5. Решение уравнений состояния. Выполняется численным методом (например, Рунге-Кутта [9]). Если характеристики рис. 11.53 линеаризовать (подобно тому, как это было сделано в примере 11.13) и оценить реальную длительность переходного процесса, то можно выбрать шаг по времени Dt. При наличии колебательного процесса в линеаризованной цепи должно быть и , где и – постоянная времени и период свободных колебаний. Если же в этой цепи протекает апериодический процесс, то следует принять . При этом будет обеспечена приемлемая для учебных целей точность расчета. Вычисления начинаются с найденных в п.1 значений q(0), и продолжаются до тех пор, пока не будут достигнуты (с заданной точностью) значения q(¥), из п.2.

12. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

12.1. Общие положения

12.1.1. основные понятия и определения

Параметры реальной электрической цепи практически всегда распределены по длине ее участков. Но при решении большинства практических задач это обстоятельство не оказывает существенного влияния на результаты анализа. В этих случаях можно считать, что сопротивления, индуктивности, емкости сосредоточены на определенных участках цепи и соответствующим образом отражаются в схеме замещения. Такое допущение с успехом использовалось во всех предыдущих разделах курса, где рассматривались цепи с сосредоточенными параметрами.

Однако существуют и задачи, условия которых просто не позволяют пренебречь распределением параметров. Устройство можно рассматривать как электрическую цепь, если оно имеет достаточно большую протяженность только в определенном направлении. В этом случае можно говорить о распределении параметров именно в этом направлении. Необходимость учета распределения параметров цепи вдоль некоторого направления возникает в тех случаях, когда промежуток времени, за который электромагнитная волна распространяется вдоль цепи в этом направлении, соизмерим с интервалом времени, за который токи и напряжения в цепи могут измениться на заметную величину. Разумеется, токи и напряжения при этом оказываются функциями двух независимых переменных: времени t и расстояния x. Поэтому уравнения, описывающие состояние цепи с распределенными параметрами, – это уравнения в частных производных.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Примерами таких цепей служат, в первую очередь, протяженные линии электропередачи, линии связи, высокочастотные линии радиотехнических и телевизионных устройств. Впрочем, и обмотки трансформаторов, и обмотки электрических машин, работающих в импульсном режиме, также должны рассматриваться как цепи с распределенными параметрами.

Выберем в качестве объекта исследования двухпроводную линию. Нам придется считать, что каждый сколь угодно малый элемент длины линии обладает параметрами, отражающими в схеме замещения известные явления. Как обычно, сопротивление будет учитывать тепловые потери в проводах, индуктивность – явление самоиндукции при изменении магнитного потока, емкость – токи смещения между проводами, а проводимость – токи утечки по изоляции. Если эти параметры равномерно распределены по длине, то такую линию называют однородной. Выведем уравнения, описывающие состояние однородной двухпроводной линии, считая ее параметры на единицу длины , , , известными и независящими от частоты. Эти параметры называют первичными. Заметим, что при необходимости подобные уравнения нетрудно применить и к исследованию трехфазной линии, работающей в симметричном режиме, используя ее схему замещения на одну фазу.

12.1.2. Уравнения однородной двухпроводной линии

в частных производных

Выделим на расстоянии х от начала линии элемент линии длиной dx, на входе которого существуют напряжение u и ток i (рис. 12.1,а). На выходе эти величины получают приращения и . Первое связано с падениями напряжения на сопротивлении и индуктивности , по которым в схеме замещения (рис. 12.1,б) протекает ток i. Второе – с утечками по проводимости и током смещения через емкость , которые находятся под напряжением . По законам Кирхгофа имеем:

Приводя подобные, пренебрегая величинами второго порядка малости, после деления на dx, получим уравнения однородной двухпроводной линии в частных производных:

(12.1)

Решение этой системы уравнений при заданных начальных и граничных условиях позволяет определить искомые зависимости i(x,t) и u(x,t). Уравнения справедливы для описания как установившихся, так и переходных режимов.

12.2. установившийся синусоидальный режим

работы однородной двухпроводной линии

12.2.1. Уравнения линии в установившемся

синусоидальном режиме

Для решения уравнений линии в частных производных в установившемся синусоидальном режиме используем комплексный метод. При переходе от синусоидальных функций времени к их комплексным изображениям окажется, что

Поэтому уравнения (12.1) в комплексной форме записи примут вид:

Обозначив здесь – комплексное продольное сопротивление, а – комплексную поперечную проводимость единицы длины линии, получим

(12.2)

Подстановка I из первого уравнения системы (12.2) во второе, приводит к линейному дифференциальному уравнению второго порядка

с комплексно сопряженными корнями характеристического уравнения ±g. Решение такого уравнения можно записать в виде суммы экспонент:

. (12.3)

Здесь – (12.4)

коэффициент распространения линии, , , и   – постоянные интегрирования.

Подстановка выражения (12.3) в первое уравнение системы (12.2) позволяет найти комплекс тока

, (12.5)

где величина (12.6)

имеет размерность сопротивления.

Для того, чтобы выяснить физический смысл слагаемых, входящих в формулы (12.3), (12.5), и их отношения (12.6), перейдем от комплексных величин к функциям времени.

12.2.2. Бегущие волны

Запишем в показательной форме комплексы

и

Тогда мгновенные значения величин, соответствующих комплекс­ным слагаемым в выражении (12.3), примут вид:

При фиксированном значении координаты каждая из этих величин изменяется во времени по синусоидальному закону с периодом . А в любой фиксированный момент времени распределение напряжения вдоль линии происходит по закону затухающей синусоиды с (длина волны – расстояние между двумя ближайшими точками линии, в которых фазы синусоид тока или напряжения волны отличаются на ). При этом затухание происходит от начала линии к концу, то есть в сторону увеличения координаты х, а затухает от конца к началу (в сторону уменьшения х). На рис. 12.2 показано распределение составляющей вдоль х в моменты времени и . Подобным же образом ведет себя и зависимость

Если же зафиксировать фазу синусоиды и продифференцировать это выражение по времени, то получится

, отсюда

. (12.7)

Это означает, что мы имеем дело с электромагнитной волной, которая движется в сторону увеличения х с фазовой скоростью . По мере перемещения амплитуды напряжения и тока затухают. Назовем эту волну прямой. На рис. 12.2 видно, что за время нули на графике функции перемещаются на расстояние .

Очевидно, с помощью аналогичных рассуждений можно показать, что вторая пара составляющих напряжения и тока

характеризует обратную волну, которая движется в сторону уменьшения х с той же самой скоростью. Причем амплитуды напряжения и тока также затухают по мере продвижения волны.

Поэтому комплекс можно назвать волновым сопротивлением линии. Оно равно отношению комплексов напряжения и тока в любой точке линии, когда в ней существует только одна волна – неважно какая, прямая или обратная.

В свою очередь коэффициент распространения характеризует изменение тока и напряжения волны по мере ее продвижения. Действительно, из формул (12.3–12.6) следует:

.

Выбор отрезка Dх, равного единице длины, позволяет дать следующие определения.

Коэффициент затухания показывает, насколько отличаются логарифмы действующих значений напряжений или токов одной волны в точках, отстоящих друг от друга на единицу длины. Единица измерения – непер на метр [Нп/м] или на километр.

Коэффициент фазы показывает, насколько отличаются фазы напряжений или токов одной волны в тех же самых точках. Единица измерения – радиан на метр [рад/м] или на километр.

и называют вторичными параметрами линии, они, также как и первичные, полностью характеризуют линию.

Таким образом, установившийся синусоидальный режим работы линии можно рассматривать как результат наложения двух затухающих бегущих в противоположных направлениях с одинаковой скоростью волн. Если х отсчитывается от начала линии (рис. 12.1,а), то возникновение обратной волны можно рассматривать как результат отражения прямой волны от нагрузки и называть волны падающей и отраженной.

Пометим индексом 2 значения величин в конце линии (x = l), где включена нагрузка с комплексным сопротивлением . Тогда

Отсюда нетрудно найти коэффициент отражения:

. (12.8)

В частности в режимах холостого хода и короткого замыкания происходит полное отражение волны (N = ±1 соответственно). При отражения не происходит (N = 0), в линии существует только одна волна и вся принесенная ею энергия поглощается нагрузкой. Такой режим называется режимом согласованной нагрузки.

При согласованной нагрузке мощность в начале линии равна

в конце линии

и коэффициент полезного действия

.

Пример 12.1

Известны волновое сопротивление и коэффициент распространения линии электропередачи, работающей на промышленной частоте f = 50 Гц: , 1/км.

Определить первичные параметры линии: , , , .

Решение

Воспользовавшись формулами (12.4) и (12.6), найдем:

Отсюда и

Затем вычисляем угловую частоту и, наконец,

12.2.3. Уравнения линии в гиперболических функциях

Определим постоянные интегрирования в уравнениях (12.3) и (12.5) из граничных условий, считая, что в начале линии (х = 0 на рис. 12.3,а) и напряжение , и ток известны. Тогда эти уравнения переписываются в виде: откуда легко найти

После подстановки постоянных в уравнения (12.3), (12.5) и приведения подобных заметим, что

В результате получим уравнения линии в гиперболических функциях:

(12.9)

Подстановка x = l дает:

Если разрешить эти уравнения относительно , , то они примут вид:

Последние две системы уравнений совпадают по форме с уравнениями четырехполюсника в гиперболических функциях, характеристическое сопротивление и постоянная передачи которого очень просто выражаются через вторичные параметры линии:

и

Соответственно коэффициенты затухания и фазы такого эквивалентного линии четырехполюсника равны:

и .

Все эти параметры определяются в режиме согласованной нагрузки (см. раздел 9.7 [6]).

Очевидно, при отсчете расстояния y от конца линии (рис.12.3,б) уравнения линии в гиперболических функциях примут следующий вид:

(12.10)

Для вывода этих формул достаточно в предыдущей системе уравнений произвести обратную замену l на y. Эту запись удобно использовать для исследования режимов работы линии при изменении сопротивления нагрузки

12.2.4. Линия без искажений

Если линия используется для передачи информации (линия связи, радио и т. п.), то для достоверности передачи необходимо, чтобы коэффициент затухания и волновое сопротивление линии не зависели от частоты. В этом случае, несмотря на затухание, форма передаваемого сигнала не будет изменяться и при согласованной нагрузке не возникнут отраженные волны. Если к тому же коэффициент фазы будет пропорционален частоте β = const·ω, то и фазовая скорость не будет зависеть от частоты. Такая линия называется линией без искажений и для выполнения выше перечисленных условий необходимо:

. (12.11)

Действительно, из (12.4) и (12.6) легко получить

(12.12)

(12.13)

Так что ни в волновое сопротивление , ни в коэффициент затухания частота не входит (это вещественные числа), а коэффициент фазы частоте пропорционален. Характерно, что оба коэффициента принимают в этом случае минимальные значения:

(12.14)

Фазовая скорость волн в линии достигает в этом случае наибольшего значения:

. (12.15)

Если линия работает в режиме согласованной нагрузки, то в линии существует только одна волна, поэтому в любой точке линии в любой момент времени причем ток и напряжение совпадают по фазе.

Следует иметь в виду, что как у воздушных, так и у кабельных линий поэтому для выполнения условия (12.11) приходится включать через равные расстояния дополнительную сосредоточенную индуктивность. Правда, при этом уменьшается скорость распространения волн в линии.

Пример 12.2

Известны первичные параметры линии связи:

Определить, какую дополнительную индуктивность нужно включать через каждый километр линии, чтобы сигналы по ней передавались без искажения.

Решение

Из условия (12.11) найдем, какой должна быть индуктивность единицы длины линии без искажения:

.

Поэтому мГн, где l = 1 км.

12.2.5. Линия без потерь

В некоторых практически важных случаях (особенно при высоких частотах в линиях связи, телевидения, радио) оказывается и можно для упрощения анализа пренебречь потерями в линии, приняв

Тогда коэффициент затухания a = 0, коэффициент распространения – мнимое число, поэтому от гиперболических функций мнимого аргумента можно перейти к тригонометрическим функциям вещественного аргумента:

, .

Тогда и уравнения линии в гиперболических функциях (12.10) переходят в уравнения линии без потерь в тригонометрических функциях:

(12.16)

Здесь координата y отсчитывается от конца линии (рис. 12.3,б), причем, как в линии без искажений, волновое сопротивление линии без потерь – вещественное число, а фазовая скорость имеет наибольшее значение , которое в воздушных линиях достигает скорости света с = 300000 км/с. Длина волны .

Рассмотрим характерные режимы работы линии.

Холостой ход.

При этих условиях уравнения (36.5) превращаются в

(12.17)

В результате наложения двух незатухающих волн одинаковой амплитуды, движущихся в противоположных направлениях, в линии существуют стоячие волны. Узлы напряжения соответствуют пучностям тока и оказываются в точках с координатами , , ..., а узлы тока и пучности напряжения – соответственно в точках , , l, ...

Входное сопротивление линии длиной l

(12.18)

имеет чисто реактивный характер. При , и т. д. оно емкостное, а при , и т. д. – индуктивное. При , и т. д. это сопротивление равно нулю (резонанс напряжений), а при , l и т. д. стремится к бесконечности (резонанс токов). Соответствующие кривые построены на рис. 12.4,а.

Короткое замыкание. N = –1.

. (12.19)

В этом режиме тоже существуют стоячие волны, но по сравнению с предыдущим случаем узлы и пучности токов и напряжений сдвинуты на четверть длины волны. Входное сопротивление

(12.20)

тоже чисто реактивное. Но его характер противоположен характеру  в режиме холостого хода на тех же участках. Зависимости |U(y)|, |I(y)|, показаны на рис. 12.4,б.

Реактивная нагрузка

где причем так что Поэтому

(12.21)

И здесь обнаружились стоячие волны, но узлы и пучности напряжения (тока) смещены в сторону увеличения y по отношению к их расположению в режиме короткого замыкания на расстояние при емкостной нагрузке и на расстояние, большее четверти длины волны, при индуктивной нагрузке. Соответствующий сдвиг имеет и график .

Три режима, рассмотренные выше, объединяет общее обстоятельство: отсутствует потребление энергии и в нагрузке, и в линии. Только в этом случае могут существовать точки, через которые не передается энергия – узлы тока и напряжения. На участках между этими точками осуществляется обмен энергией между электрическим и магнитным полями.

Пример 12.3

Известно, что высокочастотная линия с волновым сопротивлением Ом нагружена на чисто реактивный двухполюсник.

Определить величину и характер сопротивления нагрузки, если ближайший к концу линии узел тока находится на расстоянии  м, а следующий за ним узел напряжения – на расстоянии м.

Решение

Расстояние между узлами тока и напряжения – это четверть длины волны. Поэтому м. В режиме реактивной нагрузки рад/с, и . Значит, линия нагружена на индуктивность. Тогда Ом.

Активная нагрузка

где

поэтому

(12.22)

Проанализировав эти выражения, можно заметить, что ни кривая U(y), ни кривая I(y) не имеют ни узлов, ни пучностей при любых хотя и сохраняют волнообразный характер (рис. 12.5). При максимумы напряжения и минимумы тока лежат в тех же точках, что и пучности напряжения и узлы тока в режиме холостого хода. В данном случае максимум действующего значения напряжения А минимум напряжения отстоит от конца линии на расстоянии и, как следует из (12.22), В радиотехнике вводится понятие коэффициента бегущей волны как отношения этих величин Так что при оказывается

Если же то минимумы напряжения и максимумы тока расположены там же, где пучности тока и узлы напряжения в режиме короткого замыкания. Поэтому в конце линии а на расстоянии от конца линии лежит точка, в которой Значит, при получится Так что по распределению напряжения в линии с известным волновым сопротивлением нетрудно вычислить и сопротивление нагрузки.

Естественно, наибольшее значение достигается в режиме согласованной нагрузки, когда в линии существует только одна бегущая волна, которая не отражается от нагрузки.

Согласованная нагрузка.

В этом режиме

(12.11)

Действующие значения тока и напряжения во всех точках линии одинаковы (рис. 12.5), причем мгновенные значения этих величин совпадают по фазе.

Четвертьволновая линия

Линия без потерь длиной обладает весьма полезными для практического использования свойствами. Для нее , тогда

В режиме короткого замыкания входное сопротивление линии стремится к бесконечности, то есть четвертьволновая линия представляет собой идеальный изолятор.

В режиме активной нагрузки четвертьволновую линию можно рассматривать как «трансформатор сопротивлений» и применять для согласования генератора с внутренним сопротивлением и приемника с сопротивлением . Параметры линии следует подобрать таким образом, чтобы Тогда входное сопротивление пассивного двухполюсника, подключенного к генератору (система линия–нагрузка), а эквивалентное внутреннее сопротивление активного двухполюсника (система генератор–линия), к которому подключена нагрузка, равно При таком подборе параметров генератор будет выдавать за период максимально возможную энергию, причем вся эта энергия перейдет в нагрузку, поскольку потери в линии отсутствуют. Аналогичное условие используется для согласования двух линий с разными волновыми сопротивлениями и при помощи третьей (четвертьволновой) линии, включенной между ними. Ее волновое сопротивление должно быть .

12.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

12.3.1. Прямая и обратная волны

В линиях электропередачи, связи, обмотках трансформаторов и других цепях с распределенными параметрами переходные процессы возникают чаще всего по тем же причинам, что и в цепях с сосредоточенными параметрами. Это может быть подключение цепи к источнику и отключение от него, подключение нагрузки и ее отключение, скачкообразное изменение параметров какого-либо участка цепи (например, в случае аварии). Кроме того, при достаточной протяженности цепи переходные процессы могут возникнуть и в случае изменения электромагнитных полей в окружающем пространстве (например, во время грозы). Токи и напряжения во время переходных процессов зависят от двух переменных – времени t и расстояния x. Переходные процессы имеют волновой характер.

Ниже рассматриваются примеры переходных процессов в однородной двухпроводной линии без потерь Из (12.1) следуют уравнения линии без потерь в частных производных:

(12.24)

Решим их операторным методом, подобно тому, как в разделе 12.2.1 решали уравнения (12.1) комплексным методом.

Пусть , – операторные изображения соответствующих функций времени , . Тогда в соответствии с теоремой дифференцирования можно найти изображения частных производных тех же величин при нулевых начальных условиях

Уравнения (12.24) в операторной форме принимают следующий вид:

(12.25)

Здесь для упрощения записи опущены аргументы у операторных изображений напряжения и тока.

Отсюда и где . Тогда

(12.26)

(12.27)

Если известны оригиналы напряжения и тока в начале линии то с помощью преобразования Лапласа можно определить их операторные изображения .

При отсчете х от начала линии (рис. 12.6)

Отсюда

После этого по вычисленным изображениям можно найти их оригиналы

Как следует из теоремы запаздывания, умножение изображения F(p) на экспоненту вызывает запаздывание оригинала на  Поэтому

Рассмотрим каждую из этих составляющих. Пусть при зависимость имеет вид кривой 0 на рис. 12.7,а. При этот график смещается вправо на (кривая 1). Если же зафиксировать то зависимость будет иметь вид кривой 1 на рис. 12.7,б. При график сместится вправо на (кривая 2). Величина остается постоянной при Это означает, что зависимости и (в соответствии со свойством линейности) характеризуют прямую волну, которая движется в сторону увеличения х со скоростью v. Аналогичными рассуждениями можно показать, что и – это напряжение и ток обратной волны, движущейся в сторону уменьшения х с той же скоростью v. Обе волны незатухающие, причем для каждой из них – волновое сопротивление, то есть сопротивление линии току одной волны. При отсчете х от начала линии, где включен источник, прямую волну также можно рассматривать как падающую, а обратную – как отраженную от нагрузки, подключенной к концу линии.

12.3.2. Возникновение волн с прямоугольным фронтом

Пусть незаряженная обесточенная линия без потерь подключается к источнику постоянной ЭДС (рис. 12.8,а). По линии будет распространяться волна с напряжением , заряжая линию как конденсатор. Заряд элемента линии длиной dx, равный (+ и – на рисунке), появляется на проводах за время . При этом на фронте волны возникает ток смещения

который замыкается током проводимости по проводам линии.

Этот ток создает магнитный поток, пронизывающий плоскость линии (показан крестиками), который за время dt получает приращение . Изменение магнитного потока вызывает появление ЭДС самоиндукции, которая компенсируется напряжением

приложенным между проводами линии в том месте, куда дошел фронт волны (падение напряжения в проводах линии без потерь отсутствует). Поэтому распределение напряжения и тока в линии к моменту времени t имеет вид, показанный на рис. 12.8,б:

, при , и , при .

Таким образом, пока волна не дошла до конца линии и, отразившись, не вернулась обратно , через источник течет постоянный ток I. Входное сопротивление линии неизменно и равно волновому: Поэтому при расчете переходного процесса линия может быть заменена сосредоточенным сопротивлением, равным

Энергия, отданная источником , поровну запасается в электрическом и магнитном полях линии:

Графики рис. 12.8,б имеют прямоугольную форму, поэтому соответствующие волны называются волнами с прямоугольным фронтом. Подобные волны возникают также при отключении линии от источника, при подключении нагрузки к линии и при отключении нагрузки от нее. Волна, возникнув в момент коммутации, распространяется от места коммутации со скоростью v. Эти варианты рассмотрены в разделе 12.3.7.

12.3.3. Расчет переходного процесса в нагрузке

линии без потерь при падении на нее волны

Пусть по линии без потерь в момент к нагрузке подошла падающая волна с напряжением и током (рис. 12.9,а). При этом возникает отраженная волна с напряжением и током , так что

, , откуда .

Последнему уравнению соответствует схема с сосредоточенными параметрами рис. 12.9,б. В ней к нагрузке подключается источник с ЭДС и внутренним сопротивлением

Расчет этой схемы позволяет найти и . Затем можно определить напряжение отраженной волны на зажимах нагрузки и его значения в точках с учетом запаздывания.

Для этого следует в выражении заменить t на : По поводу тока рассуждения аналогичны. При отсчете y от конца линии отраженная волна ведет себя как прямая и накладывается на известное к этому моменту времени распределение напряжения и тока падающей волны.

 
 

12.3.4. Переход волны с одной линии на другую

В электрических сетях нередки случаи, когда на одной подстанции к общим шинам присоединены кабельная и воздушная линии, имеющие разные волновые сопротивления (линий может быть и несколько). Там же могут быть включены и элементы с сосредоточенными параметрами – конденсаторы, катушки индуктивностей, резисторы. Они предназначены для ограничения перенапряжений, токов короткого замыкания, увеличения пропускной способности линий и других целей. В этом случае волна, движущаяся по одной из линий, переходит на другую, изменяя свою амплитуду. Иными словами, волна преломляется и частично отражается от места сопряжения линий.

Для расчета переходного процесса в этом месте (и последующего определения преломленной и отраженной волн) можно составить схему замещения с сосредоточенными параметрами подобно тому, как это было сделано в предыдущем разделе. Поясним это на примере.

Пример 12.4

Воздушная линия с волновым сопротивлением подключается к источнику напряжения U = 10 кВ. Возникающая при этом волна с прямоугольным фронтом переходит на кабельную линию с волновым сопротивлением В месте сопряжения линий включен конденсатор с емкостью С = 2,5 мкФ (рис. 12.10,а). В рассматриваемых линиях без потерь скорость распространения волн различна: в воздушной линии в кабельной линии

Найти закон изменения напряжения на зажимах конденсатора и построить эпюры распределения напряжения и тока в линиях через 0,4 мс после прихода волны к месту сопряжения линий, имея в виду, что за этот промежуток времени ни отраженная, ни преломленная волны не дойдут до конца линий.

Решение

По воздушной линии распространяется падающая волна с напряжением кВ и током A. Приход ее к месту сопряжения линий сопровождается возникновением отраженной волны, что соответствует подключению нагрузки к источнику с ЭДС и внутренним сопротивлением В данном случае нагрузкой воздушной линии служат конденсатор и кабельная линия. Эта линия ведет себя по отношению к преломленной волне как сопротивление Таким образом, для расчета переходного процесса в конденсаторе можно составить схему замещения с сосредоточенными параметрами, показанную на рис. 12.10,б.

Рассчитаем переходный процесс в этой схеме классическим методом, так что . В установившемся режиме послекоммутационной цепи конденсатор постоянный ток не пропускает, поэтому принужденная составляющая напряжения на его зажимах определяется соотношением последовательно включенных сопротивлений:

кВ.

Постоянная интегрирования А в выражении свободной составляющей определяется из независимого начального условия. Конденсатор до коммутации не был заряжен, поэтому Так что кВ. Корень характеристического уравнения вычисляется по формуле:

Таким образом, кВ.

Чтобы найти напряжение преломленной волны, достаточно в полученном выражении заменить аргумент t на , а ток определить по закону Ома:

Для определения напряжения отраженной волны в конце воздушной линии необходимо вычесть из напряжение падающей волны и уже в этом выражении заменить аргумент t на , чтобы найти Ток отраженной волны можно найти по закону Ома:

К моменту времени t = 0,4 мс преломленная волна пробежит по кабельной линии расстояние км. Там, куда она не дошла ток и напряжение отсутствуют.

За тот же промежуток времени отраженная волна пробежит расстояние км и будет накладываться на падающую волну:

Заметим, что при и , независящих от времени, законы изменения и можно также получить, заменив в выражениях и (входной ток в схеме 12.10,б) аргумент t на .

В остальной части воздушной линии будет существовать лишь падающая волна. Таким образом, в рассматриваемый момент времени эпюры напряжения и тока в обеих линиях будут выглядеть так, как показано на рис. 12.11.

Жирными линиями выделены отрезки, соответствующие значениям и в момент времени мс.

Обратим внимание, что конденсатор, включенный на входе кабельной линии, сглаживает фронт преломленной волны. Того же эффекта можно добиться, если включить индуктивность в рассечку проводов в месте сопряжения линий.

12.3.6. Многократное отражение волн

Волны, возникающие в линии после какой-либо коммутации, как правило, успевают несколько раз отразиться от начала и конца линии, пока не установится новый режим. Рассмотрим подобный процесс на примере включения ненагруженной и обесточенной однородной двухпроводной линии без потерь с параметрами на постоянное напряжение (рис. 12.12,а).

Пусть в момент линия подключается к источнику постоянной ЭДС E. В любой точке линии в этот момент и . Вначале переходный процесс развивается так же, как это было показано в разделе 12.3.2. По линии от начала к концу со скоростью распространяется прямая волна с прямоугольным фронтом: и , где – волновое сопротивление линии. Распределение напряжения и тока в линии в момент времени показано на рис. 12.12,б.

К моменту времени вся линия будет заряжена до напряжения и в ее проводах (по всей длине) будет протекать ток . Энергия, выработанная источником за это время, запасается поровну в электрическом и магнитном полях, связанных с линией.

В этот момент возникает отраженная волна с током чтобы оказалось выполненным условие в конце ненагруженной линии. Напряжение волны Эта обратная волна движется от конца линии к началу с той же скоростью v и накладывается на прямую волну. Так что на пройденном ею участке линии , . Распределение напряжения и тока в линии в момент времени показано на рис. 12.12,в.

К моменту времени вся линия будет заряжена до напряжения и обесточена. Энергия, выработанная источником за это время, полностью перейдет в электрическое поле линии.

В этот момент происходит новое отражение волны (от источника). Возникает еще одна прямая волна с напряжением чтобы удовлетворить условию Ток этой волны, которая движется от начала к концу линии,

Так что, уже пройденный волной участок линии оказывается заряженным до напряжения Е, но ток в нем течет в противоположную сторону: , . Источник в этот период потребляет энергию. Распределение напряжения и тока в линии в момент времени показано на рис. 12.12,г.

К моменту времени вся линия будет заряжена до напряжения Е и ток в ее проводах равен . Половина энергии,

запасенной ранее в электрическом поле линии, возвращаются источнику, а четвертая часть переходит в магнитное поле линии. И вновь происходит отражение волны в конце линии. Появляется новая обратная волна с током так что в конце линии В свою очередь напряжение этой волны В результате ее наложения на все предшествующие в момент времени получается распределение напряжения и тока, показанное на рис. 12.12,д.

Наконец, к моменту остатки запасенной энергии из магнитного и электрического полей линии будут возвращены источнику, линия станет снова незаряженной и обесточенной. Затем процесс повторяется.

Таким образом, в рассмотренном примере получился незатухающий колебательный переходный процесс с периодом

Если в середине линии поставить прибор, записывающий изменения напряжения и тока и синхронизировать момент его включения с моментом подключения линии к источнику, то он вычертит графики, показанные на рис. 12.13.

В реальной линии (с потерями) переходный процесс завершится установившимся режимом холостого хода, в котором напряжение в конце линии будет меньше, чем в начале, а источник будет покрывать потери в линии.

12.3.7. Расчетные схемы замещения

для определения прямой волны при подключении

нагрузки к линии и отключении нагрузки от нее

Рассмотрим схему рис. 12.14,а, в которой к работающей линии подключается новая нагрузка – пассивный двухполюсник П2.

Сведем расчет переходного процесса в нагрузке к нулевым начальным условиям (подобно тому, как это было сделано в разделе 10.4.4). Тогда на докоммутационный установившийся режим (схема рис. 12.14,б) будет накладываться переходный процесс в цепи с нулевыми начальными условиями (рис. 12.14,в). Здесь действует ЭДС , которая определяется из схемы рис. 12.14,б как , а линия представлена сосредоточенным сопротивлением, равным волновому.

Для определения напряжения и тока нагрузки применяем принцип наложения:

где .

От места коммутации распространяется волна (прямая при отсчете y от этой точки линии), напряжение и ток которой для всех точек определяются с учетом запаздывания. Для этого в выражениях тока и напряжения нагрузки схемы рис. 12.14,в следует заменить аргумент t на :

Эта волна накладывается на существовавшее до коммутации распределение напряжения и тока в линии. Там же, куда волна не дошла , по-прежнему существует докоммутационный установившийся режим.

Аналогичным образом определяются ток и напряжение прямой волны при отключении нагрузки от работающей линии (рис. 12.15,а).

Сначала рассчитывается докоммутационный режим (схема рис. 12.15,б) и определяется величины , и . Затем составляется схема замещения с нулевыми начальными условиями (рис. 12.15,в), в которой действует источник тока , а линия заменена сосредоточенным сопротивлением, равным волновому. Расчет этой схемы позволяет определить , , а затем и параметры прямой волны. Все вышеприведенные формулы справедливы и для данного случая.

Пример 12.5

Воздушная линия без потерь длиной l = 600 м с волновым сопротивлением Ом подключена к генератору с ЭДС E = 220 В и внутренним сопротивлением Ом и нагружена на сопротивление Ом (рис. 12.16,а).

Найти распределение тока и напряжения в линии через мкс после подключения конденсатора с емкостью нФ.

Решение

В установившемся режиме до коммутации в цепи протекал постоянный ток А и вызывал на зажимах нагрузки напряжение В. Такое же напряжение существовало перед коммутацией и между проводами линии по всей ее длине, и на зажимах рубильника В.

Схема с сосредоточенными параметрами для расчета переходного процесса в цепи с нулевыми начальными условиями показана на рис. 12.16,в. Фактически здесь приходится иметь дело с включением цепи R, C на постоянное напряжение. В подобном примере 10.11 был найден ток .

Очевидно, применительно к схеме данной задачи В, Ом,

Тогда А,

В.

Для определения напряжения и тока возникающей прямой (при отсчете расстояния y от конца линии) волны достаточно в последних двух формулах заменить аргумент t на . За 1 мкс при движении со скоростью м/с (а именно такова скорость распространения волн в воздушной линии без потерь) волна пробежит половину длины линии: м.

В той части линии, куда волна не дошла , сохраняется докоммутационный режим: B, A. А там, где она прошла , распределение напряжения и тока подчиняется следующему закону (y измеряется в метрах):

В,

А.

Графики распределения напряжения и тока вдоль линии показаны на рис. 12.16,в.

13. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

13.1. полная система уравнений

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

13.1.1. Основные величины,

характеризующие электромагнитное поле

Электромагнитное поле – это особый вид материи, который является носителем энергии и оказывает силовое воздействие на заряженные частицы и тела. Оно характеризуется способностью распространяться даже в пустоте (электромагнитные волны) и непрерывностью распределения в пространстве, но вместе с тем проявляет дискретную структуру (фотоны). Для упрощения анализа у единого электромагнитного поля принято выделять две составляющие, которые можно обнаружить по отдельности при выборе соответствующей системы отсчета.

Электрическое поле выявляется по силовому воздействию на неподвижные заряженные тела и частицы, магнитное поле – по силовому воздействию на неподвижные проводники с токами или на движущиеся заряженные тела и частицы. В курсе физики даются определения основных величин, характеризующих эти составляющие, описываются электрические и магнитные свойства различных сред, в которых поля существуют. Краткое изложение соответствующего раздела физики дано в разделе 1 первой части пособия [6].