Доказательство тавтологий
Алгоритм Квайна
Этот алгоритм состоит в том, что переменным высказываниям, упорядоченным в набор, последовательно придаются значения И и Л и анализируются формулы, содержащие меньшее число переменных.
Пример: 
. Упорядочим переменные в набор: 
.
_______________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Метод обратных рассуждений
Очевидно, формула не является тавтологией, если она принимает значение Л хотя бы на одном наборе значений переменных. Этим обстоятельством можно воспользоваться для распознавания тавтологий сокращенным методом «обратного рассуждения». Этот метод заключается в поиске таких переменных, при которых формула оказывается ложной.
Пример: 
.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Равносильные преобразования
Используя известные законы логики высказываний, можно часть формулы или всю формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными. Равносильные преобразования используются для доказательства тавтологий, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул. При проведении равносильных преобразований каждый шаг основывается на использовании того или иного закона.
Пример: 
.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Логический вывод
Доказательство тавтологий можно проводить с помощью правил вывода:
1. правило подстановки:_______________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
2. правило заключения:_______________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Выводимая формула – __________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Вообще говоря, не все тождественно истинные формулы могут быть выведены из произвольного множества тавтологий. В то же время, строго доказано, что можно выбрать такую конечную совокупной исходных тавтологий (аксиом логики высказываний), из которой выводимы все тождественно истинные формулы.
Предложено много различных систем аксиом логики высказываний. Рассмотрим одну из них:
А1. ╞ 
А2. ╞ 
А3. ╞ 
Пример. Выведем тавтологию 
из данной схемы аксиом.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Рассмотрим еще одну систему аксиом:
А1. ╞
А2. ╞ 
А3. ╞ 
А4. ╞ 
А5. ╞ 
А6. ╞ 
А7. ╞ 
А8. ╞ 
А9. ╞ 
А10.╞ 
Пример. Выведем тавтологию из данной схемы аксиом.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Формализация процесса вывода имеет большое теоретическое значение и позволяет построить схему доказательства, которая может быть реализована на вычислительных машинах. Однако сложность аксиоматического подхода к выводу тавтологий заставляет искать и применять специальные правила, которые сокращают многократное применение основных правил вывода.
Производные правила вывода, как и рассмотренные правила подстановки и заключения, позволяют получать новые доказуемые формулы. Они получаются с помощью правил подстановки и заключения, а поэтому являются производными от них.
Правило сложного заключения.
Если формулы 
- тавтологии и 
- тавтология, то и формула 
- тавтология.
Правило силлогизма.
Если 
и 
– тавтологии, то формула 
– тавтология.
Правило контрапозиции.
Если , то доказуема формула 
– тавтология.
Правило исключения промежуточной посылки.
Если 
и – тавтологии, то формула – тавтология.
Правило перестановки посылок.
Если , то формула 
– тавтология.
Метод дедукции
В содержательной математике утверждение «Из А следует В» обычно доказывается по следующей схеме. Предполагается, что А справедливо, посредством некоторой цепочки рассуждений устанавливается, что и В должно быть при этом справедливо, и заключается, что из А следует В. Кроме того, в рассуждениях может участвовать ряд дополнительных предположений. Формализацией этого способа доказательства является теорема о дедукции (для логики высказываний).
Теорема. Пусть Г: 
– некоторый набор формул. Тогда, если формула логически следует из набора Г, дополненного формулой А, то формула 
логически следует из набора Г.
Доказательство.
Пусть 
– вывод формулы В из набора формул Г, А. Если существует некоторый вывод из совокупности Г, который уже содержит все формулы вида 
, то он может быть продолжен до формулы 
. Рассмотрим возможные основания для включения формулы 
в исходный вывод .
Случай 1. _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Случай 2. _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Случай 3. _______________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Случай 4. _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Итак, ___________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Пример. Докажем, что 
в системе аксиом А1-А10.
_____________________________________________________________________________________
1. ___________________________________________________________________________________
2. ___________________________________________________________________________________
3. ___________________________________________________________________________________
4. ___________________________________________________________________________________
5. ___________________________________________________________________________________
6. ___________________________________________________________________________________
7. ___________________________________________________________________________________
8. ___________________________________________________________________________________
9. ___________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Метод резолюций
Пусть 
, 
. Резольвентой дизъюнктов 
и 
(по 
) называется дизъюнкт 
. Резольвента 
называется пустой. Метод резолюций сводится к построению резольвент. Множество элементарных дизъюнктов противоречиво тогда и только тогда, когда построение резольвент заканчивается пустой резольвентой, т. е. метод резолюций устанавливает противоречивость множества элементарных дизъюнктов.
Метод резолюций можно использовать для проверки выводимости формулы из данного набора Г. Все формулы из набора Г нужно привести к КНФ и добавить отрицание доказываемой формулы. Задача проверки выводимости сводится к проверке противоречивости полученного множества.
Пример: 
.
Нужно проверить на противоречивость множество формул:
_____________________________________________________________________________________
Приведем все формулы к КНФ:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Получаем множество дизъюнктов:
_____________________________________________________________________________________
Строим резольвенты:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Таким образом:_______________________________________________________________________
