Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Г л а в а   1. Аналитическая геометрия ........................................	9
1.1. Декартовы координаты на прямой и на плоскости................ 1.2. Простейшие задачи на плоскости............................................ 1.3. Линии и их уравнения............................................................... 1.4. Угловой коэффициент прямой................................................. 1.5. Различные виды уравнения прямой......................................... 1.6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой ................................................................................... 1.7. Общее уравнение линий второго порядка............................... 1.8. Окружность ................................................................................ 1.9. Парабола ..................................................................................... 1.10. Эллипс ........................................................................................ 1.11. Гипербола .................................................................................. 1.12. Векторы. Коллинеарность и равенство векторов. Линейные операции и их свойства ............................................................ 1.13. Декартовы координаты точки в пространстве. Радиус – – вектор точки........................................................................... 1.14. Координаты вектора. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме....................................... 1.15. Скалярное произведение двух векторов. Длина и направ- ляющие косинусы вектора..................................................... 1.16. Различные виды уравнения плоскости................................... 1.17. Расстояние от точки до плоскости.......................................... 1.18. Прямая линия в пространстве.................................................. 1.19. Взаимное расположение прямой и плоскости.......................	9 11 13 15 15 19 20 21 22 24 26 29 31 32 34 37 39 39 41
Г л а в а  2. Введение в анализ .....................................................	43
2.1. Понятие множества. Числовые множества. Логические сим- волы............................................................................................. 2.2. Определение функции. Основные способы её задания......... 2.3. Основные элементарные, сложные и элементарные функции...................................................................................... 2.4. Предел независимой переменной. Окрестность точки.......... 2.5. Предел функции в точке. Односторонние пределы.............. 2.6. Предел функции в бесконечности. Односторонние пределы в бесконечности......................................................................... 2.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их основные свойства..................................................................... 2.8. Формулировки основных теорем о пределах функций.......... 2.9. Два замечательных предела. Понятие о натуральных логарифмах и экспоненте........................................................ 2.10. Точки непрерывности и точки разрыва функции.................. 2.11. Свойства функций, непрерывных на отрезке.........................	43 44 45 46 47 48 49 50 52 53 55
Г л а в а   3. Дифференциальное исчисление ...........................	57
3.1.  Определение производной, её геометрический и физический смысл .......................................................................................... 3.2.  Дифференцируемость и непрерывность функции. Формулы дифференцирования................................................................. 3.3.  Правила дифференцирования элементарных функций. Производная неявной функции............................................... 3.4.  Дифференциал функции. Производная функции, заданной параметрическими уравнениями........................................... 3.5. Производные высших порядков. Физический смысл производной второго порядка............................................... 3.6. Основные теоремы дифференциального исчисления........ 3.7. Определение монотонных функций. Достаточные условия монотонности ............................................................................ 3.8. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума ................................................................................. 3.9. Наибольшее и наименьшее значения функции................. 3.10. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба ..................................................................................... 3.11. Асимптоты графика функции................................................ 3.12. План полного исследования функции и построения её графика ......................................................................................	57 58 60 61 62 63 66 67 68 69 70 72
Г л а в а  4. Функции нескольких переменных ........................	73
4.1.  Основные понятия................................................................... 4.2.  Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных ...................................................................... 4.3.  Производная по направлению и градиент.............................. 4.4.  Частные производные высших порядков ............................... 4.5.  Экстремум функции двух переменных................................... 4.6.  Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных............................................................................... 4.7.   Условный экстремум функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа.............................................................	73 74 76 77 79 81 81
Г л а в а  5. Интегральное исчисление ..........................................	83
5.1. Первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла................................................... 5.2. Таблица неопределённых интегралов. Метод непосредст- венного интегрирования........................................................ 5.3. Метод интегрирования заменой переменной........................ 5.4. Метод интегрирования по частям........................................... 5.5. Специальные приёмы интегрирования некоторых тригоно- метрических и иррациональных функций.......................... 5.6. Понятие о «неберущихся» интегралах и интегрировании в конечном виде ......................................................................... 5.7. Понятие определённого интеграла......................................... 5.8. Геометрический смысл определённого интеграла................ 5.9. Основные свойства определённого интеграла....................... 5.10. Вычисление определённого интеграла.................................. 5.11. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Теорема существования........................................................ 5.12. Несобственные интегралы первого рода............................... 5.13. Вычисление площади плоской фигуры................................. 5.14. Определение определённого интеграла как предела интег- ральной суммы.........................................................................	83 84 86 87 90 91 92 92 94 95 97 97 99 100
Г л а в а  6. Матрицы и определители ........................................	102
6.1. Числовые матрицы и действия над ними............................... 6.2. Определители квадратных матриц.......................................... 6.3. Свойства определителей ......................................................... 6.4. Обратная матрица....................................................................	102 110 114 118
Г л а в а  7. Системы линейных уравнений ..............................	121
7.1.  Основные понятия ................................................................... 7.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными......... 7.3. Элементарные преобразования матриц и систем линейных уравнений.................................................................................. 7.4. Метод Гаусса............................................................................ 7.5. Система линейных уравнений с базисом. Метод Жордана – Гаусса.................................................................... 7.6. Ранг матрицы............................................................................ 7.7. Условие совместности систем линейных уравнений............ 7.8. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы.....................................................................................	121 123 127 130 134 139 142 144
Г л а в а  8. Линейное программирование .................................	147
8.1. Задачи математического и линейного программирования... 8.2. Экономико-математические модели простейших задач линейного программирования................................................ 8.3. Каноническая форма задачи линейного программирова- ния .............................................................................................. 8.4. Выпуклые множества ............................................................... 8.5. Многоугольники и многогранники......................................... 8.6. Геометрическая интерпретация задачи линейного програм- мирования.................................................................................. 8.7. Свойства задачи линейного программирования.................... 8.8. Графический метод решения задачи линейного програм- мирования.................................................................................. 8.9. Симплексный метод решения задачи линейного програм- мирования. Критерий оптимальности решения..................... 8.10. Алгоритм симплексного метода.............................................. 8.11. Симметричные взаимно двойственные задачи...................... 8.12. Теоремы теории двойственности............................................ 8.13. Анализ двойственных оценок ресурсов .................................	147 149 152 154 156 158 160 163 166 170 173 175 178
Г л а в а  9. Дифференциальные уравнения ............................	180
9.1. Понятие о дифференциальном уравнении............................. 9.2. Уравнения первого порядка. Основные понятия и опреде- ления.......................................................................................... 9.3. Уравнения с разделяющимися переменными........................ 9.4. Однородные уравнения ............................................................ 9.5. Линейные уравнения и уравнение Бернулли......................... 9.6. Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка ....................................................................... 9.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Определения и основные свойства......................................... 9.8. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа. Формулы Эйлера ..................................................................... 9.9.  Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специаль- ного вида....................................................................................	180 181 186 187 189 190 193 196 200
Г л а в а  10. Числовые и степенные ряды ..............................	205
10.1. Последовательность и её предел............................................ 10.2. Числовые ряды и их свойства................................................. 10.3. Необходимый признак сходимости ряда............................... 10.4. Признаки сходимости положительных рядов....................... 10.5. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.................... 10.6. Степенные ряды ....................................................................... 10.7. Свойства степенных рядов ..................................................... 10.8. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена................................................................................ 10.9. Примеры применения рядов ...................................................	205 207 210 212 216 219 223 224 230
Г л а в а  11. Теория вероятностей ...............................................	233
11.1. Испытания и события. Поле случайных событий. Полная группа событий ....................................................................... 11.2. Вероятность события. Аксиомы теории вероятностей. Классическое и статистическое определения вероятности... 11.3. Основные формулы комбинаторики...................................... 11.4. Теорема сложения вероятностей............................................ 11.5. Правила умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности............................................................................ 11.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.................. 11.7. Понятие дискретной случайной величины........................... 11.8. Гипергеометрическое распределение................................... 11.9. Биномиальное распределение ................................................ 11.10. Распределение Пуассона ........................................................ 11.11. Математическое ожидание дискретной случайной вели- чины......................................................................................... 11.12. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискрет- ной случайной величины..................................................... 11.13. Закон больших чисел .............................................................. 11.14. Интегральная функция распределения. Непрерывная случайная величина ............................................................... 11.15. Дифференциальная функция распределения....................... 11.16. Числовые характеристики непрерывной случайной величины .................................................................................. 11.17. Закон равномерного распределения на отрезке................... 11.18. Показательное распределение. Показательный закон надежности .............................................................................. 11.19. Нормальный закон распределения ........................................	233 235 239 241 242 244 246 247 248 249 250 253 255 258 260 263 264 266 268
Г л а в а  12. Математическая статистика ...................................	272
12.1. Задачи математической статистики. Общие сведения о выборочном методе ............................................................... 12.2. Статистическое распределение выборки.............................. 12.3. Графическое изображение статистического распределе- ния. Эмпирическая функция распределения ......................... 12.4. Числовые характеристики генеральной и выборочной совокупностей .......................................................................... 12.5. Точечные оценки параметров распределения....................... 12.6. Интервальные оценки параметров распределения............... 12.7. Принцип практической невозможности маловероятных событий .................................................................................... 12.8. Статистическая гипотеза и общая схема её проверки........ 12.9. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона .................................................................................... 12.10. Условные распределения и регрессии.................................. 12.11. Ковариация и коэффициент корреляции............................. 12.12. Уравнения прямых регрессии и статистические оценки их параметров ........................................................................	272 273 274 277 279 280 282 283 285 288 290 294
Г л а в а  13. Экономико-математические модели ..................	297
13.1. Математические модели и точность экономических расчётов ................................................................................... 13.2. Равновесие спроса и предложения........................................ 13.3. Максимальная прибыль ........................................................ 13.4. Предельный анализ в экономике........................................... 13.5. Эластичность экономических функций................................ 13.6. Зависимость спроса от цен и доходов.................................. 13.7. Экономический смысл частных производных..................... 13.8. Полезность товаров и услуг................................................... 13.9. Балансовые модели ................................................................ 13.10. Цепи Маркова .........................................................................	297 297 300 302 306 308 310 312 315 318