Частотные исследование передаточной функции

Временными характеристиками удобно пользоваться при определении характера переходного процесса в системах автоматического регулирования. Однако в реальных автоматических системах очень часто входной сигнал изменяется по гармоническому закону, заданной амплитуды и частоты. В этом случае при исследовании автоматических систем ставиться задача нахождения параметров колебаний на выходе автоматической системы по известным параметрам колебаний на входе. Решение этой задачи с помощью временных характеристик представляет определенные трудности. Поэтому в таких случаях используются частотные методы исследования, базирующиеся на понятии частотной передаточной функции.

Основными динамическими характеристиками объекта регулирования или автоматической системы являются:
- частотная передаточная функция;
- частотные характеристики (амплитудная частотная и фазовая частотная);
- переходные характеристики (переходная функция и весовая функция).

Важную роль в описании линейных автоматических систем играют частотные характеристики, отражающие реакцию объекта регулирования или автоматической системы на гармонический сигнал. Если система является линейной, то при непрерывном воздействии синусоидального входного сигнала выходной сигнал и сигнал ошибки также будут изменяться по синусоидальному закону. На выходе объекта в установившемся режиме (собственное движение прекратилось). Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом, когда будет наблюдаться также гармонический сигнал с частотой, равной частоте входных колебаний, сдвинутый относительно них по фазе и другой амплитуды.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если частоту входного сигнала изменить, то изменится не только частота, но и амплитуда и фаза выходного сигнала и сигнала ошибки.

Степень различия между параметрами входных и выходных гармонических сигналов не зависит от амплитуды и фазы входного сигнала, а определяется только динамическими свойствами самого объекта и частотой колебаний, поэтому в качестве динамических характеристик объекта регулирования здесь используются частотные характеристики. Для получения последних экспериментальным путем проводится ряд опытов, для которых используется аппаратура в составе генератора гармонических колебаний с регулируемой частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы колебаний.

Анализ переходных процессов сводится к отысканию общего решения неоднородного дифференциального уравнения, описывающего физические процессы в системе при заданных начальных условиях и воздействиях. Чтобы одновременно учитывать изменение и амплитуды, и фазы сигналов, целесообразно перейти к символическому или комплексному методу и рассматривать соотношение комплексных значений или комплексных амплитуд сигналов.

Частотный метод благодаря ряду преимуществ получил широкое распространение не только в теории автоматического регулирования, но и в импульсной технике, радиотехнике и т. п. Применение частотных методов в теории автоматического регулирования по следующим соображениям:
- входной сигнал любой формы может быть представлен в виде суммы синусоидальных сигналов разных частот; зная как автоматическая система реагирует на воздействие каждой составляющей, можно определить, как будет вести себя автоматическая система при воздействии общего сигнала; 
- реальные сигналы по своей форме часто близки к синусоидальным; 
- по частотным характеристикам можно судить о свойствах и качестве работы автоматической системы; в частности можно определить, как быстро и с какими ошибками будет происходить процесс автоматического регулирования, возможно ли возникновение резонансных режимов, какими путями можно повысить качество работы автоматической системы и т. п.; 
- при исследовании автоматической системы легко можно перейти от соотношений в операторной форме к комплексным функциям простой заменой р на jw.

Исходным для частотных исследований автоматической системы является дифференциальное уравнение, описывающее ее поведение в режиме свободных или вынужденных колебаний,

путем формальной замены аргумента р на jw получим выражение частотной передаточной функции

Если в последнем выражении в числителе и знаменателе выделить вещественную и мнимую часть, то можно записать

,

где   ;
         ;
         ;
         

Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число знаменателя. После соответствующих преобразований получим:

или

Достоинством частотных методов является то, что частотные характеристики, на основании которых производится анализ или синтез автоматических систем, могут быть сняты экспериментальным путем. Это имеет особенно важное значение в тех случаях, когда не представляется возможным получить аналитические уравнения системы из-за существенной нелинейности отдельных элементов или из-за сложности системы.

Амплитудная частотная характеристика показывает, как пропускает звено или автоматическая система сигналы различной частоты. Она представляет частотную передаточную функцию, выражающую отношение выходной величины системы ко входной при условии, что входная величина изменяется по гармоническому закону с частотами от нуля до бесконечности:

.

Модуль амплитудной частотной характеристики определяется по выражению

Амплитудная частотная характеристика строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности. По оси абсцисс откладывается вещественная часть P(w) и по оси ординат - мнимая часть Q(w) частотной передаточной функции. Для каждой частоты wi на комплексной плоскости имеется единственная точка. Полученные точки соединяются последовательно плавной кривой. Около каждой из точек необходимо отметить соответствующие частоты.

Амплитудная частотная характеристика может быть построена как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в частотной передаточной функции положительных частот на отрицательные получается сопряженная комплексная величина. Поэтому амплитудная частотная характеристика для отрицательных частот может быть построена как зеркальное изображение относительно вещественной оси.

Таким образом, положительные и отрицательные частоты имеют определенный смысл, так как они соответствуют положительным и отрицательным угловым скоростям вращения векторов на комплексной плоскости. В принципе можно ограничиться рассмотрением только положительных частот.

Построение амплитудной частотной характеристики по вещественной и мнимой частям частотной передаточной функции, как правило, является трудоемкой работой, т. к. умножение частотной передаточной функции на комплексную величину, сопряженную знаменателю, повышает в два раза степень частоты в знаменателе.

Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах, и представляет собой зависимость сдвига фазы выходной величины по отношению ко входной величине при изменении частоты входной величины в установившемся режиме

На основании полученных выражений можно определить амплитудную и фазовую характеристики автоматической системы. Для этого на вход прикладывается гармоническое воздействие с определенной частотой. В автоматической системе возникает переходный процесс и вынужденные колебания. Через некоторое время переходный произойдет затухание переходного процесса, если система устойчива, а останутся лишь вынужденные колебания. Они будут иметь частоту, равную входному воздействию, отличается по амплитуде и фазе:

Резюме 1: Частотная передаточная функция получается из обычной заменой оператора Лапласа p на комплексную частоту jw, т. е. в результате перехода от изображения Лапласа к изображению Фурье.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика. Исследование САР значительно упрощается, если пользоваться не обычными амплитудными и фазовыми частотными характеристиками, а логарифмическими частотными характеристиками. Логарифмической называют такую систему координат, в которой по осям откладываются не сами числовые значения величин, а логарифмы их значений. Логарифмические характеристики позаимствованы теорией автоматического регулирования из акустики вместе с терминологией и единицами измерения. Такое использование возможно потому, что в одном и другом случае имеет место исследование частотных сигналов. В частотной области передаточная функция определяется выражением

Прологарифмировав это выражение получим:

Как видно из этого выражения, логарифм частотной передаточной функции равен комплексному выражению, вещественной частью которого является логарифм модуля, а мнимой - фаза.

Для практических целей удобнее пользоваться не натуральными, а десятичными логарифмами и строить отдельнологарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ). Для построения ЛАЧХ находится величина

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой разомкнутой системы называют кривую, соответствующую 20 десятичным логарифмам модуля передаточной функции разомкнутой автоматической системы, построенной в логарифмическом масштабе частот

Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз, 3 бела - в 1000 раз и т. д. Децибел равен одной десятой части бела. Если бы А(w) было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части должен был бы стоять множиТак как А(w) представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов и т. д.), то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или 20 децибелам. Поэтому в правой части стоит множиЭта единица применяется для измерения отношений различных величин, в частности, при оценке звукового давления.

Строго говоря, один децибел соответствует изменению амплитуды в 100,05 раз, т. е. представляет очень малую величину.

Применение логарифмического масштаба при построении частотных характеристик имеет целый ряд существенных преимуществ. Важнейшими из них являются: 
- в логарифмическом масштабе можно наглядно изобразить поведение характеристик в очень большом диапазоне частот, т. к. десятикратному изменению частоты соответствует изменение логарифма лишь на одну единицу; 
- характеристики элементарных звеньев имеют простую стандартную форму и могут быть с большой точностью представлены в виде отрезков ломаной линии; 
- характеристики сложных систем могут быть получены простым суммированием характеристик входящих в них элементарных звеньев; 
- при использовании логарифмических характеристик можно сравнительно легко оценить качество автоматической системы, а также определить, как будет реагировать система на те или иные изменения в ее структуре.

При построении логарифмических характеристик по оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие lg w, а около отметок пишется само значение угловой частоты в рад/с.

По оси ординат откладывается модуль частотной передаточной функции в децибелах в равномерном масштабе. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб, что соответствует значению модуля А(w) = 1.

Ось ординат может пересекать ось абсцисс в произвольном месте. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАЧХ. Для этой цели необходимо провести ось ординат левее самой малой сопрягающей частоты.

Необходимость логарифмировать модуль частотной передаточной функции приводит к тому, что ЛАЧХ может быть построена только для тех звеньев, у которых передаточная функция представляет собой безразмерную величину. Это возможно только при одинаковых размерностях входной и выходной величин звена автоматической системы.

Если выражения, определяющие ЛАЧХ, получились сложными, а это бывает чаще всего, то их упрощают за счет пренебрежения некоторыми членами этих выражений вследствие их малости по сравнению с остальными. При этом вводится допущение, что весь диапазон изменения w имеет малое значение, поэтому считается, что частота стремиться к нулю, за счет этого и производится упрощение выражений для L(w)

ЛАЧХ может строиться и для тех звеньев, у которых передаточная функция имеет какую-либо размерность. В таких случаях перед логарифмированием добавляется поправочный коэффициент соответствующей размерности для получения безразмерного значения передаточной функции, численно равный единице.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика строится точно так же как ЛАЧХ. Для построения ЛФЧХ необходимо найти фазу каждого множителя числителя и знаменателя частотной передаточной функции, как арктангенс отношения его противолежащего катета к прилежащему (напомним, что при произведении комплексных чисел (в экспоненциальной форме) фазы (показатели степени) складываются, а при делении - вычитаются). Таким образом, построение ЛФЧХ производится по выражению:

Логарифмической фазовой частотной характеристикой разомкнутой системы называют характеристикуj(w), построенную в логарифмическом масштабе частот.

Резюме 2: Дифференциальное уравнение движения системы связывает входной и выходной сигналы как функции времени, передаточная функция связывает изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная передаточная функция связывает их спектры.

Для построения ЛФЧХ используется та же ось абсцисс. По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе. Для практических расчетов удобно совместить точку нуля децибел с точкой, где фаза равна - 180o. Отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный - вниз.

Достоинством частотных методов является то, что частотные характеристики, на основании которых производится анализ или синтез автоматических систем, могут быть получены во многих случаях практически без вычислительной работы или сняты экспериментальным путем. Это имеет особенно важное значение в тех случаях, когда не представляется возможным получить аналитические уравнения системы из-за существенной нелинейности отдельных элементов или из-за сложности с