Интеллектуализация обработки информации при использовании дискретных методов исследования динамических систем

УДК 519.240

ИНТЕЛЛЕКТУАЛИЗАЦИЯ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ДИСКРЕТНЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

И. Н.СТАТНИКОВ, Г. И.ФИРСОВ

Институт машиноведения им РАН

[e-mail]

Аннотация: Рассматривается применение для решения задач многокритериального синтеза динамических систем метода ПЛП-поиска, который не только позволяет на основе проведения имитационных модельных экспериментов осуществить просмотр пространства параметров в заданных диапазонах их изменения, но и в результате специального рандомизированного характера планирования этих экспериментов применить количественные статистические оценки влияния изменения варьируемых параметров и их парных сочетаний на анализируемые свойства рассматриваемой динамической системы.

Ключевые слова: планирование вычислительных экспериментов, ЛП –сетки, имитационное моделирование.

Среди новых подходов к исследованию сложных систем такой вид информационных технологий как эволюционное моделирование выделяется своим синтетическим аспектом, поскольку объединяет эвристические методы, развиваемые в науках об управлении и оптимизации, и эволюционные алгоритмы, характерные для живой природы. Однако при вероятностном и статистическом подходе к решению задачи проектирования возникает важная проблема: обилие информации требует умения ее преобразовывать в характеристики, зависящих и определяющих одновременно свойства проектируемого объекта, а не только отыскивать экстремумы заданных критериев качества. Одним из путей решения проблемы может стать применение различных эвристических приемов сокращения пространства параметров, в котором происходит поиск наилучших решений. Здесь целесообразно опираться на когнитивное правило, выведенное Полем Фитсом [1,2]:: время достижения цели обратно пропорционально ее размеру и дистанции до нее. Если объем исходной области поиска обозначить через D, а объем области, содержащей предпочтительные решения, как S, то число вычислительных экспериментов может быть определено по формуле: где a и b - некоторые константы. Перефразируя известное выражение, можно сказать, что как могущество человека прирастает могуществом создаваемой им техники, так и эффективность используемой техники определяется во многом интеллектуальными возможностями человека, т. е. мыслительными способностями человека освоить получаемую информацию (intellctus – разум; мыслительные способности). Это положение полностью подтверждается историей развития вычислительной техники. Как только появились ЭВМ (пусть еще и несовершенные в современном смысле), стало возможным использование методов Монте-Карло, которые мы и рассматриваем как представителей идеологии «слепого» перебора [3]. Привлекала как их независимость от вида широкого класса исследуемых функций, так и простота алгоритмической реализации на ЭВМ (хотя всегда есть проблемы качества используемых датчиков случайных или квазислучайных (псевдослучайных) чисел). Но возникало противоречие: колоссальные объёмы числовой информации и возможности интерпретации исследователем таких объемов. Статистическая обработка числовой информации, добываемой при использовании дискретных методов, представляет собой, безусловно, пример интеллектуализации процесса анализа этой информации. Однако стандартный набор статистических характеристик (средние, среднеквадратичные отклонения и т. д.) все же оставлял без ответа очень важный вопрос: а что между двумя последовательными испытаниями функции? Поэтому постоянно присутствует потребность в дополнении существующих стандартных пакетов математической обработки методами, повышающими степень их интеллектуализации.

Полагаем, что одним из таких методов является ПЛП-поиск, основная идея которого заключается в синтезе двух подходов: дискретного случайного поиска и его особой организации в пространстве варьируемых параметров исследуемой функции [4]. Благодаря реализации в ПЛП-поиске этой идеи удается статистическим путем (и визуально; графически) оценить в среднем чувствительность исследуемой функции к изменениям параметров, в нее входящих со всеми вытекающими из этого обстоятельства возможностями при решении задач исследования (и проектирования) динамических систем.

Рассмотрим алгоритм ПЛП-поиска и формализованную постановку решаемой задачи при его использовании. Отметим, что успешность применения ПЛП-поиска обуславливается тем, что этот метод предназначен, в основном, для применения на предварительном этапе решения задачи, когда полученная информация позволяет принять решение об использовании других методов оптимизации (но значительно эффективнее), или об окончании решения (такое тоже возможно). В основание метода положена рандомизация расположения в области векторов , рассчитываемых по ЛПτ-сеткам [5], и которая оказывается возможной благодаря тому, что весь вычислительный эксперимент проводится сериями. В ПЛП-поиске на сегодняшний день можно варьировать одновременно значения до 51-го параметров (J = 51). Для рандомизации (случайного смешения уровней варьируемых параметров ) дискретного обзора могут быть использованы многие существующие таблицы равномерно распределенных по вероятности целых чисел. В целях экономии памяти ЭВМ в ПЛП-поиске алгоритм рандомизации построен на использовании датчика псевдослучайных чисел q (0 < q <1) из [5]. Рандомизация состоит в том, что для каждой h - ой серии экспериментов (h=1,…, H()), где H() - объем выборки из элементов для одного критерия, вычисляется свой вектор случайный номеров строк в таблице направляющих числителей (ТНЧ) по формуле:

jβh = [R ´ q] + 1, (1)

а значения в h - ой серии рассчитываются с помощью линейного преобразования где - соответственно верхние и нижние границы области ; b = 1, …, J; R - любое целое число (в ПЛП-поиске R = 51); - фиксированный номер варьируемого параметра; = =1,…, M () - номер уровня - го параметра в h - й серии; M () - число уровней, на которое разбивается - ый параметр; в общем случае jβh ≠ (в чем и состоит одна из целей рандомизации). Можно показать с помощью критерия Романовского [6], что числа jβh, вырабатываемые по формуле (1), оказываются совокупностью равномерно распределенных по вероятности целых чисел. Обратим внимание, что M () и есть количество экспериментов, реализуемых в одной серии. И если () = = const и () = = const, то в этом случае параметры N0, M и связаны простым соотношением:

N0 = M ´ H, (2)

где N0 - общее число вычислительных экспериментов (ВЭ)., при этом длина выборки из в точности равна . Но в общем случае, когда () = var, то и () = var, и тогда формула (2) для одного критерия примет такой вид:

Для проведения однофакторного дисперсионного анализа [7] по всем параметрам для каждого критерия производится сортировка результатов вычислений, полученных при вычисления в точках матрицы планируемых экспериментов (МПЭ). В результате сортировки для одного критерия будет получено J матриц, состоящих из элементов а для критериев будет получено J ´ K матриц, состоящих из элементов , где - номер критерия. Этот анализ позволяет принять (или отвергнуть) с требуемой вероятностью , где a - заданный уровень значимости, следующую нулевую гипотезу: средние значения не существенно (случайно) отличаются от общего среднего значения - го критерия . Если принят положительный ответ (гипотеза принята), то допускается на следующем этапе решения задачи несущественно влияющий параметр не варьировать, а зафиксировать одно из его значений, например, для такого , где имеет наилучшее значение в смысле искомого экстремума.

Иначе говоря, инструментальная основа ПЛП-поиска, реализованного в среде MATLAB [8,9], состоит в следующем [10]. В пространстве варьируемых (исследуемых) параметров aj (j=1,…,J) строится матрица планируемых экспериментов (МПЭ) размером (N0 *J),где N0 – число строк этой матрицы (число вычислительных экспериментов), а J – число столбцов. При этом весь численный эксперимент проводится сериями, в каждой из которых реализуется алгоритм ЛП-поиска [5]. При этом каждая серия вычислительных экспериментов рассчитывается по совокупности J строк из таблицы направляющих числителей {V }, где j=1,...,51, m=1,…,20 [5]. Номера строк для каждой серии берутся из совокупности равномерно распределенных по вероятности целых чисел, вырабатываемой в ПЛП-поиске с помощью того же датчика псевдослучайных чисел qu (0 < qu < 1), что используется и при выработке случайных значений aij где i=1,…,N0. При реализации ЛП-поиска в каждой серии каждый варьируемый параметр в диапазоне своего изменения разбивается на M сечений. В ПЛП-поиске предусмотрены варианты, когда M=2l, M=2l+1, M= 2 (l=2,3,4,…). В свою очередь также реализутся для каждого из трех перечисленных случаев варианты при M=const и M=var.

В сформированной указанным способом МПЭ производятся вычисления по каждому критерию в каждой строке матрицы. Далее определенным выше образом производится сортировка результатов вычислений, привязанная к МПЭ, и появляются возможности использования оценок математической статистики для определения статистического влияния каждого варьируемого параметра на каждый вычислявшийся критерий.

Отметим, что в ПЛП-поиске представляется возможным варьировать до 51 параметра и разбивать варьируемые параметры на число сечений до 1024, хотя реально употребляются от 4 до 256 сечений.

В результате применения ПЛП-поиска можно с требуемой вероятностью получить одновременно следующие результаты (или некоторые отдельно):

1) определить существенные (релевантные) параметры в смысле их влияния на значения каждого критерия ; иначе говоря, статистическим путём оценить в среднем изменения производных при ; здесь , J – число варьируемых параметров, U – число параметров управления динамической системой; , где К – число предъявленных критериев качества к системе;

2) выделить области концентрации наилучших решений по каждому критерию при заданной метрике , где - экстремальное значение k-го критерия качества исследуемой (проектируемой) динамической системы, заранее известное или определяемое по ходу проведения вычислительных экспериментов; иначе говоря, отыскать область , удовлетворяющую одновременно двум условиям: с вероятностью найти множество n N таких точек (m = 1,…, n), что в каждой из этих точек выполнится неравенство и при этом (n/N) ≥ 1 – δ, здесь , 0 <d << 1, 0 < << 1, - заданная (требуемая) вероятность;

3) построение на основе определенных существенных параметров и выделенных подобластей регрессионных зависимостей;

4) выделение в K-мерном пространстве критериев множества с высокой концентрацией точек Парето (или, если возможно, построение поверхности Парето); а в случае задания какой-либо схемы компромисса - выделение подобласти ,содержащую наибольшую концентрацию требуемых компромиссных решений.

Метод ПЛП-поиска легко реализуется в среде MATLAB [8].

Подведем некоторые итоги. Доказывая эффективность ПЛП-поиска по сравнению со “слепым” способом поиска экстремумов, не предлагается отбрасывать последний. Однако, очевидно, что ПЛП-поиск не только может помогать скорейшему поиску экстремумов, если это требуется, но и дает информацию о влиятельности варьируемых параметров и, что также важно, способствует возникновению вопросов, связанных с исследованием пространства варьируемых параметров (в частности, результаты ПЛП-поиска могут помочь выбрать эффективную схему компромисса). Итак, можно утверждать, что если принято решение исследовать сначала сформулированную задачу дискретным способом (что полезно даже в том случае, когда удаётся получить аналитические зависимости, но очень сложные), то ПЛП-поиск представляется весьма эффективным методом компьютерных технологий в смысле ранее упомянутой их второй составляющей. Кроме того, все алгоритмы ПЛП-поиска легко программируются, допускают диалоговый режим работы. То, что результаты применения ПЛП-поиска носят вероятностный характер, позволяет нам утверждать, перефразируя суждение известного французского философа ХХ века Габриэля Марселя, высказанное в его диалоге с философом Полем Рикёром [9] о его методе исследования природы и социальных систем, что ПЛП-поиск – это метод честных вопросов, а не фальшивых ответов.

Литература

1. Fitts P. M. The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement // Journal of Experimental Psychology. – 1954. – V. 47, No. 6. - P. 381-391.

2. Зуев интерфейсы как средства управления работой информационных систем // Информационные модели экономики. - М.: МГАПИ, 2006. - С. 80-84.

3. , , и др. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) / Под ред. . – М.: Физматгиз, 1962. – 332 с.

4. , ПЛП-поиск – эвристический метод решения задач математического программирования. – М.: ИИЦ МГУДТ, 2006. – 140 с.

5. Соболь квадратурные формулы и функции Хаара. - М.: Наука, ГРФМЛ, 19с.

6.Митропольский статистических вычислений. – М.: Наука, ГРФМЛ, 1971. – 576 с.

7. Дисперсионный анализ / Пер. с англ. – М.: Наука, ГРФМЛ, 1980. – 512 с.

8. , ПЛП-поиск и его реализация в среде MATLAB // Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB. - М.: ИПУ РАН, 2004. - С.398-411.

9. Трагическая мудрость философии. Избранные работы. - М.: Издательство гуманитарной литературы, 1995. – 215 с.