Оглавление

Оглавление

1. Паспорт проекта.

2. Ведение.

3. Основная часть:

·  Умножение на домино;

·  Домино и дроби;

·  Шахматы и домино;

·  Пирамиды из домино;

·  Кросс – суммы из домино;

·  Подумай, как это сделать;

·  Числовые выражения и домино;

·  Фокусы с домино;

·  Для любителей поломать голову.

4. Заключение.

5. Используемая литература.

6. Приложения.

Паспорт исследовательского проекта

1. Название проекта: «Математика и домино».

2. Руководитель проекта: .

3. Возраст учащихся, на который рассчитан проект: 14 – 15 лет.

4. Состав проектной группы: Батаева Анна,

Демендеева Анастасия,

Турганова Виктория.

5.Тип проекта: исследовательский.

Этапы работы над проектом.

1 этап – Погружение в проект.

Октябрь. Мотивация, постановка проблемы, выбор темы проекта, определение цели, выдвижение задач.

2 этап. – Планирование.

Ноябрь. Определение источников информации, способов ее сбора и анализа.

Выбор способа представления конечного результата (форма отчета).

3 этап. – Поиск информации.

Декабрь. Поиск, отбор и изучение необходимой информации в научной литературе и сети Интернет.

Проведение исследования.

4 этап. – Обобщение результатов и выводов.

Январь. Анализ и синтез полученных результатов с позиции выдвигаемой гипотезы, формулирование выводов.

5 этап. – Презентация.

Февраль. Выбор форм презентации.

Подготовка презентации.

Презентация.

ВВЕДЕНИЕ.

На одном из заседаний математического кружка надо было решить задачу, которая была предложена на районной олимпиаде по математике в 2001 году восьмиклассникам.

Можно ли выложить в цепь, следуя правилам игры, все 28 костяшек домино так, чтобы на одном конце была пятерка, а на другом шестерка?

Сразу ответить на вопрос мы не смогли, поэтому, решать задачу стали экспериментально: выкладывали цепи из домино и каждый раз получался один и тот же результат: цепь из 28 костей, выложенная по правилам игры, кончается тем же числом, каким она и начинается.

Кроме этого, сделали еще один вывод, набор костей домино можно выложить с соблюдением правил игры не только в цепь со свободными концами, но и также в замкнутое кольцо. Значит, выложить цепь с разными концами нельзя.

Но на олимпиаде костяшек домино нет, следовательно, эта задача должна быть объяснена математикой. Мы выдвинули следующую гипотезу: раз задача математическая, значит домино обладает математическими особенностями.

Поэтому надо было изучить домино, выявить, какими особенностями оно обладает, узнать историю появления домино. (приложение № 1).

ОСОБЕННОСТИ ДОМИНО.

Изучив набор домино, выделили следующие его особенности:

1. Каждое число очков повторяется 8 раз.(четное число раз) 5 – 0, 5 – 1, 5 – 2, 5 – 3, 5 – 4, 5 – 5, 5 – 6.

2. 28 костей домино можно выложить с соблюдением правил в одну непрерывную цепь.

3. Цепь из 28 костей кончается тем же числом очков, каким она и начинается.

4. Полный набор домино может быть выложен с соблюдением правил в замкнутое кольцо.

5. Сумма всех очков домино равна 168.

Решение олимпиадной задачи объясняется первой особенностью: каждое число очков повторяется четное число раз.

Если бы цепь начиналась одним числом (5), а заканчивалась другим числом (6), то тогда число очков, оказавшихся на концах цепи, повторялось бы нечетное число раз. Следовательно, сделанное нами допущение неправильное: число очков на концах должно быть одинаковым.

Так как задачи на домино предлагают на олимпиадах, мы решили еще найти доминошные задачи. Работая в Интернете в поисках нужного материала, мы нашли литературу, где можно найти интересующий нас вопрос. Так, в книге «Живая математика» имеется глава "Математика в играх", которая открывается серией головоломок с домино. Работая с научно-популярной литературой, журналами, газетами, мы собрали классную коллекцию доминошных головоломок, задач, фокусов. Классную потому, что она собрана нашим классом, но и, конечно же, классную в том смысле, что она содержит головоломки разных видов. Оказалась, что при помощи домино можно строить математические квадраты, умножать натуральные числа, складывать обыкновенные дроби, выкладывать пирамиды и арифметические прогрессии, показывать фокусы и записывать математические действия.

У мы прочли, что «фокусы, подвижные игры (крокет), настольные игры (домино) и другие развлечения поддерживают у учащихся интерес к наукам."

Возникла проблема: сможем ли мы систематизировать собранный материал, чтобы на уроках математики показать возможности домино в целях повышения интереса к предмету?

Сама по себе возникла идея решения данной проблемы: исследовать собранный материал и распределить его по темам школьного курса математики.

Так и появился проект «МАТЕМАТИКА И ДОМИНО»

Отсюда и цель нашей работы:

Цель:

·  показать, что многие головоломки, фокусы, задачи можно объяснить математически;

·  доказать, что домино – уникальный счетный материал, поэтому, его можно применять на уроках математики в тех или иных разделах.

Собранный материал классифицировали по темам. Предметом изучения стали отобранные для исследования доминошные головоломки, задачи, фокусы.

Задачи:

·  изучить и исследовать доминошные головоломки, задачи.

·  выявить темы математики, где можно применять собранный материал;

·  показать и предложить возможность использования доминошных головоломок:

Ø  «Умножение на домино»;

Ø  «Домино и дроби»;

Ø  «Пирамиды из домино»;

Ø  «Квадраты из домино. Рамки»;

Ø  «Шахматы и домино»;

Ø  «Фокусы с домино»;

Ø  «Арифметическая прогрессия и домино».

при изучении отдельных глав математики.

·  Составить сборник задач «Математика и домино.»

Этапы работы:

I. Подготовительный.

·  постановка проблемы;

·  развитие гипотез – путей решения проблемы;

·  планирование деятельности по реализации проекта.

II. Основной.

·  подбор литературы по выбранной теме;

·  создание коллекции головоломок, фокусов, задач с домино;

·  классифицирование материала по темам. Подбор заданий для исследования.

·  выполнение экспериментов, конкурсов, оформление результатов в виде рисунков, фотографий.

III. Заключительный.

·  формулирование результатов исследования;

·  вывод.

Методы исследования:

·  анализ специальной литературы по теме проекта;

·  наблюдение, сравнительный анализ;

·  игра, эксперимент, доказательство;

Конечный продукт.

Выпуск сборника «Математика и домино».

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. УМНОЖЕНИЕ НА ДОМИНО

При помощи домино легко изображать некоторые случаи умножения многозначных чисел на однозначное.

Например:

Мы выяснили, что при умножении четырёхзначных чисел на однозначное получилось 4 примера и было использовано 20 костей домино.

При умножении трёх, – четырёх, – пяти, – шестизначных чисел на однозначное число было использовано 25 костей и получили такие примеры:

Можно ли использовать все 28 костей домино для составление примеров на умножение? Мы заметили, что при умножении трехзначного числа на однозначное используются 4 костяшки. Значит, можно составить семь умножений трехзначного числа на однозначное. Составить семь примеров на умножение оказалось непростой задачей. В классе объявили конкурс «Семь умножений», в результате которого решили поставленную задачу. Получили следующее решение:

 

ПОБЕДИТЕЛИ КОНКУРСА

Толя

Умножать на домино можно и два многозначных числа. Например: 504 ´ 463. Составлять такие примеры сложно. Мы проверили, что переместительный закон умножения здесь не всегда выполняется. 504 ´ 463

Вывод: Эти доминошные головоломки можно применять при прохождении темы «Умножение и деление натуральных чисел».

2. ДОМИНО И ДРОБИ

Каждую косточку домино (кроме 0:0) можно рассматривать как дробь, либо правильную либо неправильную. При помощи домино можно выкладывать примеры на сложение и вычитание обыкновенных дробей.

 

Для исследования взята следующая головоломка.

Возьмите комплект домино и отложите в сторону 0:0. Рассматривая оставшиеся косточки, как дроби (правильные или неправильные), расположите их в отмеченных на рисунках местах так, чтобы сумма дробей в каждой строке равнялась числу косточек данной строки.

Ответ:

Из приведенного решения можно получить другие варианты ответов, меняя косточки с одинаковым числом очков в рядах.

Интересным исследованием стала следующая задача. Разбить косточки на четыре группы так, чтобы суммы дробей в каждой группе была соответственно равна какому-то числу. Например: в каждой группе суммы дробей соответственно равны 1,9,9,7.

Вывод: Эти головоломки можно использовать, изучая тему «Сложение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями».

3. ШАХМАТЫ И ДОМИНО

Следующая задача тоже взята из сборника олимпиадных задач.

Имеется шахматная доска и 32 косточки домино, каждая величиной в две клетки доски. Поставим на какую-нибудь клетку доски пешку. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть костями домино так, чтобы ни одна кость не вылезла за пределы доски, и кости не налегали друг на друга?

Решение. Эксперимент показал, что это

невозможно. К такому же выводу привели и

рассуждения: если бы это можно сделать, то покрытым оказалось бы четное число клеток: ведь каждая кость домино покрывает две клетки, но свободная часть состоит из 63 клеток.

Работа над этой задачей привела нас к следующим исследованиям. А если мы поставим на доску две пешки? Можно ли оставшуюся часть доски покрыть костями домино, чтобы выполнялись требования предыдущей задачи?

Экспериментальная проверка показала, что это зависит от того, на какого цвета клетки будем ставить пешки.

Если поставим пешки на любые поля одного цвета, то оставшаяся часть доски не может быть покрыта костями домино.

Как бы мы не расставляли две пешки на полях разного цвета, оставшуюся часть доски всегда можно покрыть домино.

Ответы. Каждая положенная на доску кость домино покрывает одно черное и одно белое поле. Поэтому, если какая то часть доски покрыта костями домино, то она состоит из одинакового числа черных и белых полей.

В первом случае в оставшейся части доски будет разное число белых и черных клеток. Значит, ее нельзя покрыть костями домино.

Во втором случае число белых и черных клеток в оставшейся части доски будет одинаковым. Значит, оставшуюся часть доски всегда можно покрыть костями домино.

В книге «Математические соревнования. Арифметика и алгебра» , встретили следующую задачу.

Домино состоит из двух квадратов. Назовем «тримино» фигуру, составленную из трех квадратиков. Шахматная доска из 8´8 полей покрыто двадцать одним тримино, так, что каждое тримино покрывает три поля. Одно поле остается свободным. Какое это может быть поле?

Решение задачи подсказало экспериментальное исследование.

Занумеруем клетки шахматной доски числами 1,2,3 как показано на рисунке 1.

а) б)

рис.1

Заметим, что каждое тримино обязательно покрывает поля, занумерованные разными числами. При обоих способах нумерации на доске записано 22 единицы, 21 двойка и 21 тройка. Поэтому свободным может остаться лишь поле, на котором в обоих случаях стоит единица. Но таких полей четыре. Они заштрихованы на рисунке 2.

Способ укладки тримино, при котором остается свободной верхняя левая из заштрихованных клеток, показан на рисунке 3.

Расположение, при котором остаются свободными другие из заштрихованных клеток, можно получить, поворачивая это расположение на углы 90º,180º и 270º.

рис.3 рис.4

Вывод: данные головоломки взяты из сборников олимпиадных задач, поэтому их можно предлагать на школьных и районных олимпиадах.

4. ПИРАМИДЫ ИЗ ДОМИНО

1. Можно ли из всех 28 косточек домино устроить такую пирамиду, что сумма очков по всем вертикальным или горизонтальным рядам будет всегда равна числу 3, умноженному на число полукосточек, стоящих в этом ряду?

Докажем, что такую пирамиду можно построить. Найдём количество слоёв в пирамиде и число очков в каждом слое.

Горизонтальные слои пирамиды. Верхний слой – косточка 3:3, т. к. 3 ∙ 2 = 6 – сумма очков на верхнем слое.

Второй сверху слой содержит две косточки, 3 ∙ 4 = 12 очков.

Третий сверху слой содержит три косточки, 3 ∙ 6 = 18 очков.

Четвёртый сверху слой содержит четыре косточки, 3 ∙ 8 = 24 очка.

Пятый сверху слой содержит пять косточек, 3 ∙ 10 = 30 очков.

Шестой сверху слой содержит шесть косточек, 3 ∙ 12 = 36 очков.

Седьмой сверху слой содержит семь косточек, 3 ∙ 14 = 42 очков.

Всего костей 28. Подсчитаем сумму очков на всех косточках.6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 – образуют арифметическую прогрессию (сумма очков, содержащихся на всех косточках домино).

Вертикальные столбцы.

1 и 14-й столбцы – 3 очка.

2 и 13-й столбцы – 3 ∙ 2 = 6 очков.

3 и 12-й столбцы – 3 ∙ 3 = 9 очков.

4 и 11-й столбцы – 3 ∙ 4 = 12 очков.

5 и 10-й столбцы – 3 ∙ 5 = 15 очков.

6 и 9-й столбцы – 3 ∙ 6 = 18 очков.

7 и 8-й столбцы – 3 ∙ 7 = 21 очков.

Сумма всех очков 168.

ВЫВОД: пирамиду выложить можно.

Сложнее выложить такую пирамиду.

Исследуя выложенные пирамиды, заметили, что ось симметрии разрезает 4 косточки, сумма которых составляет 6. Кроме того, две какие-нибудь косточки соответственно симметричные относительно этой оси дают в сумме 12. Поэтому, можно поменять две из четырех косточек, лежащих на оси или две пары симметричные, но отличные от тех, что составляют наклонные стороны пирамиды, можно получить из этой пирамиды другие, соответствующие условию задачи.

2. Расположите комплект домино в виде пирамиды, соблюдая следующие условия:

1) В каждой строке сумма очков на косточках должна быть точным квадратом;

2) В строках косточки укладываются согласно правилам игры в домино.

Решение Сумма всех очков равна 168. Выясним, какие 7 чисел, представляющих точные квадраты в сумме дадут 168. Такими числами являются 0, 4, 16, 25, 25, 49, 49. Получили такую пирамиду.

Вывод: Первая задача украсит тему «Арифметическая прогрессия».

Вторая головоломка применима к теме «Квадраты чисел».

5. КРОСС – СУММЫ ИЗ КОСТОЧЕК ДОМИНО

Для пересекающихся рядов чисел с одинаковыми суммами отечественный математик и популяризатор науки ввел определение кросс – суммы по аналогии с кроссвордами. Кросс – суммы это пересекающиеся ряды чисел с одинаковыми суммами. Кросс – суммы можно составлять и из косточек домино.

1. Четыре косточки домино можно выбрать так, чтобы из них составился квадрат с равной суммой очков на каждой стороне и с пустой клеткой внутри. Такой квадрат правильнее назвать рамкой, ведь он имеет пустоту внутри. Есть много задач для домино, на составление таких рамок, с равными суммами по четырем сторонам. Имеются четыре косточки домино. Сложите их по периметру квадрата так, чтобы суммы очков вдоль каждой стороны были одинаковыми и равна 11.

Из костяшек домино 6:6, 4:6, 5:6, 5:5 можно составить квадрат с суммой очков на каждой стороне 16.

Выкладывая квадраты мы заметили, что сумма очков всех сторон квадрата отличается от суммы очков данных костяшек домино на число очков в четырех углах квадрата.

11 · 4 – 28 = 16 – сумма очков в четырех углах в первом квадрате. 4 · 16 – 43 = 21– сумма очков в четырех углах в втором квадрате.

Поэтому при составлении квадратов нужно пользоваться следующим правилом: сумма очков в четырех углах находится по формуле 4a – b где, а – сумма очков вдоль каждой стороны, b – сумма очков на выбранных четырех костях.

Для того, чтобы выяснить можно ли из полного набора домино составить семь квадратов (каждый из 4 костяшек) так, чтобы сумма очков на каждой стороне квадрата была одинаковой в классе провели конкурс «Семь квадратов».

Победителями конкурса стали Сысолятина Настя и Турганова Вика.

Их решения:

Проверим, верно ли правило подсчета числа очков в четырех углах квадрата, если его составлять из восьми косточек. Решим следующую задачу: Из восьми костяшек домино составить такой квадрат, чтобы число очков вдоль каждой стороны квадрата в сумме давала 13.

Сумма очков на данных восьми косточках равна 42. Требуемая сумма по сторонам – 13. 4 · 13 – 42 = 10 – сумма очков в угловых клетках. Решение дано на рисунке.

Правило подсчета числа очков в четырех углах квадрата можно использовать для построения рамок с любым количеством костяшек. Примером могут быть следующие головоломки на построение рамок.

Квадратная рамка выложена из костей домино с соблюдением правил игры. Стороны рамки равны по длине, но неодинаковы по сумме очков: верхний и левый ряды заключают по 44 очка, остальные же два ряда – 59 и 32 очка. Выложите такую квадратную рамку, все стороны которой содержали бы одинаковую сумму очков – 44.

Ответ:

Решение. 44 · 4 – 168 = 8 – сумма очков в четырех углах рамки. Это несколько облегчает поиски требуемого расположения, хотя нахождение его непростое.

Из полного комплекта домино уберите дубль 3, дубль 4, дубль 5 и дубль 6, они не потребуются. Теперь сложите из оставшихся 24 костяшек 3 квадратные рамки так, чтобы суммы очков по каждой стороне равнялось не 15, как на этом рисунке, а 12. Доминошный принцип прикладывания костяшек соблюдать не требуется.

Решение

Сумма всех оставшихся очков равна 168 – 36 = 132. Разделим сначала все костяшки на 3 кучки по 44 очка

в каждой. Если мы хотим, чтобы сумма очков по каждой стороне равнялась 12, необходимо добиться, чтобы сумма очков равнялась 4, потому что 12 · 4 – 44 = 4. Остальное решение получается методом проб и ошибок. Причем можно перекладывать отдельные кости из одной кучки в другую, если на них равное число очков.

Ответ:

 

Вывод: Головоломки этого раздела можно применять в теме «Квадрат».

Эта тема оказалась настолько интересной, что мы провели конкурс рисунков «Квадраты и домино» среди учащихся 5, 8 классов. Вот некоторые работы учащихся:

Эти весёлые строители «забивают козла» прямо на работе. Помогите им уложить костяшки домино в замкнутую цепочку так, чтобы на каждой стороне получившегося квадрата было в сумме 14 точек.

Артистам цирка надо сложить квадрат из разбросанных восьми косточек домино так, чтобы сумма очков вдоль каждой стороны была равна 14. Вот их решение.

6. ПОДУМАЙ, КАК ЭТО СДЕЛАТЬ?

Задача 1. Допустим, что играют в домино четверо. Каждый играет "за себя" т. е. на каждого игрока ведётся отдельный счёт выигранных очков. Перед началом игры у каждого игрока 7 косточек. Могут ли получиться такие интересные расположения косточек, при которых первый игрок обязательно выигрывает, в то время как второй и третий не смогут положить ни одной косточки.

Мы предположили, что это может получиться, если у двух игроков окажутся, например, все нули и все единицы. Первый игрок возьмёт четыре первых нуля и три последних единицы, т. е. такие косточки: 0:0, 0:1, 0:2, 0:3, 1:4, 1:5, 1:6.

Четвертый игрок пусть возьмёт остальные единицы и ну­ли, т. е. косточки: 1:1, 1:2, 1:3, 0:4, 0:5, 0:6 и еще какую-нибудь косточку.

Остальные косточки домино поделены между вторым и третьим игроками.

Разбор игры

Первый игрок начинает игру и ставит 0:0. У второго и третьего нет подходящей кос­точки. Тогда четвертый игрок может положить любую из косточек 0:4, 0:5 или 0:6. Но первый приложит в ответ 4:1, 5:1 или 6:1. Второй и третий опять не смогут ничего поло­жить, а четвертый поставит 1:1,1:2 или 1:3, на что первый может ответить 1:0, 2:0, 3:0 и т. д. Таким образом, он положит все свои косточки, в то время как у второго и третье­го игроков останутся все их косточки, а у четвертого — од­на. Сколько же выигрывает первый? Сумма очков в положенных 13 косточках равна, как легко видеть, 48, а число очков всей игры есть 168. Значит, первый игрок выигрывает 168 – 48 = 120 очков в одну игру. Это наиболь­шее возможное число.

 

Подобно партии на фотографии можно составить еще 21 партию, т. е. число сочетаний из семи элементов по два.

Если в предыдущей партии нули и единицы заменить соответ­ственно косточками с иным количеством очков: 2, 3, 4, 5 или 6, то получим новые партии. Ясно, что вероятность получить такой расклад случайно весьма мала. Кроме того, все остальные партии, за исклю­чением приведенной выше, дадут меньшее, чем 120 число выигранных очков.

 

Задача 2. При игре в домино стандартным набором (28 костяшек) по обычным правилам (цепочка в две стороны) возникла ситуация, при которой сходить нельзя. («РЫБА»). Какое наименьшее количество костяшек может быть в цепочке?

Эта задача взята из газеты «Математика». Рассуждения, подобные первой задаче, привели к ответу 10 костяшек.

Задача 3.

.

Нарисуйте четыре пустые костяшки домино, на которых нужно составить 19 точек так, чтобы:

1. число точек на всех верхних половинках совпадало бы с числом на нижних;

2. на первой костяшке точек было бы вдвое больше, чем на последней;

3. на одной из костяшек имелась бы лишь одна точка (1 – 0 или 0 – 1), а на другой – равное количество в верхней и нижней частях;

4. наконец, у трёх костяшек должно быть одинаковое количество точек на верхних половинках, а у двух – на нижних.

Наше решение. Из условия 3 и 1 следует, что число точек на верхних и нижних частях равно 9 (19 – 1) : 2.

Из условия 4 следует, что на четвертой костяшке в верхней половине число очков рано шести. (9 – 3).

Из условия 4 следует, что у двух костяшек на нижней половине число очков равно четырем. (9 – 1 – 0) : 2. Получаем следующее решение.

ОТВЕТ:

Вывод: Эти головоломки можно использовать во внеклассной работе при проведении олимпиад, конкурсов и т. д.

7. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ДОМИНО

Мы показали применение домино при умножении натуральных чисел, сложении дробей, чисел. А как можно применить домино при решении уравнений и вычислении числовых выражений? Для этого мы предлагаем нетрадиционные задания, где применяем рисунок домино.

Проанализируйте первые два примера. Если вы определите, как связаны между собой два числа (или два выражения) и рисунок в двух первых заданиях, то вам ничего не стоит найти недостающие числа в следующих заданиях.

1.

2.

3.

Если в данных заданиях вместо знака вопроса поставить переменную х, то можно получить уравнение

8 · 9 : 6 + 5х = 17

Такие задания выполняются на уроках с большим интересом. В кабинете математики собрано большое количество подобных заданий, составленных учащимися.

Вывод: Эти задания можно использовать в темах «Поиски закономерностей», «Числовые выражения», «Уравнения».

8. ФОКУСЫ С ДОМИНО.

Особенностями домино объясняется и следующие два фокуса:

Фокус первый. Ваш товарищ берет одну из костей домино и выходит из класса. Вы же из остальных 27 костей составляете по его просьбе непрерывную цепь по правилам игры. Это можно сделать всегда. Он же, не видя вашей цепи, назовет, какие числа очков на концах цепи.

Фокус второй. Попросим ученика взять одну из костей домино и выйти из класса, а мы узнаем, какую косточку он взял. Для этого сложите непрерывную цепь из оставшихся домино. Концевые числа этой цепи будут те, которые имеются на взятой учеником косточке.

УГАДАЙТЕ ЗАДУМАННУЮ КОСТОЧКУ

Первый вариант фокуса.

Ведущий предлагает учащемуся заду­мать какую-либо косточку, после чего го­ворит: «Умножьте число очков одной половины на 2, к произведению прибавьте 7 и сумму умножьте на 5; теперь прибавьте к ре­зультату число очков другой половины косточки и скажите что у вас получилось».

Учащиеся называют ответы, ведущий по объявленному результату называет задуманную косточку. Как по объявленному результату узнать задуман­ную кем-либо косточку домино? Объясним это математикой.

Действительно, если а и b — числа очков задуман­ной косточки домино, то мы последовательно про­изводим над ними следующие действия:

2а;

2а +7;

10а + 35;

10а + 35 + b;

Отнимая от окончательного результата 35, получим двузначное число 10а + b, цифрами которого будут а и b, т. е. число очков на косточке домино.

Анализируя выражение 10а + b + 35, видим, что 35 = 7 · 5, значит, к произведению можно прибавлять не 7, а любое другое чис­ло, которое обозначим через т, тогда от окончатель­ного результата надо будет отнять уже не 35, а 5т:
2а;

2а +m;

10а + 5m;

10а + 5m + b.

Этот же прием можно применить и к угадыванию двузначных чисел.

Второй вариант фокуса.

Ведущий предлагает учащемуся заду­мать какую-либо косточку, после чего го­ворит: «Умножьте число очков одной половины на 5, к произведению прибавьте 7 и сумму умножьте на 2; теперь прибавьте к ре­зультату число очков другой половины косточки и скажите, что у вас получилось».

Отнимая от окончательного результата 14, мы получим двузначное число, цифрами которого будет число очков на косточках домино.

Действительно, если а и b — числа очков задуман­ной косточки домино, то мы последовательно про­изводим над ними следующие действия:

5а;

5а +7;

10а + 14

10а + 14 + b

Отнимая от окончательного результата 14, мы получим двузначное число 10а + b

цифрами которого будут a и b, т. е. число очков на косточках домино.

Мы можем предложить к произведению прибавлять не 7, а любое другое чис­ло, которое обозначим через т, тогда от окончатель­ного результата надо будет отнять 2т.

Исключения:

1. Если выбрать домино с пустой по­ловиной и выполнять команды с числом 0, то окончатель­ный результат будет состоять из одной цифры.

Пример

Окончательный результат равен 5 = 05, значит, выбрана костяшка «пусто 5».

2. Если выбрать костяшку «пусто-пусто», окончательный результат вычислений будет равен 0.

Как угадать две задуманные косточки домино.

Ведущий предлагает учащимся взять две косточки домино, после чего говорит:

1.  умножить число одной половинки первой косточки на 2,

2.  к полученному произведению прибавить 5,

3.  полученную сумму умножить на 5,

4.  к полученному результату прибавить 10,

5.  к полученному числу прибавить число очков второй половинки первой косточки,

6.  умножить все на 10,

7.  к полученному результату прибавить число очков одной половинки второй косточки,

8.  умножить на 10,

9.  к результату прибавить число очков второй половинки второй косточки,

10.  скажите, что у вас получилось.

Учащиеся называют ответы, ведущий по объявленному результату называет задуманные косточки домино.

Как по объявленному результату узнать задуманные косточки?

Объясним математически. Пусть a, b, c, d число очков на двух косточках. Получается, что дано четыре числа a, b, c, d. Тогда над ними производятся следующие действия: для первых двух чисел:

(2a+5)•5=10a+25

10a+25+10=10a+35

10a+35+b

Для третьего числа:

(10a+35+b)•10+c=100а+350+10b+c

Для четвертого числа:

(100a+350+10b+c)•10+d=1000a+100b+10c+3500+d

Отсюда видно, что, вычитая, из результата 3500 мы получаем, все задуманные числа в виде цифр остатка, считаем слева на право.

Пример. Пусть задуманы следующие косточки домино 5:3 и 4:2. Выполняя выше указанные команды, получим

5•2=10 10+5=15 15•5=75 75+10=85 85+3=88 88•10=880 880+4=884

884•10=8+2=8842

Вывод:

Данные фокусы можно использовать на устном счете.

9. ДЛЯ ЛЮБИТЕЛЕЙ ПОЛОМАТЬ ГОЛОВУ

Данная головоломка взята из учебника «Формулы сокращенного

умножения».

На этом рисунке все 28 костяшек домино выложены подряд по правилам игры. Затем они были разделены на четыре части по семь костяшек. На рисунке общее количество очков в каждой части разное. Положить их в такой последовательности, чтобы сумма очков в каждом ряду была одинаковой.

Ответ: 168 : 4 = 42 – сумма очков в каждой части.

СЕМИКОНЕЧНАЯ ЗВЕЗДА

Разложите полный комплект костей домино в виде семиконечной звезды по 4 косточки в каждом луче так, чтобы:

1. в центр входили половинки с 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 очками,

2. на концах лучей также были все очки от 0 до 6,

3. в каждом луче косточки укладывались согласно принципам домино – одинаковыми половинками друг к другу,

4. суммы очков на косточках домино во всех лучах были равны.

ВОСЬМИКОНЕЧНАЯ ЗВЕЗДА

Разложите полный комплект костей домино в виде восьмиконечной звезды с лучами из трех, четырех костяшек попеременно так, чтобы:

1. в центр выходили половинки 1, 2, 3, 4, 5, 6 очками и две «пустышки».

2. в каждом луче косточки укладывались согласно принципам домино – одинаковыми половинками друг к другу,

3. каждый луч должен содержать 21 очко.

Решение

Заключение.

Результаты:

В ходе работы над проектом мы пришли к следующим результатам:

·  доказали, что домино не только коллективная игра. В нее можно играть и самому, решая разнообразные доминошные головоломки;

·  доказали, что комплект домино – уникальный счетный материал. В непринужденной игровой форме ученик решает интересную головоломку, и вместе с тем попутно отрабатывает навыки сложения натуральных чисел и дробей, умножение натуральных чисел, повторяет таблицу умножения;

·  выявили темы в школьной математике, где можно применять представленные нами головоломки и задачи:

Ø  «Умножение и деление натуральных чисел»;

Ø  «Обыкновенные дроби»;

Ø  «Арифметическая прогрессия»;

Ø  «Числовые выражения»;

Ø  «Уравнения»;

Ø  «Квадрат»;

Ø  Во внеклассной работе для проведения олимпиад.

·  подготовили материал для выпуска сборника «Математика и домино».

Выводы:

На основании полученных результатов, мы доказали возможность применения домино на уроках математики. Решая доминошные головоломки, ученики воспитывают в себе силу воли, трудолюбие, навыки математического мышления.

Таким образом мы считаем, что поставленные цели выполнены.

Значимость нашей работы заключается в том, что серьезный труд для ученика – формирование вычислительных навыков становится интересным и занимательным.

В ходе работы над проектом мы научились: ставить перед собой цель, планировать свои действия, находить информацию из разных источников, в том числе сети Интернет, выбирать из большого количества информации нужную, выполнять результаты исследования (рисунки) на компьютере.

Литература:

1. , . Задачи на смекалку. М. «Дрофа» 2003

С 54–56.

2. . Занимательные задачи и опыты. М. «Беларусь» 1994

С 345,347,365.

3. 365 веселых игр и фокусов. М. «АСТ - Пресс» С 253.

4. Е. Гик, Н. Рассказова. Игры. Энциклопедия. М. «РОСМЭН» 2001 С 42 – 43

5. 365 задач на смекалку М. «АСТ - Пресс» С 6,10,18.

6. . Вечера занимательной арифметики. М. «Просвещение» 1967

С 44.

7. Газета «Озорник» № 3 2005, № 000

8. Газета «Математика» №24, 2007 г.

9. «Магия чисел и фигур» М. «Глобус» 2007 г.