при делении на 3 не могут быть решениями исходного уравнения.
Окончательно приходим к выводу: уравнение не имеет целых решений.
Имеет смысл запомнить такое утверждение: Квадрат целого числа при делении на 3 может делиться на 3 или иметь остатком число 1.
Задание 2. Найти целые решения уравнения: 3х2+6х+8=у2.
Решение. Уравнение перепишем следующим образом: 3(х2+2х+2)+2=у2. Так как два первое слагаемое делятся на 3, а число 2 при делении на 3 имеет остаток 2, то левая часть уравнения при делении на 3 имеет остаток 2.
Так как квадрат целого числа при делении на 3 может иметь остатком 0 или 1, то уравнение не имеет решений.
Задание 3. Найти целые решения уравнения: у2=5х2+7.
Анализ ситуации. Видим, что 5х2 делится на 5. Отсюда получаем, что остаток от деления правой части уравнения на 5 равен 2.
Кроме того, получаем, что у не делится на 5.
Исследуем остатки у2 при делении на 5.
Решение. Известно, что у, которое не делится на 5, может при делении на 5 иметь такие остатки: 1; 2; 3; 4. Рассмотрим каждый из этих случаев.
Пусть у=5е+1, где е – целое число. Тогда у2=(5е+1)2=25е2+10е+1. Видно, что в этом случае у2 при делении на 5 имеет остаток 1, поэтому у=5е+1 на могут быть решениями исходного уравнения.
Пусть у=5е+2, где е – целое число. Тогда у2=(5е+2)2=25е2+20е+4. Видно, что в этом случае у2 при делении на 5 имеет остаток 4, поэтому у=5е+2 на могут быть решениями исходного уравнения.
Пусть у=5е+3, где е – целое число. Тогда у2=(5е+3)2=25е2+30е+9. Видно, что в этом случае у2 при делении на 5 имеет остаток 4, поэтому у=5е+3 на могут быть решениями исходного уравнения.
Пусть у=5е+4, где е – целое число. Тогда у2=(5е+4)2=25е2+40е+16. Видно, что в этом случае у2 при делении на 5 имеет остаток 1, поэтому у=5е+4 на могут быть решениями исходного уравнения.
Решение может быть описано так: Правая часть уравнения при делении на 5 дает в остатке число 2. Так как квадрат числа при делении на 5 не может иметь остатком число 2 (По существу в предыдущем описании решения было доказано, что квадрат числа при делении на 5 может иметь такие остатки: 0; 1; 4), то уравнение не имеет решений.
Ответ: уравнение не имеет решений.
Задание 4. Найти целые решения уравнения у2=7х5+3.
Решение. Правая часть уравнения при делении на 7 дает в остатке число 3. Так как квадрат числа при делении на 7 не может иметь остатком число 3 (убедитесь самостоятельно, что квадрат числа при делении на 3 может иметь такие остатки: 0; 1; 2; 4), то уравнение не имеет решений.
Ответ: уравнение не имеет решений.
Задание 5. Найти целые решения уравнения 5х2-7у2=9.
Решение. Уравнение не имеет целых решений потому, что целое число 5х2 при делении на 7 может давать такие остатки: 0; 3; 5; 6, а число 9 при делении на 7 имеет остаток 2.
Ответ: уравнение не имеет целых решений.
Задание 6. Найти целые решения уравнения x2+y2+z2=2007.
Решение. Сложность выполнения данного задания связана с тем, что здесь явно нет числа, остатки от деления на которое будет использовано.
В таких случаях часто используется число 8.
Следующие равенства позволяют определить возможные остатки квадратов целых чисел при делении на 8:
(8е+1)2=64е2+16е+1;
(8е+2)2=64е2+32е+4;
(8е+3)2=64е2+48е+9;
(8е+4)2=64е2+64е+16;
(8е+5)2=64е2+80е+25;
(8е+6)2=64е2+96е+36;
(8е+7)2=64е2+112е+49.
Таким образом, видно, что квадрат числа при делении на 8, может иметь остатки: 0; 1; 4.
Остаток от деления числа 2007 на 8 равен 7.
Так как сумма любых трех чисел из набора 0; 1; 4 не дает число 7, то уравнение не имеет целых решений.
Ответ: уравнение не имеет целых решений.
Задание 7. Найти целые решения уравнения х2-2у2=81z2+318.
Решение. Легко убедиться, что правая часть уравнения делится на 3, но не делится на 9. Для того, чтобы уравнение имело целые решения необходимо, чтобы левая часть уравнения делилась на 3. Исследуя остатки от деления квадратов чисел на 3, убеждаемся (сделайте это самостоятельно): правая часть может делиться на 3 только в том случае, когда х и у делятся на 3. Но в этом случае правая часть уравнения делится на 9, а левая часть уравнения не делится на 9, поэтому уравнение не имеет целых решений.
Ответ: уравнение не имеет целых решений.
Задание 8. Найти целые решения уравнения x2+y2=2002(z2+t2).
Решение. Понятно, что следует использовать какой-то из делителей числа 2002. Легко установить делимость числа 2002 на такие простые числа 2; 7; 11; 13. Какой из делителей использовать для исследования?
Если использовать число 2, то будет много вариантов, поэтому попытаемся использовать число 7.
Так как правая часть неравенства делится на 7, то и левая часть должна делится на 7.
Квадрат числа при делении на 7 может иметь остатками числа: 0; 1; 4; 2. Только в том случаи, когда х и у имеют остатками число 0 правая часть может делиться на 7. Поэтому х и у делятся на 7.
Тогда х2+у2 делится на 49. Так как 2002 на делится на 49, то z2+t2 делится на 7, поэтому, повторяя рассуждения для z, t, докажем, что z2+t2 делится на 49.
Кроме того, получаем, что наивысшая степень числа 7, на которую делится сумма квадратов двух чисел четна. Следовательно, уравнение не имеет ненулевых целых решений не имеет потому, что левая часть уравнения делится на четную степень числа 7, а правая часть уравнения – делится на нечетную степень числа 7.
Проверка показывает, что x=y=z=t=0 – единственное решение исходного уравнения.
Ответ: x=y=z=t=0.
Задание 9. Найти целые решения уравнения х(х+1)(х+2)(х+3)=256у5+2.
Решение. Из четырех последовательных чисел х, х+1, х+2, х+3 одно делится на 4, поэтому левая часть уравнения делится на 4. Так как 256 делится на 4, число 2 не делится на 4, то уравнение не имеет целых решений.
Ответ: уравнение не имеет целых решений.
Рекомендуем запомнить утверждение о деломости произведения последовательных целых чисел.
Задание 10. Найти целые решения уравнения 2х2+7у2=3z2.
Решение. Уравнение перепишем следующим образом: 2х2=3z2-7у2. Так как левая часть уравнения четна, а числа 3 и 7 нечетны, то z, y могут быть одной четности, т. е. оба четны или оба нечетны.
1. Пусть z, y – оба нечетны. В этом случае существуют такие целые к и е, что z=2e+1, y=2к+1. С учетом этого, после очевидных преобразований, уравнение сводится к такому уравнению:
2х2=12е2+12е-28к2-28к-4.
Следовательно, если решения существуют, то х должен быть четным числом: х=2о. Подставив в уравнение и выполнив очевидные преобразования, получим:
2о2=3е(е+1)-7к(к+1)-1.
Так как е(е+1) и к(к+1) – четные числа, - 1 является нечетным числом, то последнее равенство невозможно.
Уравнение не имеет решений, если z, y – нечетные числа.
2. Пусть z, y – четные числа. Предположим, что в этом случае решение уравнения существует. Пусть z=2е, е - положительное число (если решение имеется, то имеется такое решение) y=2к. Среди решений выберем решение (х, z, y) с наименьшим положительным z. Тогда, выполнив очевидные преобразования уравнения, получим:
2х2=12е2-28к2.
Так как правая часть уравнения делится на 4, то х должен быть четным числом. Пусть х=2о, где о – целое число. Тогда приходим к такому уравнению: 2о2=3е2-7к2. Таким образом, показано, что существует решение х=о, z=е, y=к исходного уравнения такое, что о<е< z.
Противоречие.
Исходное уравнение не имеет целых решений и в этом случае.
Ответ: уравнение не имеет целых решений.
Задание 11. Найти натуральные решения уравнения х!+62=у2, где 1! = 1;
х! =1∙2∙3∙…∙х.
Решение. Пусть х=1. Тогда уравнение принимает вид: 63=у2 – уравнение не имеет целых решений.
Пусть х=2. Тогда уравнение принимает вид: 64=у2 – решениями этого уравнения служат у=8 и у=-8.
Исходное уравнение имеет решение (2; 8).
Пусть х=3. Тогда уравнение принимает вид: 68=у2 – уравнение не имеет целых решений.
Пусть х=4. Тогда уравнение принимает вид: 76=у2 – уравнение не имеет целых решений.
Докажем, что при остальных натуральных х уравнение не имеет целых решений. Рассмотрим любое х
5.
Тогда х! делится на 5 (Почему?).
Так как 62 при делении на 5 дает остаток 2, то остаток от деления левой части уравнения на 5 равен 2. Но известно: не существует целого у, квадрат которого при делении на 5 дает остаток, равный 2.
Ответ: уравнение не имеет целых решений.
Задание 12. Найти натуральные решения уравнения x4+2y4+8z4=4t4.
Решение. Предположим, что уравнение имеет решение. Если числа x, y, z, t имеют общий делитель, то обе части уравнения можно разделить на этот общий делитель, поэтому можно считать, что решения уравнения не имеют общего делителя. Легко убедиться в том, что х – четное число. Пусть х=2х1. Подставив в уравнение, получим: 16х14+2у4+8z4=4t4. После деления обеих частей уравнения на 2 получим: 8х14+у4+4z4=2t4, Отсюда получаем, что у – четное число. Пусть у=2у1. Вновь, подставляя в уравнение, получим:
8х14+16y12+4z4=2t4 или 4х14+8y12+2z4=t4.
Откуда следует, что t – четное число. Пусть t=2 t1. Тогда, повторяя рассуждения, вновь убеждаемся, что и z является четным числом. Противоречие: получили, что x, y, z, t – имеют общим делителем число 2.
Ответ: уравнение не имеет натуральных решений.
Задание 13. Найти целые решения уравнения 53х-43х=61z6+7.
Решение. Если х – отрицательное число, то очевидно, что левая часть отрицательна, а правая часть уравнения – больше 0.
Пусть х – натуральное число. В уравнении фигурирует «странное» число 61. Может быть, левая часть неравенства при делении на 61 имеет остаток, который отличен от 7?
Попробуем х=1: 53-43=125-64=61. Получили число, которое делится на 61.
Исследуем разность 53х+3-43х+3-53х+43х=53х(125-1)-43х(43-1)=124∙53х-63∙43х=61∙53х+63∙53х-63∙43х=61∙53х+63(53х-43х).
Таким образом, доказано такое утверждение: Если 53х-43х делится на 61, то разность 53х+3-43х+3 делится на 61. Это означает, что левая часть неравенства при всех натуральных х делится на 61.
Видно, что правая часть при делении на 61 дает остаток 7. Следовательно, уравнение не имеет целых решений.
Ответ: уравнение не имеет целых решений.
Задание 14. Сколько натуральных решений имеет уравнение 5(x2+y2)=z2+t2?
Решение. Легко убедиться, что x=2, y=1, z=3, t=4 является решением уравнения. Умножим обе части уравнения на квадрат натурального числа а. После этого последовательно получаем:
5a2(x2+y2)=a2(z2+t2)
5((ax)2+(ay)2)=(az)2+(at)2.
Этого равенство позволяет утверждать: Если (x, y, z, t) – решение исходного уравнения, a – натуральное число, то (ax, ay, az, at) – решение исходного уравнения.
Так как а – любое натуральное число, то исходное уравнение имеет бесконечное множество решений.
Задание 15. Решить уравнение 4х2-5у=6 в целых числах.
Решение. Если решения существуют, то 4х2 при делении на 5 должен давать такой же остаток, который имеет число 6 при делении на 5 – число 1.
Найдем х, при которых левая часть уравнения при делении на 5 дает остаток 1. Для этого применим метод перебора, учитывая, что х не может делиться на 5:
Пусть х=5е+1.
Тогда последовательно получаем: 4(5е+1)2=100е2+40е+4 – имеет остаток 4. Такие х не могут быть решениями уравнения.
Пусть х=5е+2.
Тогда последовательно получаем: 4(5е+2)2=100е2+8е+16 имеет остаток 1. Такие х могут быть решениями уравнения, если для них найдутся соответствующие целые значения у.
Пусть х=5е+3
Тогда последовательно получаем: 4(5е+3)2=100е2+120е+36 имеет остаток 1 Такие х могут быть решениями уравнения, если для них найдутся соответствующие целые значения у.
Пусть х=5е+4.
Тогда последовательно получаем: 4(5е+4)2=100е2+160е+64 – имеет остаток 4. Такие х не могут быть решениями уравнения.
Проверим значения х=5е+2 для этого подставим в исходное уравнение и попытаемся найти соответствующие значения у:
4(5е+2)2-5у=6 ó 100е2+80е+16-5y=6 ó 100е2+80е+10-5y=0 ó 20e2+16e+2=y.
Так как е – целое число, то у=20е2+16е+2 – целое число, поэтому пара
х=5е+2, у=20e2+16e+2
является искомым решением исходного уравнения.
Проверим значения х=5е+3 для этого подставим в исходное уравнение и попытаемся найти соответствующие значения у:
4(5е+3)2-5у=6 ó 100е2+120е+36-5y=6 ó 100е2+120е+30-5y=0 ó 20e2+24e+6=y.
Так как е – целое число, то у=20е2+24е+6 – целое число, поэтому пара
х=5е+3, у=20e2+24e+6
является искомым решением исходного уравнения.
Ответ: {(5e+2; 20e2+16e+2), (5e+3; 20e2+24e+6)| e – любое целое число}.
Задание 16. Найти натуральные решения уравнения (2x+2y)2=2t+2z.
Решение. Естественно выполнить преобразование уравнения. Так как слагаемые в обеих частях имеют общие множители, то имеет смысл выполнить вынесение общего множителя.
Начнем со случая, когда х не равен у и t не равно z. Кроме того, не нарушая общности, можно дополнительно предположить, что х >у, t>z.
Преобразуем уравнение и запишем его так:
22y(2x-y+1)2=2z(2t-z+1).
В обоих скобках стоят нечетные числа, поэтому z=2y. После деления обеих частей уравнения на 22у получим: 22x-2y+2x-y+1=2t-2y.
Каждое слагаемое левой части уравнения меньше 2t-2y. Но тогда их сумма может быть равна 2t-2y лишь в том случае, когда они оба равны 2t-2y-1. Приравнивая показатели, получаем систему уравнений, из которой все неизвестные могут быть выражены через одно неизвестное.
Другие случаи рассматриваются аналогично.
Ответ: либо х=у=а, t=z=2a+1 (a – любое натуральное число), либо пара (х; у) совпадает с парой (а; а+1), а пара (t; z) с парой (2а+3; а) (а – любое натуральное число).
Возврат в каталог для выбора раздела.
Задания для самостоятельного решения
Условия заданий для самостоятельного решения
В разделе приводятся задания для самостоятельного выполнения. К большинству заданий приводятся указания, а к некоторым и ответы.
Задание 1. Докажите, что уравнение х2+4х-11=8у не имеет решений в целых числах.
Задание 2. Докажите, что уравнение 2х2=5у+1 не имеет решений в целых числах.
Задание 3. Имеет ли целые решения уравнение 3х2+17=у2?
Задание 4. Имеет ли уравнение 2х2-4х-5у2-10у-10=0 целые решения?
Задание 5. Докажите, что уравнение x2+y2+z2=2xyz неразрешимо в целых числах.
Задание 6. Решить уравнение в целых числах 3х-2у=1.
Задание 7. Решить уравнение в целых числах х3-5у2=13.
Задание 8. Решить уравнение x2+y2=6(z2+t2) в целых числах.
Задание 9. Докажите, что уравнение 
не имеет целых решений.
Задание 10. Найдите целые решения уравнения у2+у=х4+х3+х2+х.
Задание 11. Найдите целые решения уравнения 5х2+11у3=7.
Задание 12. Найдите целые решения уравнения х3+2х2+5=21у.
Задание 13. Найдите целые решения уравнения х3+у3+4=8z3.
Задание 14. Найдите целые решения уравнения х5-х3-х2+1=у2.
Задание 15. Доказать, что не имеет решений в целых числах уравнение х3+3=4у(у+1).
Задание 16. Доказать, что неразрешимо в целых числах уравнение х2+у2=2015.
Задание 17. Доказать, что неразрешимо в целых числах уравнение
2х2-5у2=7.
Задание 18. Доказать, что неразрешимо в целых числах уравнение
х3+21у2+5=0.
Задание 19. Доказать, что неразрешимо в целых числах уравнение
15х2-7у2=9.
Указания для выполнения заданий раздела
Задание 1. Докажите, что уравнение х2+4х-11=8у не имеет решений в целых числах.
Указание 1. Используйте такую запись уравнения: х2-11=4(2у-х).
Указание 2. Используйте такую запись уравнения: (х+2)2-15=8у.
Задание 2. Докажите, что уравнение 2х2=5у+1 не имеет решений в целых числах.
Указание. Сравните остатки от деления на 5 левой и правой частей уравнения.
Задание 3. Имеет ли целые решения уравнение 3х2+8=у2?
Указание. Обратите внимание на то, что 3х2 делится на 3.
Задание 4. Имеет ли уравнение 2х2-4х-5у2-10у-10=0 целые решения?
Указание. Примените выделение полных квадратов.
Задание 5. Докажите, что уравнение x2+y2+z2=2xyz неразрешимо в натуральных числах.
Указание. Обратите внимание на то, что правая часть уравнения делится на 2. Потом докажите, что решение может быть только в том случае, когда x, y, z являются четными числами.
Задание 6. Решить уравнение в целых числах 3х-2у=1.
Указание: 1. Может ли уравнение иметь отрицательные или нулевые решения?
2. Угадайте одно решение уравнения.
3. Используйте такую запись уравнения: 2у=(3-1)(3х-1+3х-2+…+3+1).
Ответ: (1; 1) и (2; 3).
Задание 7. Решить уравнение в целых числах х3-5у2=13.
Указание. Исследуйте остатки от деления на 5.
Задание 8. Решить уравнение x2+y2=6(z2+t2) в целых числах.
Указание. Примените метод бесконечного спуска.
Задание 9. Докажите, что уравнение не имеет целых решений.
Указание. Подумайте: Какие значения могут принимать х и у?
Задание 10. Найдите целые решения уравнения у2+у=х4+х3+х2+х.
Указание. Используйте такую запись уравнения: 4х4+4х3+4х2+4х+1=(2у+1)2.
Задание 11. Найдите целые решения уравнения 5х2+11у3=7.
Указание. Используйте остатки от деления числа на 11.
Задание 12. Найдите целые решения уравнения х3+2х2+5=21у.
Указание. Обратите внимание на то, что правая часть уравнения делится на 21.
Можете использовать такую таблицу.
Остаток При делении на 21 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Х | |||||||||||||||||||||
Х+2 | |||||||||||||||||||||
Х2 | |||||||||||||||||||||
5+х(х+2) |
Ответ: {(21t+2; 441t3+168t2), t-целое число}.
Задание 13. Найдите целые решения уравнения х3+у3+4=8z3.
Указание. Обратите внимание на то, что правая часть уравнения является кубом целого числа. Может ли левая часть уравнения быть полным кубом?
Задание 14. Найдите целые решения уравнения х5-х3-х2+1=у2.
Указание. Выполните разложение левой части уравнения на множители. Используйте такое утверждение: Квадратный корень из натурального числа n является натуральным числом, если n – квадрат натурального числа или является иррациональным числом.
Возврат в каталог для выбора раздела.
Тренажеры, связанные с методом разложения на множители
Тренажеры, связанные с исследованием остатков
1. Учимся составлять задачи
1. 1. Основанием для составления служит алгоритм решения задачи
Пусть известен алгоритм решения какой-то задачи использованием остатков. В этом случае новую задачу можно составить, выполняя такие действия:
1. Определить действия, которые используются при выполнении команд алгоритма.
2. Определить возможные изменения, при выполнении которых остается возможным выполнение алгоритма.
3. Выбрать одно из возможных изменений и осуществить его.
4. Сформулировать новое задание.
Приведем пример реализации этой схемы.
Обратимся к заданию: Докажите, что уравнение 3х2+8=у2 неразрешимо в целых числах.
Кратко опишем алгоритм его выполнения:
1. Левая часть уравнения при делении на 3 имеет остаток 2.
2. Квадрат любого числа, который не делится на 3 имеет остатком число 1.
3. Так как остатки от деления на 3 левой и правой части уравнения различны, то уравнение не имеет целых решений.
Для составления задачи можно выполнить такие замены:
· Число 3 заменить на другое число, для которого известны остатки от деления квадрата и этих остатков «на много». Пусть выбрали число целое а;
· Вместо «простого» элемента 3х2 можно взять любое выражение, для которого известно или можно доказать, что оно делится на целое число а (выбранное на предыдущим шаге).
· Выбирается выражение, которое при делении на а дает остаток, который отличен от остатка, который дает выражение, выбранное на предыдущим шаге.
· Возможно изменение формулировки задания. К примеру, она может быть такой: решить уравнение; имеет ли решение уравнение; сколько решений имеет уравнение и т. п.
Пример составления.
1. Известно, что квадрат целого числа, которое не делится на 5, дает остатки 1 и 4. Пусть мы решили выбрать число 5.
2. Вместо выражения 3х2 берем выражение 195х4+5х+8.
3. Вместо выражения у2 берем выражение 4z2+4zy+y2/
4. Формулируем задание: Решить уравнение 195х4+5х+8=4z2+4zy+y2 в целых числах.
Предлагаем выполнить несколько упражнений на составление задач.
Упражнение 1. Составьте, выполняя схему, описанную выше, для другого числа.
Упражнение 2. Школьник, реализуя схему, составил такое задание: «Найти целые решения уравнения х(х+1)(х+2)+17=у2».
1. Решите уравнение.
Указание: исследуйте остатки от деления на 3.
2. Объясните то, каким образом школьник выполнил составление.
3. Предложите новое задание.
Упражнение 3. Доказать, что уравнение х3+(х+1)3+(х+2)3=9z5+2 не имеет целых решений.
Какое известное утверждение было использовано при составлении этого задания?
Каким образом можно «спрятать» метод составления задания?
Имеет ли решения в целых числах такое уравнение:
х3-18х2+36у2+(х+1)3+(х+2)3=9z5+2?
Объясните, каким образом могло быть составлено это задание?
Упражнение 4. Объясните, каким образом могло быть составлено такое задание: Имеет ли решение уравнение х5=х+30у2+1?
Упражнение 5. Докажите такое утверждение: Если х и у – такие целые числа, что х2+у2 делится 21, то х2+у2 делится на 441. Применяя это утверждение составьте задание, в котором требуется решить уравнение в целых числах.
1. 2. Изменяем известное уравнение
Если имеется какой – то известное уравнение, то новое задание можно составить, если в уравнение внести изменения. Вот некоторые из возможных действий:
· Прибавить к обеим частям уравнения какое-то выражение и выполнить приведение подобных членов и другие действия, которые маскируют известное уравнение;
· Изменить степени в каких-то членах уравнения;
· Выделить квадраты выражений и другие допустимые действия;
· В одном уравнении объединить два или большее число известных уравнений, при решении одного из которых используются остатки.
Упражнение 6. Используя эти приемы, составьте задания на решение уравнений в целых числах.
Упражнение 7. Предложите уравнение, решение которого использует решение в целых числах уравнений: 2х2-1=5у и 3х2-1=5у3.
Упражнение 8. Объясните, каким образом было составлено задание на решение уравнений в целых числах: х2+х3(х3+1)(х3+2)+14==3х+75у+2004, если при составлении использовалось такое уравнение х2+2==3(х+у).
Упражнение 9. Составьте задание, используя такие используя такие известные задания на решение уравнений в целых числах: х2-3у2=17 и 2х2-5у2=7.
Упражнение 10. Объясните, какие действия были выполнены, если:
1. Было предложено такое задание: Найти целые решения уравнения
2. Использовалось такое задание: Найти целые решения уравнения 2х2-1=5у.
3. Используя это же уравнение составьте новое задание.
1. 3. Составляем задания, разобравшись в решении новой для себя задачи
Составить задачу можно, если разобраться в решении новой ранее задачи.
Упражнение 11. Разберитесь в решении задачи и составьте новое задание на решение уравнения в натуральных числах: Найти натуральные решения уравнения х2-2у2=1.
Решение. Легко убедиться, что пары чисел (3; 2) и (17; 12) являются решениями уравнения.
Идея: По данным решениям уравнения найти формулу, пользуясь которой от известных решений получают новые решения. Начинать поиск лучше всего с простых формул. Пусть это соображение подсказывает такие формулы:
.
Теперь для определения неизвестных коэффициентов требуется получить четыре уравнения. Но у нас не хватает информации: пары известных решений дают только два уравнения. Нужно еще одно решение. Легко заметить, что х=1 и у=0 – решение уравнения (не важно, что 0 не является натуральным: оно будет использовано для поиска коэффициентов).
Пусть:
1. (1; 0) – решение, а (3; 2) – следующее решение.
2. (3; 2) – решение, а (17; 12) – следующее решение.
Тогда получаем уравнения:
.
Решив эту систему (выполните это самостоятельно), находим
a=3; b=4; c=2; d=3.
Теперь требуется ответить на два вопроса:
1. Если (хn; уn) – решение исходного уравнения, то пара (хn+1; уn+1), определяемая по формулам
является решением исходного уравнения?
2. Все ли решения исходного уравнения могут быть получены, начиная с решения (3; 2)?
Ответим на первый вопрос.
(3xn+4yn)2-2(2xn+3yn)2=9xn2+12xnyn+16yn2-8xn2-12xnyn-18yn2=xn2-2yn2=1.
Ответ на первый вопрос положительный.
Теперь обратимся к поиску ответа на второй вопрос.
Пусть (х; у), где х, у – натуральные числа – какое-либо решение исходного уравнения (Отсюда, в частности, следует: x>y). Так как при всех х выполняется равенство
(3х-4у)2-2(3у-2х)2=х2-2у2,
то пара 3х-4у и 3у-2х – целые решения исходного уравнения. Докажем, что при у>2 оба этих числа натуральные числа.
Так как (х; у) – натуральные решения, то 9=9х2-18у2>-2y2, поэтому
9х2-16у2>0.
Отсюда следует такое неравенство: (3х-4у)(3х+4у) >0 и 3х-4у>0. Так как х, у – целые и 3х-4у – целое, поэтому 3х-4у - натуральное число.
Так как (х; у) – натуральные решения, то 4=4х2-8у2<у2, поэтому
4х2-9у2<0.
Отсюда и следует, что 3у-2х – натуральное число. Убедитесь самостоятельно, что выполняются неравенства 3х-4у<x, 3y-2x<y. Таким образом, доказано: если у больше 2, то по решению (х; у) исходного уравнения удается найти новое решение (3х-4у; 3у-2х), в котором 3х-4у<x, 3y-2x<y. Теперь, если 3у-2х не равен 1, то процесс построения новых натуральных решений может быть повторен и получено новое решение. Так как в любом множестве натуральных чисел имеется наименьший элемент, то после некоторого шага получим у, который не превосходит 2. Так как с у=1 нет натуральных решений исходного уравнения, то это означает, что получим у=2. Это означает, что получаем решение (3; 2). Кроме того, это означает, что если мы повторим достаточное число раз получение решений исходного уравнения по формулам , то получим решение (х; у). Этим и получен положительный ответ на второй вопрос.
Ответ: {(3; 2); ...; (3xn+4yn; 2xn+3yn); …}
1. 4. Составляем новую задачу, изменяя число объектов в ситуации
Авторы новых задач часто используют такой прием: они изменяют число объектов, которые фигурируют в задаче. Это может быть:
· число неизвестных в ситуации;
· число уравнений;
· число дополнительных условий.
В этом тренажере предлагается выполнить упражнения, связанные с составлением задач путем изменения числа объектов в ситуации решения уравнений в целых числах.
Задание 1 (МГУ, фак-т психологии, 1985). Найдите все значения a, при каждом из которых существует единственная пара целых чисел x и y, удовлетворяющая уравнению
3x2+11xy+10y2=7
и двум неравенствам
x+y>0 и 4a2x-3ay<0.
1. Назовите все изменения числа объектов, которые, по Вашему мнению, использовал автор задания.
2. Укажите особенности ситуации, которые благоприятствуют решению.
3. Укажите особенности ситуации, которые усложняют ситуацию.
Задание 2. Выберите два задания на решение уравнений в целых числах и предложите разные варианты составления нового уравнения, в которых потребуется использовать оба уравнения.
1. 5. Составляем новое задание, применяя известное
утверждение и уравнение
Иногда новое задание
Новую задачу можно составить по такой схеме:
1. Берется известное уравнение, которое умеем решать в целых числах.
2. Выбирается известное утверждение, которое может быть применено к отдельному элементу уравнения или уравнению в целом.
3. Вносятся изменения в уравнение, которое позволяет как усложнить исходное уравнение, так и применить утверждение, выбранное на предыдущем шаге.
4. Маскируется способ составления путем выполнения допустимых действий с уравнением.
5. Формулируется новое задание.
Приведем пример реализации.
Первый шаг составления нового уравнения.
Обратимся к такому заданию:
Найти целые решения уравнения (х+1)(х2+х+1)=у2.
Разберитесь самостоятельно в решении этого уравнения.
1. Так как (х2+х+1)-(х+1)=х2 и х+1 и х2 взаимно просты, то общими делителями множителей левой части исходного уравнения могут быть только 1 и -1.
Проверим эти значения. Пусть х+1=1, то - есть х=0. Тогда у2=1, поэтому получаем два решения: (0; 1) и (0; -1).
Пусть х+1=-1. Тогда х=-2. Подставив в уравнение получим: -(4-2+1)=у2. Решений нет.
2. Оба множителя могут не иметь общих целых делителей и в том случае, если один из множителей равен 0. Первый множитель равен 0 при х=-1. В этом случае у2=0 и пара (-1; 0) – решение исходного уравнения.
Второй множитель положителен при всех х, поэтому не обращается в 0.
3. Ищем другие возможные решения. В этом случае х+1 и х положительны.
Так как оба множителя не имеют общих множителей, оба отличны от 0 и их произведение должно быть квадратом целого числа, то каждый из множителей должен быть квадратом целого числа.
Легко убедиться в том, что в этом случае выполняются неравенства:
x2<x2+x+1<(x+1)2.
Из этих неравенств следует, что второй множитель не может быть квадратом целого числа, поэтому уравнение не имеет других решений.
Ответ: (-1 0), (0; 1), (0; -1).
Второй шаг составления. Известно такое утверждение: Если произведение двух натуральных взаимно простых чисел равно квадрату натурального числа, то каждый из множителей является квадратом натурального числа.
Третий шаг составления. Выберем множитель, который не имеет общих делителей, кроме 1 и – 1, с двумя другими множителями исходного уравнения. Пусть взяли множитель х (Убедитесь, что этот множитель взаимно прост с каждым из делителей).
Четвертый шаг составления. Формулируем задание: Найти целые решения уравнения: х2(х+1)2(х2+х+1)=у2.
Пятый шаг составления: выполняем допустимые действия с уравнением и формулируем окончательно задание: Найти целые решения уравнения: (х2+х)3+х4+2х3=(у-х)(у+х).
Замечание можно брать квадраты дополнительных множителей, которые могут иметь общие делители с множителями исходного уравнения.
Упражнение. Решите и объясните, каким образом могло быть составлено такое задание: Найти целые решения уравнения х5-х3-х2+1=у2.
5. 2. Учимся проверять решение задач
Этот тренажер предназначен для тех, кто хочет учиться самоконтролю своей учебной деятельности.
Задание 1. Изучите решение уравнения, выполненное учеником.
Решить уравнение в целых числах: 5(х2+у2)=z2+t2.
Решение. Левая часть уравнения делится на 5, поэтому и правая часть уравнения делится на 5. Легко проверить, что сумма квадратов двух целых чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда оба числа делятся на 5. Пусть z=5z1, t=5t1. Подставим в уравнение и после преобразований получим:
х2+у2=5(z21+t21).
Повторив рассуждения, получим, что х и у делятся одновременно на 5, поэтому найдутся такие целые х1 и у1, что х=5х1, у=5у1. Теперь, после повторения рассуждений и преобразований получим:
х21+у21=5(z21+t21).
Таким образом, убедились:
1. Что если существуют целые решения, то они одновременно делятся на 5.
2. Повторив рассуждения получим, что х1, у1, z1, t1 одновременно делятся на 5.
3. Повторив рассуждения, убеждаемся, что исходные решения х, у, z, t одновременно делятся на любую степень 5.
4. Так как целые числа х, у, z, t делятся на любую степень 5, то х=у=z=t=0.
Ответ: х=у=z=t=0.
1. Укажите ошибки, которые допущены при решении уравнения.
2. Решите уравнение правильно.
Задание 2. Школьник, решая в целых числах уравнение 5x3+11y3+13z3=0, высказал и пытается доказать такое предположение:
Если x, y, z – целые решения уравнения, то 11y3+13z3 делится на 5 в том и только том случае, когда y и z делятся на 5. Удастся ли ему доказать эту гипотезу?
Задание 3. Школьник, решая в целых числах уравнение 5x3+11y3+13z3=0, высказал и пытается доказать такое предположение:
Если x, y, z – целые решения уравнения, то 5х3+13z3 делится на 11 в том и только том случае, когда х и у делятся на 11. Удастся ли ему доказать эту гипотезу?
Задание 4. Школьник, решая в целых числах уравнение 5x3+11y3+13z3=0, высказал и пытается доказать такое предположение:
Если x, y, z – целые решения уравнения, то 5х3+11у3 делится на 13 в том и только том случае, когда х и у делятся на 13. Удастся ли ему доказать эту гипотезу?
5. 3. Учимся анализировать ситуацию
В этом тренажере предлагаются задания для анализа ситуаций.
Задание 1. Пусть предложено: Найти целые решения уравнения 5x3+11y3+13z3=0.
Вам предлагается:
1. Что общего можно отметить у чисел 5; 11 и 13?
2. Какие следствия можно получить из этого уравнения, если обратить внимание и использовать элемент 5х3? 11у3? 13z3?
3. Исследуйте возможные остатки суммы 11x3+13z3 при делении на 5.
4. Докажите, что 5х3+11у3 делятся на 13 в том и только том случае, когда х и у делятся на 13.
5. Выполните задание.
Задание 2. Пусть предложено решить в целых числах уравнение:
3х2+(2006∙2012∙2002+55)х+2=у2.
1. Что кажется «странным» в этом задании.
2. Если «убрать» «странный» элемент уравнения, то какие идеи для решения «простого» уравнения 3х2+2=у2 можно предложить.
3. Школьник высказал идею: доказать, что остаток от деления левой части уравнения на 3 равен 2. Что позволит получить подтверждение этого предположения?
4. Что следует предположить и доказать для реализации идеи, позволяющей решить в целых числах уравнение 3х2+2=у2, при решении исходного уравнения?
5. Выполните исходное задание.
6. Составьте аналогичное задание.
7. Можно ли, используя результат решения исходного уравнения, «сразу» предложить решение в целых числах уравнения:
3х2+(2006∙2012∙2000+55)у+2005=0?
Задание 2 (МГУ, фак-т психологии, 1985). Найдите все значения a, при каждом из которых существует единственная пара целых чисел x и y, удовлетворяющая уравнению
3x2+11xy+10y2=7
и двум неравенствам
x+y>0 и 4a2x-3ay<0.
Выполните анализ задания и предложите алгоритм его решения.
Задание 3. Пусть предложено найти целые решения уравнения x2+y2=6(z2+t2).
1. Укажите одно решение уравнения.
2. Какие утверждения можно получить, используя число 6?
3. Ученик заметил, что правая часть уравнения делится на 2. Отсюда высказал предположение: сумма квадратов двух целых чисел делится на 2 в том и только том случае, когда оба слагаемых делятся на 2. Докажите, что это предположение ошибочное.
4. Ученик заметил, что правая часть уравнения делится на 3. Отсюда высказал предположение: сумма квадратов двух целых чисел делится на 3 в том и только том случае, когда оба слагаемых делятся на 4. Удастся ли ему доказать это предположение?
5. Школьник, пытаясь доказать предыдущее предположение, предпринял такие действия:
· Доказал, что х и у одновременно делятся на 3 или не делятся на 3.
· Переписал уравнение следующим образом: (х2-1)+(у2-1)+2=6(z2+t2).
Какие следствия можно получить из такой записи?
6. Составьте аналогичное задание.
Задание 4. Пусть требуется доказать утверждение: Доказать, что при любом натуральном n выражение n3+3n2+8n+3 делится на 3.
1. Выявите особенности коэффициентов выражения.
2. Укажите различные идеи доказательства утверждения.
3. Докажите утверждение.
4. Составьте аналогичное задание.
5. 4. Учимся отказываться от известного решения
и находить новое решение
5.Задания тренажера
Известно, что современному человеку на протяжении его жизни, скорее всего, придется несколько раз менять то, чем он занимался и приниматься за новое для него делать. Реально это означает:
- потребуется определить, что ситуация уже не устраивает чем-то человека или будет его не устраивать в скором времени;
- требуется точно сформулировать новую задачу;
- определить метод ее решения; реализовать решение.
Оказывается, что одним из самых трудных и важных действий – не столько формулировка новой задачи (это часто помогает сделать сама жизнь), а умение отказаться от известного способа действий и найти новое решение. Этому следует учиться. В математике каждая тема школьной программы имеет широкие возможности для овладения этим умением.
Данный тренажер и предназначен для накопления опыта в этой плоскости.
Задание 1. Ранее разбиралось решение такого уравнения: х2 - 2у2=1.
Мы видели, что решение было построено на том, что по известным решениям этого уравнения удалось найти другие решения и потом доказать, что уравнение не имеет других целых решений.
Предложите другой способ, используя решение х=3, у=2 найти другое решение этого уравнения.
В следующим разделе тренажера приводятся указания к этим заданиям.
Задание 2. Предложите различные решения уравнения ху=х+у в целых числах.
Задание 3. Предложите различные решения уравнения х2+2ху-3у2-7=0
в целых числах.
Задание 4. Предложите различные решения уравнения х2+у2=х+у в целых числах.
5.Указания к заданиям тренажера
Задание 1. Ранее разбиралось решение такого уравнения: х2 - 2у2=1.
Мы видели, что решение было построено на том, что по известным решениям этого уравнения удалось найти другие решения и потом доказать, что уравнение не имеет других целых решений.
Предложите другой способ, используя решение х=3, у=2 найти другое решение этого уравнения.
Указание. Примените такое разложение левой части уравнения
х2-2у2=(х-
и возведение в квадрат.
5. 5. Учимся получать следствия из условия
Известны различные методы получения следствий. Вот некоторые из них:
· Замена объектов их определением;
· Применение известных утверждений;
· Выполнение допустимых преобразований;
· Высказывание и доказательство гипотез.
Вам предлагается выполнить несколько упражнений.
Задание 1. Пусть требуется доказать утверждение: Доказать, что при любом натуральном n выражение n3+3n2+8n+3 делится на 3.
1. Какие следствия можно получить из того, что в выражении фигурирую два члена: 3n2,3.
2. Какое следствие можно получить их такой записи исходного выражения n3+3n2+8n+3=n3+8n+3(n2+n).
3. Школьник утверждает, что достаточно доказать, что выражение n3+2n делится на 3 при любом натуральном n.
Прав ли школьник?
Как он получил это утверждение?
Задание 2. Школьник, выполнял задание: Найти натуральные решения уравнения: х3+3=4у(у+1). Он перешел к такому уравнению: х3=(2у-1)(2у+3).
1. Объясните, каким образом он выполнил преобразования.
2. Какие следствия можно получить о х?
3. Какие следствия можно получить из выражения: 2у-1 и 2у+3.
4. Школьник выполнил замену: 2у-1=а3. Какие утверждения применил ученик?
Задание 3. Школьник выполнял решение уравнения (х2 - 1)х=у3 в целых числах.
1. Он переписал уравнение в таком виде: (х-1)х(х+1)=у3.
Какие следствия можно получить из такой записи.
2. Так как он не мог выполнить задание, то он обратился к учителю. Учитель записал такие неравенства: (x-1)3<(x-1)x(x+1)<x3. Далее он предложил:
а) Докажите эти неравенства;
б) Получи следствия;
в) Выполни задание.
Какие следствия может получить школьник из этих неравенств?
Задание 4. Пусть требуется решить в целых числах уравнение:
(х2+х)(х2+5х+6)=у2.
1. Получите следствия, выполнив допустимые преобразования левой части уравнения.
2. Докажите, что левая часть при всех х больше (х2+3х)2 и меньше (х2+3х+1)2.
3. Получите следствия из предыдущего утверждения.
4. Какое следствие о разрешимости исходного уравнения можно доказать.
Задание 5. Пусть требуется выполнить такое задание: Сколько решений в целых числах имеет уравнение: x2+y2=13(z2+t2)?
1. Школьнику заметил: четверка: x=y=z=t=0 – решение уравнения. Удастся ли на основе этого факта дать ответ на вопрос задания.
2. Если бы школьник нашел другую четверку целых решений. Какое следствие он мог бы получить.
3. Существуют ли ненулевые целые решения исходного уравнения?
Задание 6. Стороны прямоугольного треугольника – натуральные числа. Известно, что гипотенуза на 2 меньше суммы катетов. Найдите все такие треугольники.
Следствия можно получить, введя переменные и применив известные утверждения.
Получите следствия этим способом.
Задание 7. Школьник выполнял решение уравнения ху=х+у в целых числах.
1. После преобразования уравнения он получил такое: х(у-1)=х. Получите следствие из такой записи уравнения.
2. Какие следствия можно получить из такой записи исходного уравнения у(х-1)=х?
3. Какие следствия можно получить, если использовать обе записи исходного уравнения?
4. Проверьте правильность получения следствия, полученного из исходного уравнения путем преобразований, если школьник перешел к такой записи исходного уравнения: 
. Получите новые следствия, выполнив преобразование новой записи уравнения.
5. Какие следствия о у-1 можно получить из записи исходного уравнения: ?
6. Какие следствия о у-1 можно получить из записи исходного уравнения: 
?
7. Составьте аналогичное задание.
Возврат в каталог для выбора раздела.
Творческие задания
В разделе предлагаются творческие задания для учеников с разными интересами.
1. Задания для тех, кто интересуется математикой
а) Оценка сложности решения уравнений в целых числах;
б) Подготовьте сообщение на тему «Методы составления уравнений, решаемых в целых числах»;
в) Подготовьте сообщение на тему «Методы решения уравнений в целых числах методом замены»;
г) Эвристики, используемые при поиске решения уравнения в целых числах;
д) Укажите возможные применения метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений в целых числах.
е) Предложите алгоритмы генерирования уравнений, которые требуется решить в целых числах, с помощью компьютера;
ж) Подготовка сообщения на тему «Задания на решения уравнений в целых числах на страницах журнала «Квант»»;
з) Подготовка сообщения на тему «Задания на решения уравнений в целых числах на математических олимпиадах.
2. Задания для тех, кто интересуется психологией или педагогикой
а) Затруднения учащихся при реализации метода разложения на множители при решении уравнений в целых числах: выявление, объяснение, способы преодоления;
б) Затруднения учащихся при реализации идеи исследования остатков на множители при решении уравнений в целых числах: выявление, объяснение, способы преодоления;
в) Контроль за знаниями и умениями решать уравнения в целых числах;
в) Анализ письменных контрольных работ;
г) Затруднения учащихся при выделении эвристик в процессе решения и пути формирования эвристического мышления;
д) Стереотипы в мышлении при решении уравнений в целых числах: способы выявления и преодоления стереотипов в мышлении (можно не только по математике);
е) Предложить способ выявить предпочтения школьников в получении видов помощи в изучении математики и то, каким образом можно использовать эти предпочтения.
3. Задания для тех, кто интересуется компьютерами
а) Подготовка презентации «Методы решения уравнений в целых числах»;
б) Подготовка обучающей программы по решению уравнений в целых числах;
в) Генерирование заданий на решение уравнений в целых числах;
г) Подготовьте материалы для сайта школы о методах решения уравнений в целых числах;
д) Подготовка тестов с помощью компьютеров.
4. Задание для тех, кто интересуется иностранными языками
а) Переведите материал данного раздела на тот иностранный язык, который Вы изучаете;
б) Подготовьте страницу для Интернета на иностранном языке. Далее попытайтесь связаться с учениками одной из иностранных школ;
в) Подготовьте текст контрольной работы по методам решения уравнений в целых числах на языке, который Вы изучаете.
5. Задания для тех, кто интересуется экономикой
Проведите маркетинговое исследование творческих заданий, предложенных для учащихся:
а) на уровне школы; б) на уровне города или района; в) при иных предположениях.
Возврат в каталог для выбора раздела.
