МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет
Факультет прикладной математики и кибернетики
УТВЕРЖДАЮ
Декан ФПМК
"1" марта 2011 г.
Рабочая программа дисциплины
Функциональный анализ
Направление подготовки
010400 Прикладная математика и информатика
Квалификация выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Томск
2011г.
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Функциональный анализ» являются:
–изучение основных методов современного анализа, используемого в теоретических и прикладных исследованиях, создание математической основы для изучения дисциплин: теория вероятностей, дифференциальные уравнения, уравнения математической физики;
–обучить студентов методам решения типовых задач анализа, возникающих в приложениях;
–привить навыки исследовательской работы с помощью логически строгого построения доказательств.
В результате освоения данной дисциплины обеспечивается достижение целей основной образовательной программы «Прикладная математика и информатика»; приобретенные знания, умения и навыки позволяют подготовить выпускника к научно-исследовательской деятельности в области прикладной математики, к производственно-технологической деятельности в области создания современных систем для решения прикладных задач и педагогической деятельности.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата_
Дисциплина «Функциональный анализ» находится в цикле Б.2 Математический и естественнонаучный цикл (Базовая часть).
Для изучения курса необходимы знания по предметам: математический анализ, алгебра и геометрия. Знания, полученные при изучении данного курса, используются при изучении «Уравнений математической физики», «Дифференциальных уравнений», «Теории вероятностей», «Теории случайных процессов», в научно-исследовательской работе в области прикладной математики, при создании современных систем управления и в педагогической деятельности.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Функциональный анализ».
В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать общекультурными компетенциями:
–способностью осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-9).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать профессиональными компетенциями:
–способностью понимать и применять в исследовательской работе и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3);
–способностью формировать суждения о значении и последствиях своей профессиональной деятельности с учетом социальных, профессиональных и этических позиций (ПК-8);
– способностью собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7);
–способностью в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности (ПК-4).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:
–основные результаты современного анализа из теории меры и интеграла, функциональных пространств и операторов, используемых в прикладных исследованиях;
–возможности применения общих математических конструкций для решения прикладных задач;
–основные понятия и факты, используемые в физике, кибернетике, экономике.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:
–решать типовые задачи, способствующие углубленному пониманию основных математических объектов;
–применять общие методы к решению конкретных задач, связанных с дифференциальными и интегральными уравнениями;
–логически выстроить обоснование основных фактов.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен владеть:
–навыками анализа свойств основных математических объектов, широко применяемых в прикладных задачах;
–общим пониманием аппарата современного анализа, методами и подходами, используемыми в теории меры и интеграла и теории операторов в основных функциональных пространствах.
4. Структура и содержание дисциплины «Функциональный анализ»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7,3 зачетных единиц (264 часов).
Содержание курса
III семестр
4.1. Вводная часть.
Тема 1. Основные задачи функционального анализа и их связь с физикой. Роль функционального анализа в прикладных исследованиях.
4.2. Элементы теории множеств.
Тема 2. Множества, операции над множествами. Классы множеств, замкнутые относительно данного набора теоретико-множественных операций. Кольца, полукольца, алгебры, σ-алгебры. Построения минимальных φ-классов: минимальной алгебры (по разбиению, по конечной системе множеств, по произвольному классу), минимального кольца по полукольцу. Леммы о полукольцах.
4.3. Теория меры.
Тема 3. Мера Лебега на числовой прямой и на плоскости. Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо. Построение меры Лебега плоских множеств. Мера Лебега в 
.
Тема 4. Мера абстрактных множеств. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Аддитивность и σ-аддитивность. Способы задания мер на измеримых метрических пространствах.
4.4. Измеримые функции.
Тема 5. Функции, образы и прообразы множеств и классов множеств. Свойства обратных отображений. Измеримые функции, дескриптивные и конструктивные определения. Борелевские функции в метрических пространствах.
4.5. Теория интеграла.
Тема 6. Интеграл Лебега на абстрактном множестве на основе конструкции 
-измеримых функций. Определение, корректность определения, свойства. Индуцированные меры. Теорема о замене переменной в интеграле Лебега.
IV семестр.
Тема 7. Продолжение меры с алгебры на σ-алгебру. Внешняя мера. Теорема Каратеодори. Связь интеграла Римана и Лебега. Произведение измеримых пространств. Теорема Фубини о повторных интегралах. Применение в теории вероятностей.
4.6. Метрические пространства
Тема 8. Множества в метрических пространствах. Полные метрические пространства. Теорема Рисса о полноте 
. Пополнение метрических пространств. Компактные
множества в метрических пространствах. Теорема Хаусдорфа.
Тема 9. Принцип сжимающих отображений и его применение к задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральным уравнениям Фредгольма и Вольтерра, для доказательства эргодической теоремы.
4.7. Линейные пространства.
Тема 10. Линейные нормированные пространства. Теорема об эквивалентности норм. Банаховы пространства.
Тема 11. Гильбертовы пространства. Геометрия гильбертова пространства. Ортогональные базисы в гильбертовом пространстве. Теорема о базисах. Теорема о полноте тригонометрической системы в 
. Теорема о проекциях.
4.8. Линейные функционалы и операторы.
Тема 12. Функционалы и операторы. Норма. Теорема Рисса. Абсолютная непрерывность мер, теорема Радона--Никодима. Пространства операторов. Симметричные операторы в гильбертовых пространствах.
Темы практических занятий.
Тема 1. Неравенства Коши--Буняковского, Юнга, Гельдера, Минковского, 
-неравенство.
Тема 2. Множества, операции над множествами, системы множеств: алгебры, σ-алгебры, полуалгебры, полукольца, топологии. Построения минимальных алгебр по конечным разбиениям множества.
Тема 3. Метрические пространства, множества в метрических пространствах.
Тема 4. Полнота метрических пространств 
, 
, 
. Принцип сжимающих отображений и его применения: задача Коши, интегральные уравнения, эргодическая теорема.
Тема 5. Меры на прямой и на плоскости. Измеримые функции. Сходимость последовательностей измеримых функций по мере и почти всюду.
Тема 6. Компактные множества. Сепарабельность. Плотные множества в 
.
Тема 7. Базисы в гильбертовых пространствах. Функции Хаара. Тригонометрические базисы.
Тема 8. Функционалы и операторы. Нахождение норм для линейных функционалов и операторов.
№ п/п | Раздел Дисциплины | Семестр | Неделя семестра | Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) | Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)
| ||
лекции | практические занятия | самостоятельная работа | Форма промежуточной аттестации (по семестрам) | ||||
1 | Вводная часть. | 3 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
2 | Элементы теории множеств. Множества в метрических пространствах. | 3 | 1–3 | 5 | 12 | 10 | Опрос на занятия, проверка домашних заданий. Контрольная работа. |
3 | Теория меры. | 3 | 4–7 | 8 | 4 | 10 | Опрос на занятия, проверка домашних заданий |
4 | Измеримые функции. | 3 | 8–11 | 8 | 8 | 10 | Опрос на занятия, проверка домашних заданий. Доклады студентов. |
5 | Теория интеграла. | 3 4 | 12–16 1–2 | 10 4 | 8 4 | 10 4 | Опрос на занятия, проверка домашних заданий. Зачет, экзамен. |
6 | Метрические пространства | 4 | 3–5 | 6 | 4 | 6 | Опрос на занятия, проверка домашних заданий. Контрольная работа. |
7 | Линейные пространства. | 4 | 6–10 | 10 | 12 | 12 | Опрос на занятия, проверка домашних заданий. Контрольная работа. |
8 | Линейные функционалы и операторы. | 4 | 11–15 | 10 | 10 | 18 | Опрос на занятия, проверка домашних заданий. Доклады студентов. Контрольная работа. Зачет, экзамен. |
Итого | 62 | 62 | 80 | 60 |
5. Образовательные технологии
В процессе обучения для достижения планируемых результатов освоения дисциплины используются следующие методы образовательных технологий:
– работа в команде;
– опережающая самостоятельная работа;
– междисциплинарное обучение;
– проблемное обучение;
– обучение на основе опыта.
Для изучения дисциплины предусмотрены следующие формы организации учебного процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная работа студентов, индивидуальные и групповые консультации.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Контроль самостоятельной работы студентов и качества освоения дисциплины осуществляется посредством:
– опроса студентов при проведении практических занятий;
– проведения контрольных работ;
– выполнения студентами домашних работ по вариантам;
– проверки выполнения домашних заданий;
– докладов студентов по выбранным темам.
Итоговая аттестация предусматривает предусматривает сдачу зачетов по темам практических занятий и экзаменов по темам лекций. Для итоговой аттестации подготовлены список задач для сдачи зачета (100 задач) и билеты для экзамена (25 билетов по 2 вопроса).
Темы докладов.
1. Обобщенный принцип сжимающих отображений.
2. Применение принципа сжимающих отображений к решению систем линейных уравнений.
3. Применение принципа сжимающих отображений к решению интегральных уравнений.
4. Применение принципа сжимающих отображений к решению задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
5. Вариация функционалов. Задача о брахистохроне.
