Комбинированный (операторно-классический) метод

10.3.5. Комбинированный (операторно-классический) метод

Как и в классическом методе, решение записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих. Принужденная, как обычно, находится из расчета установившегося режима послекоммутационной цепи. А свободная определяется операторным методом, для чего составляется схема замещения свободного процесса, в которой внешние источники отсутствуют (ЭДС замыкают накоротко, источники тока отключают), а внутренние определяются по начальным значениям свободных составляющих и . Метод целесообразно применять, например, при наличии в цепи источников, ЭДС или задающие токи которых являются периодическими функциями времени (изображения таких функций дают по два корня знаменателя на каждую гармонику).

Пример 10.10

Составить алгоритм расчета переходного процесса комбинированным методом для схемы с гармоническим источником, показанной на рис. 10.15,а, с теми же параметрами, что и в примере 10.6.

Решение

1. Определяем независимое начальное условие. При расчете схемы рис. 10.15,в в примере 10.6 уже было найдено начальное значение напряжения на конденсаторе В.

2. Находим принужденные составляющие искомой величины и непрерывной величины. В примере 10.6 уже определены и та, и другая:

A, В.

При этом В.

3. Определяем начальное значение свободной составляющей

непрерывной величины B и составляем операторную схему свободного процесса. Она показана на рис. 10.22. 4. Рассчитываем по закону Ома операторное изображение свободной составляющей искомого тока:

Кл.

Затем по таблице находим оригинал А.

5. Суммируем принужденную и свободную составляющие и, как в классическом методе, получаем

A.

10.4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА НАЛОЖЕНИЯ

К РАСЧЕТУ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ПРИ ВОЗДЕЙСТВИЯХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

10.4.1. Понятие о переходных функциях

Пусть на вход некоторой пассивной линейной электрической цепи (рис. 10.23,а) подается сигнал (осуществляется воздействие) v(t) и требуется найти на ее выходе реакцию f(t).

Если , то задача в принципе решается достаточно просто классическим или операторным методом. Если это воздействие появляется в момент при нулевых начальных условиях, то его можно описать как с помощью единичной функции (единичного скачка) Хевисайда (рис. 10.23,б):

1(t)= . (10.30).

Если же оно возникает в момент , то (рис. 10.23,в).

Реакция цепи f(t) будет пропорциональна воздействию: или при наличии запаздывания .  называется переходной функцией (переходной характеристикой), очевидно, она численно равна выходной величине, когда входная изменяется по закону единичного скачка.

В электрических цепях возможны четыре разновидности переходных функций в зависимости от сочетания входных и выходных величин.

Если входная величина – напряжение, а выходная – ток, то при постоянном напряжении на входе цепи ток на выходе окажется равным , где – переходная проводимость. Если же нужно при той же входной величине найти напряжение, то оно определяется по формуле , где – переходная функция напряжения. Для определения этих переходных функций нужно рассчитать переходный процесс в цепи с нулевыми начальными условиями при подключении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 10.24,а). Тогда

и . (10.31)

Если же входная величина – ток, а нужно найти на выходе ток или напряжение, то вводятся соответственно переходная функция тока или переходное сопротивление , так что при получится или .

Для их определения нужно рассчитать переходный процесс в цепи с нулевыми начальными условиями при подключении ее к источнику постоянного тока A (рис. 10.24,б). Тогда

или . (10.32)

Пример 10.11

Определить переходную проводимость цепи (рис. 10.24,в) с известными параметрами R, C.

Решение

Переходную проводимость определим по уравнению (10.31), рассчитав ток при подключении цепи рис. 10.24,в к источнику ЭДС  В.

Согласно классическому методу .

В установившемся режиме послекоммутационной цепи постоянный ток через конденсатор не течет, следовательно, . Тогда .

Характеристическое уравнение имеет вид:

, откуда .

До коммутации конденсатор не был заряжен, поэтому

Постоянная интегрирования , так как в первый момент незаряженный конденсатор представляет собой закоротку.

Так что , тогда при E = 1 B имеем .

10.4.2. Формулы Дюамеля

Если на вход некоторой цепи подключен источник, у которого ЭДС или ток j(t) имеют сложную зависимость от времени, то при отыскании тока i(t) или напряжения u(t) на выходе цепи можно применить принцип наложения. Для доказательства рассмотрим некоторую цепь с переходной проводимостью y(t), на входе которой действует источник непрерывной ЭДС, график мгновенного значения которой показан на рис. 10.25,а. Заменим эту кривую ступенчатой линией через равные промежутки времени Dq. Тогда можно считать, что в момент включился источник e(0), в момент – источник , при – ЭДС .

Так что в момент ток на выходе можно найти как сумму составляющих от действия ЭДС, включившихся к данному моменту:

.

Устремляя Dq к нулю, учтем, что отношение конечных приращений переходит в производную , сумма бесконечно малых превращается в интеграл, в результате чего получим формулу Дюамеля:

. (10.33а)

Используя свойства определенных интегралов и применяя интегрирование по частям, можно получить еще три формы записи интеграла Дюамеля:

. (10.33б)

. (10.33в)

. (10.33г)

Здесь t – момент времени, в который определяется ток, а q – момент включения очередного бесконечно малого источника , причем под интегралом t – переменная, не зависящая от q.

Если закон изменения e(t) различен на разных интервалах, причем возможны разрывы первого рода, как на рис. 10.25,б, то и решения для каждого из этих интервалов будут отличаться друг от друга:

для

для

для

Отметим, что при записи решения на любом из интервалов времени верхний предел последнего интеграла равен t (если, конечно, этот интеграл существует).

Пример 10.12

Определить ток в цепи рис. 10.24,в при воздействии ЭДС, изменяющейся по экспоненциальному закону: .

Решение

Учтем, что e(0) = 0, .

Тогда после подстановки в формулу Дюамеля (10.33а) этих величин вместе с найденной в примере 10.11 переходной проводимостью , а также получим:

.

10.4.3. Понятие об импульсных функциях

Если в примере 10.11 уменьшать сопротивление R, то начальное значение тока, очевидно, будет возрастать с одновременным уменьшением постоянной времени τ = RC. При теоретическом рассмотрении случая R → 0 получим бесконечно большой импульс тока нулевой длительности. Для математического описания подобных зависимостей используется так называемая функция Дирака (δ-функция или единичный импульс), описание которой укладывается в две формулы:

. (10.34)

Из этого определения δ(t) следует связь ее с единичной функцией Хевисайда: , откуда получается и формула . Тогда в нашем гипотетическом случае подключения идеального конденсатора С к источнику постоянной ЭДС Е напряжение на конденсаторе и ток через него можно описать выражениями:

.

Реакцию некоторой цепи на импульсное воздействие можно определить как , где k(t) – импульсная характеристика этой цепи. Очевидна и связь импульсной характеристики с переходной функцией: .