Задание

Задание:

1.  Определить горизонтальное перемещение точки К для схемы 1

2.  Построить эпюры M, Q, N для схемы 2

Схема 1 Схема 2

Решение задания 1 (схема 1)

1. Сначала преобразуем схемы, полагая 0,5l = a, тогда l=2a.

Схема 1 Схема 2

Для того, чтобы определить горизонтальное перемещение т. К необходимо построить эпюры моментов от нагрузки Mp и от единичной силы М1:

рис.1(а, б)

После определения реакций и составления уравнений для моментов строятся эпюры Мр и М1. Затем определяются номера контролируемых сечений, участков и правило знаков: если эпюра моментов линейная – 2 сечения, если парабола -3, правило знаков – произвольное. Заметим, что если в сечении сходится два участка, то каждое сечение должно иметь свой собственный номер.

Далее по эпюрам Мр и М1 строим матрицы с учетом правила знаков.

2. Теперь переходим к построению матрицы податливости [В] по формулам:

- участок эпюры моментов линейный

- участок эпюры моментов параболический

где l – длина участка. Преобразуем к виду:

Теперь собираем матрицу [В] по схеме:

Выполним действия по формулам:

;

Незаполненные ячейки – нули.

3.Теперь, в принципе, мы подготовили все данные для определения перемещения по формуле:

(1)

которая является матричным аналогом формулы Мора. Для выполнения матричных операций подойдет любой математический пакет, например MathCad.

При выполнении этих операций вручную, целесообразно уменьшить размеры матриц.

Уменьшение размеров матриц

1) Сравниваем матрицы М1 и МР. В них строка с номером 1 одновременно в обоих матрицах состоит из нулевых значений. В таком случае эту строку вычеркиваем из сравниваемых матриц, а из матрицы [В] вычеркиваем не только первую строку, но и первый столбец. В результате имеем:

2)Если продолжить сравнение в грузовой и направляющей эпюрах, то окажется, что в них имеются пары строк, состоящие из одинаковых элементов: 2,3; 5,6; 7,8. Поэтому одну из строк пары (например, 3, 6 и 8) в каждой матрице можно вычеркнуть. Но эти строки нельзя вычеркивать из матрицы [B]! С ней поступают иначе: строки (и столбцы) с соответствующими номерами складывают, а результат размещают в строке с оставляемым номером (в примере – это 2, 5, 7), уменьшая тем самым размер и этой матрицы. Овалами выделены те элементы матрицы [В], которые складываются и размещаются на указанных выше позициях. В результате размеры матриц уменьшились почти на 50%.

3. Перемещение точки К определим раскрыв формулу (1) и выполнив перемножение матриц:

Решение задания 2 (схема2)

рис. 2 а, б

1. Отбросив горизонтальную опору в точке К и приложив горизонтальную силу Х1, получим эквивалентную систему (рис. 2б). Запишем каноническое уравнение метода сил:

(2)

где и - перемещения от единичной силы и заданной нагрузки, определим по формулам:

Из уравнения (2) определим Х1:

2. Окончательная эпюра изгибающих моментов определяется по формуле:

3. Деформационная проверка окончательной эпюры выполняется по формуле:

Точность решения хорошая, расхождение в 4-м знаке.

4. По матрице (Мок), используя правило знаков и контролируемые сечения, восстанавливаем эпюру изгибающих моментов:

Окончательно строим эпюры Q и N по эквивалентной системе (рис.2б).

Заметим, что в конце расчета расчетная схема и все эпюры должны находится на одной странице.