УДК 621.396

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ РЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ С НЕСТАНДАРТНЫМИ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

,

ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет"

394026 Воронеж, Московский просп., 14
*****@***ru

Рассмотрена задача синтеза цифрового рекурсивного фильтра с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) произвольной формы. Для её решения использован метод параметрической оптимизации на основе генетического алгоритма. Целевая функция построена с учетом обеспечения устойчивости цифрового фильтра. Приведены результаты параметрического синтеза фильтров с АЧХ треугольной, ступенчатой формы, с двумя полосами пропускания.

Введение. Развитие инфокоммуникационных технологий в последнее время во многом определяется достижениями в области цифровой обработки сигналов, которая, в свою очередь, требует применения эффективных алгоритмов цифровой фильтрации, экономично использующих технические ресурсы. К параметрам цифровых фильтров в системах обработки сигналов начинают предъявляться повышенные требования. В связи с этим заметно обозначился интерес к рекурсивным фильтрам, как более экономичным с точки зрения потребления ресурсов.

Классические методы синтеза цифровых рекурсивных фильтров хорошо известны [1-3]. В частности, рекурсивные фильтры часто проектируют по аналоговым фильтрам - прототипам с использованием билинейного z-преобразования. Однако все же наиболее универсальным подходом к расчету таких фильтров можно считать применение оптимизационных алгоритмов, которые минимизируют согласно некоторому указанному критерию функцию ошибки между заданными и полученными частотными или временными характеристиками фильтра [4,5].

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

При разработке рекурсивных фильтров с нестандартными частотными характеристиками классические методы синтеза, как правило, непригодны, поэтому основным подходом к расчету подобных фильтров является использование оптимизационных алгоритмов. В качестве оптимизационной процедуры, применяемой при реализации алгоритма, обычно используют численную реализацию одного из методов минимизации вещественной функции нескольких переменных, обеспечивающего эффективный поиск глобального минимума.

Целью доклада является разработка алгоритма синтеза цифровых рекурсивных фильтров по заданной амплитудно-частотной характеристике с помощью методов оптимизации.

Постановка и математическая формализация задачи. Требуется осуществить параметрический синтез рекурсивного фильтра с заданной (желаемой) амплитудно-частотной характеристикой.

Пусть желаемая АЧХ цифрового фильтра задана на частотном интервале от нуля до половины частоты дискретизации (½FД) своими значениями АЖk, где k = 1, 2, 3, ... K0.  Количество значений желаемой АЧХ фиксировано величиной K0. Шаг между частотами fk, на которых задана АЧХ фильтра, в общем случае, неравномерный.

Предполагается, что порядок цифрового фильтра N - заданная величина. Число элементов задержки (памяти) в нерекурсивной и рекурсивной частях структурной схемы цифрового фильтра одинаково и равно N (рис. 1). Неизвестными параметрами фильтра являются 2N + 1 весовых коэффициента: a0, a1, a2, ..., aN и b1, b2, b3, ..., bN.

Рис.1. Структурная схема синтезируемого цифрового фильтра
в прямой канонической форме реализации.

Таким образом, постоянными (заданными) па­раметрами цифрового фильтра в процессе его параметрической оптимизации являются: частота дискретизации - FД, значения требуемой АЧХ - АЖk, k = 1, 2, 3, ... K0, порядок - N. Переменными (варьируемыми) параметрами фильтра являются весовые коэффициенты a0, a1, a2, ..., aN и b1, b2, b3, ..., bN числом 2N + 1.

При очередной вариации весовых коэффициентов (в процессе поиска оптимальных значений, обеспечивающих наилучшее совпадение требуемой и фактической АЧХ) необходимо производить расчёт фактических значений АЧХ цифрового фильтра по формуле [1]:

(1)

В качестве целевой функции, по всей видимости, в простейшем случае целесообразно взять сумму квадратов отклонений желаемой и фактической АЧХ, определяющую расхождение между требуемой и реальной характеристиками цифрового фильтра:

(2)

В процессе подбора оптимальных значений весовых коэффициентов следует гарантировать устойчивость цифрового рекурсивного фильтра. В соответствии с этим весовые коэффициенты фильтра a0, a1, a2, ..., aN и b1, b2, b3, ..., bN должны быть такими, чтобы импульсная характеристика фильтра h(n), определяемая как реакция на единичный одиночный импульсный отсчёт, была бы затухающей [2]. В этой связи при очередной вариации весовых коэффициентов (в процессе поиска оптимальных значений, обеспечивающих наилучшее совпадение требуемой и фактической АЧХ) необходимо рассчитать по формуле [3]

(3)

несколько (например, M =10) значений - отсчётов импульсной характеристики h(n) для достаточно больших номеров (n = n1 ... n1 + M, где, например, n1 = 90). Далее следует найти сумму абсолютных значений рассчитанных отсчётов импульсной характеристики фильтра

R =. (4)

Если полученная сумма относительно мала, то цифровой фильтр следует признать устойчивым и весовые коэффициенты можно подставлять в формулы (1),(2) для проверки на оптимальность, в противном случае - такие значения весовых коэффициентов недопустимы. Поскольку точно указать пороговое значение суммы R, превыше­ние которого свидетельствует о неустойчивости цифрового фильтра, не представляется возможным, целесообразно указанную сумму R включить в качестве слагаемого в целевую функцию (2). Таким образом, окончательно

(5)

Важной составляющей оптимизации фильтра является численная реализация алгоритма поиска глобального минимума целевой функции. Следует понимать, что абсолютно надежного и достаточно скоростного алгоритма поиска глобального экстремума функции при обязательном наличии локальных экстремумов не существует. Хорошими способностями достижения с высокой вероятностью глобального экстремума обладают генетические алгоритмы [6].

Генетический алгоритм реализует постулаты теории эволюции. Стратегия поиска решения оптимизационной задачи опирается на гипотезу селекции: чем выше приспособленность особи, тем выше вероятность того, что у потомков, полученных с её участием, приспособленность будет выражена ещё сильнее. Если принять, что каждая особь популяции является точкой в координатном пространстве оптимизационной задачи, а приспособленность особи соответствующим значением целевой функции, то популяцию особей можно рассматривать как множество точек в пространстве, а процесс эволюции – как движение этих точек в сторону оптимальных значений целевой функции.

Существует несколько разновидностей генетического алгоритма. Для решения поставленной задачи использован модифицированный генетический алгоритм [7]. Особенностью данной модификации алгоритма является то, что генетические операторы в процессе генерирования потомков используют локальный рельеф целевой функции. Поэтому формирование потомков происходит хотя и случайным образом, но с определенной гарантией того, что найденные решения будут лучше родительских. Следовательно, в процессе эволюции будет встречаться меньшее число "неудачных" потомков и число обращений к целевой функции, а значит, и время поиска глобального экстремума уменьшится.

Программная реализация модифицированного генетического алгоритма доступна в сети Интернет [8] и представляет собой обособленный модуль, легко интегрируемый в пользовательскую программу.

Результаты синтеза. Представленные ниже результаты синтеза цифровых рекурсивных фильтров получены применительно к частоте дискретизации 10 кГц.

На рис. 2 представлены желаемая АЧХ цифрового фильтра треугольной формы (штрихом) и АЧХ синтезированного фильтра шестого порядка (N = 6, сплошной). В табл. 1 приведены найденные весовые коэффициенты фильтра. На рис. 3 показана импульсная характеристика фильтра.

Рис. 2. АЧХ синтезированного фильтра (N = 6).

Таблица 1

Весовые коэффициенты фильтра с треугольной АЧХ

i

ai

n

bn

i

ai

n

bn

0

+0.05429

-

-

4

+0.08619

4

+0.79902

1

+0.00461

1

+0.02298

5

+0.00641

5

+0.00548

2

-0.08775

2

+1.23967

6

-0.05800

6

+0.26030

3

-0.00590

3

+0.02190

-

-

-

-

Рис. 3. Импульсная характеристика фильтра с треугольной АЧХ.

На рис. 4 представлены желаемая АЧХ фильтра ступенчатой формы (штрихом) и АЧХ синтезированного фильтра 21-го порядка (N = 21, сплошной). В табл. 2 приведены весовые коэффициенты фильтра. На рис. 5 показана импульсная характеристика фильтра.

Рис. 4. АЧХ синтезированного фильтра (N = 21).

Таблица 2

Весовые коэффициенты фильтра со ступенчатой АЧХ

i

ai

n

bn

i

ai

n

bn

0

+0.02233

-

-

11

-0.09889

11

-0.14925

1

+0.03932

1

-0.04567

12

-0.07184

12

+0.03318

2

+0.03900

2

+0.09912

13

-0.05011

13

+0.06248

3

+0.02069

3

+0.04877

14

-0.08289

14

-0.00227

4

-0.00098

4

+0.11714

15

-0.15670

15

-0.02940

5

-0.00091

5

-0.01035

16

-0.22596

16

-0.00850

6

+0.01675

6

+0.05289

17

-0.24289

17

-0.09144

7

+0.02276

7

-0.00263

18

-0.19668

18

-0.04975

8

-0.00729

8

+0.09767

19

-0.11448

19

+0.10582

9

-0.05705

9

-0.00066

20

-0.04195

20

-0.00672

10

-0.09717

10

+0.11999

21

-0.00509

21

-0.08825

Рис. 5. Импульсная характеристика фильтра со ступенчатой АЧХ.

На рис. 6 представлены желаемая АЧХ цифрового фильтра с двумя полосами пропускания (штрихом) и АЧХ синтезированного фильтра 21-го порядка (N = 21, сплошной). В табл. 3 приведены весовые коэффициенты фильтра. На рис. 7 показана импульсная характеристика фильтра.

Во всех приведённых случаях количество значений желаемой АЧХ было определено величиной K0 = 100, шаг между частотами, на которых задана АЧХ фильтра, предполагался равномерным. Количество особей в популяции не превышало 300.

Рис. 6. АЧХ синтезированного фильтра (N = 21).

Таблица 3

Весовые коэффициенты фильтра с двумя полосами пропускания

i

ai

n

bn

i

ai

n

bn

0

+0.05347

-

-

11

+0.05487

11

+0.14961

1

+0.07295

1

-0.18851

12

+0.04250

12

+0.08140

2

+0.03553

2

+0.05907

13

+0.08274

13

-0.02094

3

+0.04035

3

+0.01757

14

+0.08841

14

+0.05092

4

+0.09149

4

-0.09979

15

+0.03116

15

-0.12133

5

+0.13293

5

-0.11649

16

-0.01774

16

-0.19904

6

+0.09705

6

+0.06594

17

+0.00733

17

-0.05737

7

+0.05857

7

+0.11879

18

+0.03787

18

+0.08066

8

+0.07965

8

+0.18737

19

+0.00731

19

+0.05444

9

+0.12446

9

+0.09208

20

-0.03120

20

+0.06213

10

+0.11795

10

-0.02699

21

-0.04313

21

+0.00325

Заключение. Представленные результаты в целом однозначно свидетельствует об эффективности разработанной методики параметрического синтеза цифровых рекурсивных фильтров с нестандартной (неклассической) формой АЧХ.

Рис. 7. Импульсная характеристика фильтра с двумя полосами
пропускания в АЧХ.

Целевая функция, определяющая требования к синтезируемому рекурсивному фильтру может быть существенным образом модифицирована, например, за счет введения ограничений на неравномерность АЧХ в полосе пропускания или (и) минимальное ослабление в полосе задержания. Следует заметить, что в случае чрезмерно завышенных требований по АЧХ к фильтру невысокого порядка положительный результат параметрического синтеза может быть не достигнут.

Литература

1.  Цифровые фильтры и их применение / В. Каппелини, А. Дж. Константинидис, П. Эмлиани. - М.: Энергоатомиздат, 19с.

2.  Цифровые фильтры: анализ и проектирование / А. Антонью. - М.: Радио и связь, 19с.

3. Белодедов проектирования цифровых фильтров: учеб. пособие / . - Волгоград: Изд-во Волгоград. гос. ун-та, 20с.

4. Каганов цепи и сигналы. Компьютеризированный курс: учеб. пособие / . - М: Форум: Инфра-М, 20с.

5. Дискретный синтез цифровых рекурсивных фильтров / , , // Вест. Нижегород. ун-та им. № 2. - С. 76-82.

6. Гладков алгоритмы / , , . - 2-е изд., испр. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 20с.

7. Сабанин генетический алгоритм для задач оптимизации и управления / , , // Exponenta Pro. Математика в приложениях№ 3-4. - С. 78-85.

8. URL: http://twt. mpei. *****/ochkov/Mathcad_12/3_31_genetic. mcd (дата обращения: 01.06.2013).

Parametric synthesis of recursive digital filters with non-standard frequency characteristics

A. V. Ostankov, A. M. Panchenko

Voronezh State Technical University

The task of synthesis of recursive digital filter with the amplitude-frequency characteristic of arbitrary shape. It is proposed to use the method of parametric optimization based on genetic algorithm to solve it. The objective function is constructed with a view to ensure the stability of the digital filter. The results of the parametric frequency response of the filter with a triangular step form, with two bandwidths.