УДК 539.4+539.37

,

Институт теоретической и прикладной механики им. СО РАН, г. Новосибирск

ДИНАМИКА ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ПРАВИЛЬНОЙ ПОЛИГОНАЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ С ОТВЕРСТИЕМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЗРЫВНЫХ НАГРУЗОК

Построено общее решение динамического изгиба жесткопластических правильных полигональных шарнирно опертых или защемленных пластин со свободным отверстием при воздействии произвольной динамической нагрузки взрывного типа. Рассмотрены две схемы деформирования пластин. Представлены аналитические зависимости для описания поведения пластины, предельных нагрузок, времени остановки и остаточных прогибов. Приведены численные примеры. Решения могут быть использованы при различных инженерных расчетах.

1. Расчет разнообразных по форме тонкостенных элементов конструкций при воздействии взрывных нагрузок имеет большое значение для оценки степени их повреждаемости и прогнозирования чрезвычайных ситуаций. В работе на основе модели деформирования, предложенной авторами в [1], рассмотрено динамическое поведение жесткопластических правильных полигональных шарнирно опертых или защемленных пластин со свободным правильным полигональным или круглым отверстием. Известные в литературе решения для пластических правильных полигональных пластин со свободным отверстием касаются только анализа статического предельного состояния шарнирно опертых квадратных пластин [2].

Рассмотрим динамическое поведение правильных -угольных пластин со сторонами , имеющих свободное правильное -угольное коаксиальное отверстие, определяемое размером (рисунок 1). На пластину действует равномерно распределенная по поверхности динамическая нагрузка взрывного типа высокой интенсивности , которая характеризуется мгновенным достижением максимального значения в начальный момент времени с последующим быстрым ее уменьшением.

Рисунок 1 – Схема деформирования 1

Рисунок 2 – Схема деформирования 2

Для рассматриваемой пластины из идеального жесткопластического материала возможны две схемы деформирования в зависимости от величины ([1]). При нагрузках, не превышающих предельные нагрузки (“низких” нагрузках, ), пластина остается в покое. При нагрузках, незначительно превышающих предельные (“средних” нагрузках, ), схему деформирования можно представить в виде совокупности областей (), которые жестко вращаются вокруг опорных участков контура пластины (рисунок 1). Области разделены прямолинейными пластическими шарнирами. Назовем схему деформирования при “средних” нагрузках схемой 1. При достаточно высоких значениях (“высоких” нагрузках, ) схема 1 переходит в схему 2 (см. [1]), в которой деформирование пластины сопровождается возникновением нестационарного пластического кусочно-линейного шарнира , движущегося поступательно (рисунок 2). В схемах 1 и 2 нормальный изгибающий момент на внутренних шарнирных линиях равен предельному моменту ; на опорном контуре пластины он равен , где при защемлении контура и при его шарнирном опирании.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2. Рассмотрим схему 1. Схема деформирования будет состоять из одинаковых областей в форме равнобедренных трапеций с углом при основании (), а внутренние шарнирные линии пройдут через вершины отверстия. Уравнение движения пластины для схемы 1 примет вид (см. [1]):

, (1)

где – поверхностная плотность материала пластины, – угол отклонения области от горизонта, точка обозначает производную по времени.

В начальный момент пластина покоится:

. (2)

Предельную нагрузку определим, считая в (1). Тогда

. (3)

В случае шарнирного опирания внешнего контура () она совпадает с предельной нагрузкой, полученной на основе точного решения в [3], для кольцевой пластины радиуса и отверстием радиуса с таким же способом крепления контуров.

График зависимости безразмерной предельной нагрузки () от по формуле (3) приведен на рисунке 3. При увеличении отверстия, то есть при уменьшении от значения равного единице, предельная нагрузка сначала немного снижается, а потом увеличивается до бесконечности при . Для правильных - угольных пластин наименьшая предельная нагрузка в случае шарнирно опертого внешнего контура (кривая 1) достигается при и равна , и в случае защемленного внешнего контура (кривая 2) – при и равна . При в случае шарнирного опирания контура величина предельной нагрузки совпадает с величиной, полученной в [2].

При получаем решение для кольцевой пластины радиуса и отверстием радиуса . В случае шарнирного опирания внешнего контура () предельная нагрузка (3) совпадает с предельной нагрузкой, полученной на основе точного решения в [2]. В случае защемления внешнего контура () предельная нагрузка (3) больше примерно на 7%, величины предельной нагрузки, полученной на основе точного решения при условии текучести Треска в [4].

Из (1), (2) получим, что поведение полигональной пластины при “средних” нагрузках при описывается следующими уравнениями:

, , , (4)

где , . Время окончания движения определяется из условия

. (5)

Тогда из (4) следует, что , и зависит только от полного импульса нагрузки . Все прогибы определяются из равенств

: , () (6)

где – расстояние от точки до опорного участка контура области .

В случае прямоугольного импульса нагрузки ( при , при ) остаточный угол поворота равен

, (7)

а величина максимального остаточного прогиба при шарнирном опирании внешнего контура совпадает с соответствующей величиной, полученной в [3] для кольцевой пластины радиуса под действием "средней" нагрузки.

Рисунок 3 – Нагрузки и

Рисунок 4 – Прогибы

На рисунке 4 приведены безразмерные остаточные прогибы

() на свободном контуре правильной - угольной пластины со свободным коаксиальным полигональным отверстием в зависимости от величины под действием прямоугольной нагрузки с при различном закреплении внешнего контура (кривая 1 – шарнирное опирание, кривая 2 – защемление). Видно, что величина отверстия и способ крепления внешнего контура существенно влияют на остаточный прогиб. В случае шарнирного опирания внешнего контура остаточный прогиб достигает наибольшего значения при , а в случае защемления – при .

Принимая , получаем случай правильной полигональной пластины без отверстия. При этом решение (4) совпадает с решением, приведенным в [5], для правильной полигональной пластины, находящейся под действием "средней" нагрузки.

3. Рассмотрим полигональную пластину со свободным круглым отверстием радиуса в центре пластины под действием "средней" нагрузки (рисунок 5). Уравнение вращения области вокруг опорной стороны будет иметь вид (см. [1]):

(8)

где . Предельную нагрузку определим, приняв в (8). Тогда

.

График зависимости безразмерной предельной нагрузки () от величины () построен на рисунке 3. Кривые 3, 4 относятся к случаю , кривые 5, 6 – к случаю . Кривые 3, 5 соответствуют шарнирному опиранию, кривые 4, 6 – защемлению. При предельная нагрузка правильной полигональной пластины с круглым отверстием практически совпадает с предельной нагрузкой правильной полигональной пластины с правильным полигональным коаксиальным отверстием. При увеличении радиуса отверстия предельная нагрузка сначала несколько снижается, а потом увеличивается и принимает свое максимальное значение при ().

Поведение пластины будет полностью описываться формулами (4) при

.

На рисунке 4 приведены безразмерные максимальные остаточные прогибы правильной - угольной пластины со свободным отверстием радиуса в зависимости от величины под действием прямоугольной нагрузки с при различном закреплении внешнего контура. Кривая 3 соответствует случаю при шарнирном опирании контура (); кривая 4 – при защемлении контура (); кривая 5 – случаю , .

Принимая , получаем решение для правильной полигональной пластины без отверстия, которое совпадает с решением в [5] при действии "средней" нагрузки.

Рисунок 5 –Пластина с круглым отверстием

Рисунок 6 – Прогибы

4. Рассмотрим подробно схему 2 для правильной -угольной пластины имеющей свободное правильное -угольное коаксиальное отверстие. Обозначим часть области между опорным контуром и  – участками шарнира в области , через , а оставшуюся часть – через (рисунок 2). Поскольку шарнир движется поступательно, то все его точки движутся с одинаковой скоростью, которую обозначим через . Из непрерывности скоростей на следует, что параллельны опорному участку контура в области , и расстояние между ними не зависит от координат , а является только функцией времени. Обозначим скорость поворота области вокруг шарнира через . Тогда скорости прогибов пластины для схемы 2 будут представлены в виде:

(9)

Считая и обозначая (), уравнения движения правильных -угольных пластин со свободным правильным -угольным коаксиальным отверстием при "высоких" нагрузках примут вид (см. [1]):

, (10)

, (11)

, (12)

, (13)

,

с начальными условиями (2) и

, . (14)

Начальное значение определим ниже в зависимости от значения .

Из условия определим нагрузку , которая является минимальным значением , при котором реализуется схема 2. Значение функции , соответствующее нагрузке , обозначим через . Из (10), (11) при условии при получим

(15)

Дифференцируя (13) по времени и с помощью полученного равенства, исключая функции , из (10), (12), имеем

(16)

Учитывая начальные условия (2), (14), уравнение (16) примет вид:

(17)

Считая в (14), (17) и , получим, что определяется из равенства

(18)

а удовлетворяет уравнению

. (19)

Уравнение (17) позволяет определить начальное значение при .

График зависимости безразмерной нагрузки () от размера отверстия приведен на рисунке 3. Кривая 7 соответствует шарнирному опиранию контура, кривая 8 – защемлению правильного полигонального контура.

Предположим, что возможно деформирование по схеме 2, при котором , тогда уравнение (11) примет вид (см. [1]):

.

Из этого равенства видно, что поскольку, то должно выполняться неравенство . Тогда при учете начального условия , получим, что . При этом , что противоречит сделанному предположению . Следовательно, движение пластины с условием происходить не может.

При “высоких” нагрузках () движение пластины начнется по схеме 2 при наличии шарнира , начальное положение которого определяется уравнением (17). Движение пластины в первой фазе () описывается уравнениями (10) – (13) при начальных условиях (2), (14). Из уравнений (10), (11), (17) следует, что после начала движения выполняется неравенство . После снятия нагрузки из (10), (11) при получим, что справедливы неравенства  и  EMBED Equation. DSMT4  (при  EMBED Equation. DSMT4 ). Следовательно, в некоторый момент времени  EMBED Equation. DSMT4  выполняется равенство  EMBED Equation. DSMT4 , и дальнейшее движение пластины происходит по схеме 1.

При  EMBED Equation. DSMT4  (вторая фаза) поведение пластины описывается уравнением (1) при начальных условиях  EMBED Equation. DSMT4 ,  EMBED Equation. DSMT4 , определенных в конце первой фазы движения. Пластина останавливается в момент времени  EMBED Equation. DSMT4 , определяемый из уравнения (5). Все прогибы вычисляются из (9), (6) с учетом обеих фаз движения.

На рисунке 6 приведены безразмерные прогибы  EMBED Equation. DSMT4  в сечении  EMBED Equation. DSMT4  в зависимости от  EMBED Equation. DSMT4  для правильной  EMBED Equation. DSMT4 -угольной шарнирно опертой пластины со свободным правильным  EMBED Equation. DSMT4 -угольным отверстием с  EMBED Equation. DSMT4 . Расчеты проведены численно методом Рунге-Кутта. На пластину действует “высокая” нагрузка прямоугольного типа с . При этом , , , . Во время действия нагрузки функция постоянна и равна своему начальному значению . На интервале времени функция возрастает, а области убывают. Кривые 1 –3 изображают прогибы в моменты времени , и остаточные прогибы при соответственно. Кривая 4 на рисунке 6 изображает остаточные прогибы, полученные в случае, если для рассматриваемой нагрузки расчеты вести по формуле (7) для схемы 1. Максимальный остаточный прогиб при учете схемы 2 меньше на 23%, чем максимальный остаточный прогиб при расчете только по схеме 1.

Для кольцевой пластины () шарнирно опертой на внешнем контуре при воздействии “высокой” и “средней” нагрузки прямоугольного типа максимальный остаточный прогиб совпадает с прогибом, полученным на основе точного решения в работе [3].

Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума СОРАН (комплексный интеграционный проект №

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Немировский динамического поведения жесткопластической криволинейной пластины с произвольным свободным отверстием / , // Международный научно-технический сборник “Теоретическая и прикладная механика”, Белорусский Национальный тех. ун-т (Минск, Беларусь). – 2007. – № 23. – C. 26–34 .

2. Ржаницын равновесие пластинок и оболочек. / – М.: Наука, 1983. – 288 с.

3. Mroz Z. Plastic deformations of annular plates under dynamic loads // Arch. Mech. – 1958. – V. 10, No. 4. – P. 499–516.

4. О несущей способности кольцевых пластин / // Инженерный сборник. – 1953. – Т. 16. – С. 177–182.

5. Немировский изгиб пластических полигональных плит / , // ПМТФ. – 1988. – № 4. – С. 149–156.