Принцип наложения

ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ

Для линейных схем справедлив принцип наложения, который состоит в следующем: ток любой ветви схемы может быть представлен как алгебраическая сумма составляющих, обусловленных действием каждого источника в отдельности. Это утверждение следует из линейности системы алгебраических уравнений, связывающей токи ветвей с величинами источников энергии. В самом деле, запишем систему линейных алгебраических уравнений метода контурных токов в матричном виде:

(5.1)

где: - квадратная матрица контурных сопротивлений, - вектор-столбец контурных токов, - вектор-столбец контурных э. д.с.

Решение системы (5.1) можно представить в виде:

(5.2)

где: - квадратная матрица, обратная к .

Пусть , тогда:

(5.3)

где: , - вектор-столбцы контурных токов, обусловленные вектор-столбцами контурных э. д.с.

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи принципа наложения можно поочередно оставлять в схеме по одной ЭДС, считая все остальные ЭДС источников равными нулю, но сохраняя в схеме их внутренние сопротивления; т. е. отключение идеального источника э. д.с. закорачивание между точками ее соединения (E=0); отключение идеального источника тока - разрыв ветви, в которой он стоит (J=0). Ток ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой ЭДС. Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то следует найти составляющие токов ветвей, вызываемые каждым источником ЭДС и каждым источником тока, после чего определить токи ветвей путем алгебраического суммирования этих составляющих.

Так как принцип наложения следует из общих свойств линейных уравнений, то его можно применять для определения любых физических величин, которые связаны между собой линейной зависимостью. В применении к электрическим цепям можно определять не только токи при заданных сопротивлениях, ЭДС и токах источников, но и напряжения при заданных токах и известных сопротивлениях. Однако этим принципом нельзя пользоваться для вычисления мощностей, так как мощность — квадратичная функция тока или напряжения. Например, мощность в сопротивлении r1 определяется по формуле

r1I12=r1(I1’+I1’’)2

Если мощность того же элемента с сопротивлением r1 можно было бы считать равной сумме мощностей, обусловленных частичными токами I1’ и I1’’, то получилось бы совсем другое значение:

r1I12=r1[(I1’)2+(I1’’)2]

Пример. На рис. 5.2, а показана мостовая схема с источником ЭДС Е=5 В и источником тока J=1 А. Сопротивления элементов указаны на схеме. Пользуясь принципом наложения, определить токи во всех ветвях.

Решение. Для определения токов в ветвях с применением принципа наложения надо рассчитать токи в двух схемах, изображенных на рис. 5.2,6 и в. В схеме рис. 5.2,6 J=0 (точки b и d разомкнуты), а в схеме рис. 5.2,в Е=0 (точки а к с соединены проводником без сопротивления). Токи в ветвях схемы (рис. 5.2,6)

I1’=I4’=Е/(r1+r4); I2’=I3’=Е/(r2+r3).

Токи в ветвях схемы по рис. 5.2,в, где сопротивления r1 и r4, а также r2 и r3 соединены параллельно,

I1’=Jr4/(r1+r4);

Токи в ветвях заданной схемы (рис. 5.2, а) равны алгебраическим суммам токов в соответствующих ветвях схем рис. 5.2,6 и в:

I1=I1’-I1’’=(Е-Jr4)/(r1+r4)=0.4 A.

Аналогично

I2=I2’+I2’’=1.4 A; I3=I3’-I3’’=-0.4 A; I4=I4’+I4’’=1.4 A.

Рис. 5.2

СВОЙСТВО ВЗАИМНОСТИ

Пользуясь метолом контурных токов, установим еще одно важное свойство линейных электрических цепей — свойство взаимности, или, как его еще называют, принцип взаимности.

Сущность этого свойства заключается в следующем. Пусть в схеме произвольной конфигурации единственный источник ЭДС Еq действует в ветви с сопротивлением rq в направлении от точки b к точке a (рис. 5.3, а) и создает в ветви с сопротивлением rl ток Il направленный от точки d к точке с. Такой же единственный источник ЭДС Еl=Еq, включенный в ветвь с сопротивлением rl и действующий в направлении от d к с (рис. 5.3,б), создаст в ветви с сопротивлением rq ток Iq, направленный от b к a и равный току Il.

На рис. 5.3 изображены ветви ab и cd с сопротивлениями rq и rl, а остальная часть схемы, не содержащая источников энергии, условно показана в виде прямоугольника с буквой П (пассивная).

Для доказательства свойства взаимности запишем систему линейных алгебраических уравнений метода контурных токов:

(5.4)

Здесь ветвь cd является частью контура l, а ветвь ab входит в состав другого контура q (рис. 5.3, а), и, как указано, других источников, кроме источника ЭДС Еq, эта цепь не содержит. Контуры выбраны так, чтобы ветви ab и cd вошли каждая в один контур, соответственно q и l.

Ток в контуре l, равный току ветви dc,

, (5.5)

где: D(K) - определитель системы уравнений (5.4), Dlq - его алгебраическое дополнение, которое получается вычеркиванием из D(K) l-го столбца и q-й строки и умножением полученного определителя на (-1)l+q.

Если источник ЭДС Еq переставить в ветвь cd контура l (рис. 5.3, б) то в правой части системы (5.4) в q-й строке будет 0, а в l-й строке будет Еq. Тогда ток Iq в контуре q, т. е. ток в ветви ab,

, (5.6)

В отличии от Dlq, алгебраическое дополнение вида Dql получается из определителя D(K) вычеркиванием столбца q и строки l и умножением получаемого определителя на (-1)l+q. Так как в контурных уравнениях общие сопротивления rlq, и rql равны друг другу, то и Dlq=Dql (отличаются только тем, что строки Dlq являются столбцами Dql, и наоборот). Следовательно, при равенстве ЭДС Еl=Еq токи в ветвях cd (рис. 5.3,а) и ab (рис. 5.3,б) равны друг другу.

Отметим, что свойство взаимности справедливо не только для токов, но и для напряжений, и его можно также обосновать, пользуясь законами Кирхгофа или методом узловых потенциалов.

ПРИНЦИП КОМПЕНСАЦИИ. ЗАВИСИМЫЕ ИСТОЧНИКИ

В уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, напряжение на любом сопротивлении Ui=riIi можно всегда из левой стороны перенести в правую со знаком минус и рассматривать как эквивалентную ЭДС Еi=Ui, направленную противоположно току в ветви i. Это положение носит название принципа компенсации. Его иллюстрируют рис. 5.4, а и б, на которых прямоугольником с буквой А (активный) обозначены все участки цепи, кроме элемента с сопротивлением ri. Очевидно, что обе схемы эквивалентны, если Еi=riIi, при этом следует иметь в виду, что эквивалентная ЭДС Еi прямо пропорциональна току Ii в ветви (закон Ома), т. е. зависит от тока. Таким образом, источник ЭДС, которым можно заменить любой резистивный элемент цепи, соответствует простейшему идеальному зависимому источнику, ЭДС которого зависит от тока по известному закону. Понятие о зависимом источнике широко применяется при анализе как линейных, так и нелинейных цепей. Сопротивление ri может быть и входным сопротивлением любого пассивного двухполюсника (см. ниже).

Любую ветвь с известным током Ii можно заменить источником тока Ji=Ii, при этом режим цепи не изменится.

ДВУХПОЛЮСНИКИ

При исследовании процессов в сложных электрических цепях часто интересуются током, напряжением и мощностью только одной ветви. Однако отдельные ветви могут быть выделены из сложной цепи не только для исследования процессов именно в этих ветвях, но и для установления связи, например, между одной частью цепи с источниками электрической энергии и другой с приемниками. Во всех этих случаях выделяют ветвь, присоединенную к сложной цепи в двух точках (двумя выводами). Часть электрической цепи произвольной конфигурации с двумя выделенными выводами или полюсами называется двухполюсником.

Двухполюсники, содержащие источники электрической энергии, называются активными, а двухполюсники, не содержащие источников электрической энергии, —пассивными. Всякий пассивный двухполюсник является потребителем электрической энергии и характеризуется одной величиной — сопротивлением rВХ. Поэтому на эквивалентной схеме пассивный двухполюсник может быть представлен одним резистивным элементом с сопротивлением rВХ, называемым входным сопротивлением пассивного двухполюсника.

Если известна схема пассивного двухполюсника, то для определения входного сопротивления rВХ нужно тем или иным способом ее «свернуть» относительно двух заданных выводов.

Рассмотрим, например, схему на рис. 5.9, а. Если выделить в этой схеме ветвь с источником ЭДС Е1 к сопротивлением r1 то остальную часть схемы (обведенную штриховой линией) можно рассматривать относительно выводов 1-1' как пассивный двухполюсник (без источников энергии). Часть той же схемы относительно выводов 2-2' ветви с сопротивлением r2 (рис. 5.9, б) можно рассматривать как активный двухполюсник (обведен штриховой линией).

В дальнейшем все активные двухполюсники (рис. 5.10, а) будем обозначать прямоугольниками с буквой А (активный), а пассивные (рис. 5.10, 6) — прямоугольниками с буквой П (пассивный).

Если в электрической цепи выделено более двух выводов, то соответствующий участок цепи называется многополюсником, например с четырьмя или двумя парами выводов - четырехполюсник.

ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Очень важным принципом эквивалентности, широко применяемым при анализе линейных электрических цепей, является принцип эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике, или теорема Гельмгольца — Тевенена). Он формулируется следующим образом: любая линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух выводов (активный двухполюсник), эквивалентна реальному источнику с ЭДС, равной напряжению между этими выводами при размыкании внешнего участка цепи, подключенного к этим выводам (режим холостого хода), и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника, получающегося при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока рассматриваемого двухполюсника. Применимость этого принципа к любой линейной электрической цепи доказывается на основании принципов компенсации и наложения.

Пусть в электрической цепи выделен активный двухполюсник и ветвь с сопротивлением r (рис. 5.14, а), которое может быть и изменяющимся. Применив принцип компенсации, получим эквивалентную схему (рис. 5.14,6), для которой

Е=U=rI. (5.19)

Теперь применим принцип наложения и составим две схемы с двумя частными режимами: в первой из них (рис. 5.14, в) действуют только источники внутри активного двухполюсника, а ЭДС, полученная по принципу компенсации, полагается равной нулю, а во второй (рис. 5.14, г) действует только ЭДС компенсации (5.19), а двухполюсник считается пассивным. Его входное сопротивление rВХ.

Ток в ветви с сопротивлением r по принципу наложения равен сумме частичных токов I=I'+I"=IК-U/rВХ, т. е. U=rВХ(IК-I), I=IK-rI/rВХ, I(rВХ+r)/rВХ=IK.

В частности, в режиме холостого хода I=0 и U=UХ=rВХIК. Следовательно,

U=UХ-rВХI=rI. (5.20)

Последнее уравнение соответствует эквивалентной схеме, показанной на рис. 5.14, д с ЭДС ЕЭК=UХ, выражающей сформулированный выше принцип. Согласно (5.20) ток

I=ЕЭК/(rВХ+r)=UХ/(rВХ+r). (5.21)

Если источник ЭДС преобразовать в источник тока, то схема эквивалентного генератора получится такой, как на рис. 5.14, е. Вольт-амперная или внешняя характеристика эквивалентного генератора по рис. 5.14, д или е показана на рис. 5.14, ж.

Следует заметить, что обе схемы эквивалентного генератора применимы только для расчета токов и напряжений в участке цепи, подключенном к рассматриваемому активному двухполюснику. Для мощностей, развиваемых источниками, и мощностей потерь внутри активного двухполюсника схемы замещения, полученные на основании принципа эквивалентного генератора, неадекватны.

Применение принципа эквивалентного генератора позволяет упростить решение многих задач, и поэтому его применение иногда относят к методам расчета, хотя он и носит более общий характер.

Применение принципа эквивалентного генератора весьма удобно при рассмотрении пассивного четырехполюсника, к одной паре выводов которого подключен источник ЭДС Е1, а к другой паре выводов — приемник с сопротивлением r (рис. 5.15, а). Такую схему со стороны выводов 1-1¢ можно рассматривать как пассивный двухполюсник с сопротивлением r1ВХ (рис. 5.15,6), а со стороны выводов 2-2' - как активный двухполюсник с входным сопротивлением r2ВХ и э. д.с. ЕЭК (рис. 5.15, в).

Если, например, пассивный четырехполюсник имеет схему, показанную на рис. 5.15, г, то параметры эквивалентной схемы

r1ВХ=r1+r3(r+r2)/(r3+r2+r); r2ВХ=r2+r1r3/(r1+r3); ЕЭК=Е1r3/(r1+r3)

Представление четырехполюсника в виде эквивалентной схемы, изображенной на рис. 5.15, в, применяется при рассмотрении электронных схем. Для приемника с сопротивлениями r схемы рис. 5.15, а и в полностью эквивалентны. Однако если рассчитать мощность пассивного четырехполюсника (в сопротивлениях r1 r2 и r3) и мощность потерь в эквивалентной схеме (сопротивление r2ВХ), то эти мощности могут оказаться равными только в редких частных случаях.

Интересно сопоставить принцип эквивалентного генератора с принципом компенсации. И тот и другой дают возможность представить двухполюсник в виде эквивалентного источника, однако принцип компенсации приводит к идеальному источнику ЭДС (без внутреннего сопротивления), а принцип эквивалентного генератора — к реальному источнику (с внутренним сопротивлением rВХ). ЭДС источника, полученного на основании принципа компенсации, зависит от тока, а параметры источника, полученного на основании принципа эквивалентного генератора, не зависят от режима работы подключенного к активному двухполюснику участка цепи. Принцип компенсации применим как к линейным, так и к нелинейным цепям. Принцип эквивалентного генератора применим только к линейным цепям.

Пример. По принципу эквивалентного генератора найти выражение для тока I0 в ветви с измерительным прибором (рис. 5.16, д), если ток источника тока J=10 мА, сопротивление r=100 Ом, сопротивление измерительного прибора. r0=50 Ом, а сопротивления r1 двух противоположных плеч моста изменяются одновременно от нуля до 2r; построить график изменения тока I0 в зависимости от сопротивления r1.

Решение. Разомкнем ветвь с измерительным прибором (рис. 5.16,б), отключив прибор, и найдем токи I1Х=I2Х=J/2.

Напряжение UХ (рис. 5.16,6) определим из уравнения r1J/2+UХ-rJ/2=0, откуда UХ=(r‑r1)J/2.

Входное сопротивление двухполюсника относительно выводов ветви с измерительным прибором (рис. 5.16, в) rВХ=(r‑r1)/2.

По принципу эквивалентного генератора (5.21)

I0=UХ/(rВХ+r0)=J(r‑r1)/(2r0+r+r1)

Подставляя численные значения, получим:

I0=10(100-r1)/(100+100+r1)

На рис. 5.16, г показан график изменения тока I0 в зависимости от сопротивления r1. Из рисунка видно, что зависимость тока от сопротивления нелинейная (в отличие от линейных соотношений между ЭДС, напряжениями и токами при изменении сопротивления) и что при изменении сопротивления r1 изменяется не только значение тока I0, но и его направление.

ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ОТ АКТИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА К ПАССИВНОМУ

Для исследования передачи энергии от активного двухполюсника к пассивному вернемся к эквивалентной схеме, показанной на рис. 5.14, д, и будем считать, что rВХ — входное сопротивление активного двухполюсника (источника энергии) и ЕЭК=UХ — эквивалентная ЭДС остаются постоянными, а r — входное сопротивление пассивного двухполюсника может принимать любое значение.

Прежде всего установим соотношение между сопротивлениями rВХ и r, при выполнении которого мощность пассивного двухполюсника максимальна.

Мощность пассивного двухполюсника определяется выражениями

Р=ЕЭКI-rВХI2=UХI-rВХI2 (5.22)

Р=rI2, (5.23)

где ЕЭКI=UХI — мощность, развиваемая эквивалентным активным двухполюсником; rВХI2 — мощность потерь в этом двухполюснике (в сопротивлении rВХ).

Для определения тока I, при котором мощность Р максимальна, найдем производную от Р по I из уравнения (5.22) и приравняем ее нулю:

dР/dI=UХ-2rВХI=0,

откуда искомый ток I=UХ/(2rВХ) [уравнением (5.23) пользоваться нельзя, так как его правая часть содержит две переменные: r и I].

В общем случае (рис. 5.14, д) ток I=UХ/(rВХ+r). Значит, мощность максимальна при

r=rВХ, (2.24)

т. е. при равенстве входных сопротивлений пассивного и активного двухполюсников.

По (5.23) при r=rВХ мощность

PМАКС=UХ2/(4rВХ).

Отношение мощности Р пассивного двухполюсника к мощности РА=UХI, развиваемой эквивалентным активным двухполюсником, называется КПД эквивалентного активного двухполюсника:

. (5.25)

Из (5.25) следует, что при максимальной мощности пассивного двухполюсника КПД равен 0,5. Более высокие значения КПД будут при r>rВХ.

КПД реального активного двухполюсника равен КПД эквивалентного только при выполнении определенного условия. Если при отключении пассивного двухполюсника от реального активного в ветвях последнего не будет токов и потерь, так же как и в эквивалентной схеме на рис. 5.14, д, то КПД реального и эквивалентного активных двухполюсников равны. При невыполнении этого условия КПД реального активного двухполюсника меньше КПД эквивалентного двухполюсника.

Полученные результаты применим, например, для характеристики режима линии передачи электрической энергии небольшой длины, у которой утечкой тока (между проводами) можно пренебречь.

Если в начале линии передачи напряжение U1 поддерживается неизменным (рис. 5.17, а), то линию можно представить в виде последовательного соединения активного двухполюсника с источником ЭДС ЕЭК=UХ=U1 (без внутреннего сопротивления), резистивного элемента, учитывающего сопротивление проводов rЛ, и пассивного двухполюсника — приемника с сопротивлением r (рис. 5.17, а). По (5.22) и (5.25) найдем мощность Р2 приемника и КПД линии передачи:

(2.26)

Мощность, развиваемая источником,

P1=U1I;

напряжение на выводах приемника

U2=U1-rЛI.

По полученным уравнениям на рис. 5.17,6 построены зависимости U2, P1 Р2 и h от тока I, полностью характеризующие режим линии.

При r=¥ (холостой ход линии) ток I=0 (на рис. 5.17, б — точка в начале координат), при r=rЛ ток определяется отрезком 0а и при r=0 (короткое замыкание линии) значение тока максимально и равно IК. Кроме того, при r=rЛ мощность Р1 определяемая отрезком ас, равна удвоенной мощности приемника (ас=2аb=2bc), и КПД h=0,5.

Рис. 5.17

По эквивалентной схеме (рис. 5.17, а) установим еще связь между потерями в проводах линии (в сопротивлении rЛ) и мощностью приемника Р2:

, (2.27)

где l — длина линии; S — сечение каждого провода.

Из (2.27), в частности, следует, что при Р2 =const с повышением напряжения U2 требуется меньшее значение тока I и, следовательно, уменьшаются потери в проводах, что в свою очередь позволяет уменьшить сечение проводов. Конечно, при этом надо усилить изоляцию проводов линии.

В случае передачи по линии электрической энергии при большой мощности стремятся получить возможно больший КПД, для чего необходимо, как непосредственно следует из (5.26), иметь rЛ<<r. При передаче сигналов по линии связи стремятся получить максимальную мощность в приемнике, что приводит к низкому значению КПД.