Числовые выражения

А-7 Урок 1

Тема: «Числовые выражения».

Цели урока: Повторить и углубить умение учащихся находить значения числовых выражений, составленных из рациональных чисел с помощью знаков сложения, вычитания, умножения и деления; учащиеся должны знать, что выражение, содержащее действие деление на нуль, не имеет смысла.

Развить познавательный интерес учащихся к изучению нового предмета.

Ход урока:

1.  Организационный момент.

И снова в позолоте тополя,

А школа – как корабль у причала,

Где ждут учеников учителя,

Чтоб новой жизни положить начало.

***

Пусть счастье в дверь твою стучит,

Открой ее скорей пошире.

Путь жизни тайною покрыт,

Но так прекрасно в этом мире!

И пусть всегда – в окошке свет,

Улыбка мамина – с порога.

Пусть будет много добрых лет

И в жизни легкая дорога!

***

Осенние мотивы

Эта шикарная женщина ОСЕНЬ

Себя подарила беспутному ветру,

И что он ни скажет, и что ни попросит,

Ему отдавала, не чувствуя меры.

Листвы разноцветной большие охапки

Бросала к ногам его брачным букетом,

И буйные краски, и солнца остатки,

И слезы дождей, и туман пред рассветом.

А ветер беспутный шаталец по свету,

Любя самого лишь себя, свою прихоть,

И даже шикарную женщину эту

Старался как можно больнее обидеть,

Сорвать с нее платье нахальным порывом,

Чтоб голая так до зимы простояла…

А ОСЕНЬ прощала, лишь с тихим надрывом

Уже обреченные слезы роняла.

В зимовьих объятьях она умирает,

И проседь теперь в волосах, а не просинь.

Под снежной накидкой никто не узнает

Эту шикарную женщину – ОСЕНЬ.

<Слайд 1>

2.  Что изучает алгебра?

У.: Какой предмет мы изучали в прошлом году?

Ученики: Математику.

У.: Есть о математике молва,

Что она в порядок ум приводит.

Поэтому хорошие слова

Часто говорят о ней в народе.

У.: Чем мы занимались на уроках математики?

Ученики: Проводили вычисления с целыми и дробными числами, решали уравнения, задачи, строили фигуры в координатной плоскости.

<Слайд 2>

У.: Все это составляло содержание предмета «Математика». Этот предмет подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебра, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, теорию игр и т. д. Мы приступаем к изучению алгебры. Вы уже дома познакомились с учебником. Чем он отличается, например, от учебника литературы?

<Слайд 3>

Ученики: В нем много цифр и букв, причем букв латинских.

У.: Мы с вами помним, что буквы нам помогают записывать свойства действий над числами в удобной для запоминания форме. Говорят: «Высказанное утверждение записано на математическом языке». Например, переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется (). Вспомните, как найти расстояние, зная время и скорость.

<Слайд 4>

Ученики: Чтобы найти расстояние, надо время умножить на скорость.

У.: Записываем это короче: . То есть буквы помогают записывать в виде формул правила для нахождения значений интересующих нас величин. Чем еще алгебра отличается, например, от арифметики? В арифметических задачах по известным правилам находят неизвестное число. В алгебре неизвестную величину обозначают буквой. Эта неизвестная величина и данные в условии задачи связываются между собой уравнением, из решения которого и находится неизвестная величина. Отдельные алгебраические понятия и приемы решения задач возникли несколько тысяч лет назад в древних государствах – Вавилоне и Египте. О состоянии математических знаний в те века можно судить по древним рукописям (папирусам), найденным на местах древних городов. <Слайд 5>

Около 4000 лет назад в Вавилоне и в Египте ученые уже умели составлять линейные уравнения, с помощью которых они решали самые разнообразные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела. Например, в Британском музее хранится задача из папируса Ринда (его называли также папирусом Ахмеса), относящегося к периоду 2000 – 1700 гг. до н. э.: «Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10». Решение этой задачи сводится к решению линейного уравнения:

<Слайд 6, 7>

В VII в. до н. э. греки усвоили достижения египтян в математике. В начале IX в. (830 год) хорезмийский ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб аль джабр вал-Мукабала» («Метод восстановления и противопоставления») – это была первая книга по алгебре. Она имеет особое значение в истории математики как руководство, по которому долгое время обучалась вся Европа. В ней он впервые рассмотрел методы и приемы алгебры.

Ал-джебр

(перенос слагаемых)

При решении уравненья,
Если в части одной,
Безразлично какой,
Встретится член отрицательный,
Мы к обеим частям,
С этим членом сличив.
Равный член придадим,
Только с знаком другим,—
И найдем результат, нам желательный!

Вал-мукабала

(приведение подобных)

Дальше смотрим в уравненье,
Можно ль сделать приведенье,
Если члены есть подобны,
Сопоставить их удобно.
Вычитая равный член из них,
К одному приводим их.

<Слайд 8>

С момента написания этой книги алгебра становится самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло, вероятно, от слова «ал джебр», что означает «восстановление». Словом «алгебра» в арабском языке называлось искусство врача восстанавливать сломанную руку или ногу. Хирурга у арабов называли алгебраистом. Таким образом, математика позаимствовала это слово из медицины.

<Слайд 8>

Дальнейшее развитие алгебры происходило в основном в Индии (до XII в.) и в Средней Азии (до XV в.). Алгебру до XVII в. условно называли риторической (словесной). Дело в том, что тогда не существовало единых условных знаков «+», «-», «а2» и многих других которые используем мы. Условие задачи, все действия и ответ записывали полностью словами. Для удобства запоминания иногда эта запись делалась в стихах. Математические символы вводились постепенно. Так знак равенства «=» введен английским ученым Р. Рикордом в 1557 г., знаки «:» и «*» - немецким математиком Лейбницем в конце XVII в. , скобки – XVI в. Математические символы дали возможность ученым разных стран понять друг друга. В формировании алгебры как науки большие заслуги принадлежат французским ученым Франсуа Виету и Рене Декарту. В течение XVIII-XX в. из алгебры выросли новые математические науки: алгебра многочленов, векторная алгебра. Науки эти изучаются в высшей школе.

В школьной алгебре задачи решают путем составления уравнений, изучают сами уравнения, связи между величинами (некоторые из этих связей называются функциями). При этом используются буквы, выражения с буквами подвергаются различным преобразованиям (тождественным преобразованиям). Но за всеми этими буквами чаще всего скрываются числа.

<Слайд 9>

Иногда говорят: «Алгебра держится на четырех китах: на уравнении, числе, тождестве, функции».Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее.

<Слайд 10>

3.  Устные упражнения.

1.  Найдите сумму чисел -3,7 и 6,7 (отв. 3); найдите произведение чисел (отв. ); найдите разность чисел (отв. ). Повторить правила выполнения арифметических действий с обыкновенными дробями и рациональными числами.

2.  Я задумал три числа. Найдите первое, если известно, что число, противоположное ему, равно 6. Найдите второе, если число обратное ему равно 3. Найдите третье, если известно, что, умножив его на , получится 1. (отв. -6, , )

3.  Вычислите:

а) (2+4=6);

б) (2+5=7);

в) (1,25·8=10);

г) (3,2·25=80);

д) ((15+2)·(14+3)=289);

е) ((8+1)·(7+1)=72);

ж) (3+5=8);

з) (10-5=5);

и) ;

к) .

<Слайд 11, 12>

4. Изучение новой темы.

При решении многих задач приходится над заданными числами производить арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Но часто, прежде чем доводить до конца каждое из этих действий, удобно заранее указать порядок (план), следуя которому надо производить эти действия. Этот план сводится к тому, что по данным задачи с помощью чисел, знаков действий и скобок составляется числовое выражение.

Примеры: .

Если в числовом выражении выполнить все указанные в нем действия, то в результате получим число, про которое говорят, что оно равно данному числовому выражению.

Так первое числовое выражение равно 2, второе равно тоже 2, третье же равно 0.

Определение 1: Запись, составленная из чисел с помощью арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) называет числовым (арифметическим) выражением.

Числовое выражение может состоять из одного числа.

Определение 2: Значением числового выражения называется число, полученное в результате выполнения указанных в числовом выражении действий.

<Слайд 13>

Примеры: Поезд двигался сначала 50 минут со скоростью шестьдесят километров в час, затем остановился на станции на десять минут, потом двигался еще один час со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость движения поезда.

Решение: По определению средней скорости движения она равна отношению пройденного пути к затраченному на этот путь времени. Вычислим путь и время движения. Прежде всего учтем, что и (перешли к одинаковым единицам измерения времени). В начале движения был пройден путь , в конце – путь 40·1(км).

Общий пройденный путь описывается числовым выражением: .

Время, затраченное на этот путь (включая время, затраченное на остановку), описывается числовым выражением: . Тогда средняя скорость движения описывается выражением: . Если вычислить это выражение, то получим: .

Определение 3: Два числовых выражения, соединенные знаком «=», образуют числовое равенство. Если значения левой и правой частей числового равенства совпадают, то равенство называют верным, в противном случае – неверным.

Примеры: - верное числовое равенство;

- неверное числовое равенство, так как .

<Слайд 14>

Скобки помогают установить порядок действий. При этом предполагается, что все действия возможно осуществить. Всегда возможно произвести сложение, вычитание и умножение любых чисел. А вот делить одно число на другое можно, только если делитель не равен нулю: на нуль делить нельзя. Если в данном выражении на некотором этапе вычислений требуется делить на нуль, то это выражение не имеет смысла.

Примеры: . Эти выражения не имеют смысла.

<Слайд 15>

Повторить порядок выполнения действий в числовом выражении. Повторить правила выполнения действий с дробями.

5. Закрепление изученного материала.

Пр. №1 Установите, какие из следующих выражений имеют смысл и какие не имеют. Для имеющих смысл найдите числа, которым они равны.

а) - не имеет смысла так как .

б) - имеет смысл .

в) , имеет смысл.

<Слайд 16>

Пр. №2 Записать в виде равенства и проверить, верно ли оно:

а) 20% от числа 240 равны 62 ( не верно);

б) число 18 составляет 3% от числа 600 ( не верно);

в) произведение чисел и 5 составляет 11% от числа 700 верно;

г) четвертая часть числа 18 равна 5% от числа 90 верно;

д) число 111:3 равно 10% от числа : 3 = 0,1 · 370, верно);

е) 650% от числа 12 равны 77 (6,5 · 12 =≠ 77, не верно).

<Слайд 17>

Пр. №3 Вычислить:

а)  ;

б)  ; 1,49

в) 

г)  ; -13,6

д)  ; 3

<Слайд 18, 19>

6. Домашнее задание: конспект, 10 (А)

Вычислите:

1.  ;

2.  ;

3.  .

<Слайд 20>

7. Подведение итогов урока

<Слайд 21, 22>

А-7 Урок 2

Тема: «Числовые выражения».

Цели урока: напомнить правила действий с десятичными дробями и порядок действий при выполнении вычислений; отработать правила перевода десятичной периодической дроби в обыкновенную несколькими способами.

Ход урока:

1.  Организационный момент.

2.  Контрольные вопросы (опрос учащихся)

- Что называется числовым выражением?

- В каком случае числовое выражение не имеет смысла?

- Что называется значением числового выражения?

- Какое число называется обыкновенной дробью?

- Основное свойство дроби.

- Как сократить дробь?

- Как привести дроби к общему знаменателю?

- Как складываются (вычитаются) дроби?

- Какая дробь называется правильной? Неправильной?

- Какое число называется смешанным?

- Как умножаются дроби? Смешанные числа?

- Какие числа являются взаимно обратными?

- Как делятся дроби? Смешанные числа?

3.  Повторение изученного в 6 классе

Правильную дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее, можно записать в виде конечной десятичной дроби. Например: . Таким же образом можно записать смешанное число или неправильную дробь с таким знаменателем. Например: ; . Если знаменатель дроби содержит в разложении на простые множители только числа 2 и 5 в различных степенях, то такую дробь также можно представить в виде конечной десятичной дроби, выполнив деление «уголком».

Пример: Представить обыкновенную дробь в виде десятичной.

40 = 23·5.

.

Если знаменатель дроби содержит в разложении на простые множители кроме чисел 2 и 5 другие числа, то такую дробь можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Пример: Представить обыкновенную дробь в виде десятичной.

.

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической). Справедливо также обратное утверждение: любую конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Пример: .

4.  Изучение нового материала

Перевод десятичной периодической дроби в обыкновенную

С помощью линейного уравнения:

Пусть , умножим обе части уравнения на 102 (степень равна периоду дроби)

Ответ: .

С помощью правила:

Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо в числителе записать разность между числом, стоящим до второго периода, и числом, стоящим до первого периода, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Примеры:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

5.  Закрепление изученного

Вычислить:

1.  ; 0,5

2.  ; 1

3.  ; 1

4.  . 11

Процент. Основные задачи на проценты.

Задачи на проценты можно решать составлением пропорции. Если принять целое (b) за 100%, а его часть (a) – за p%, то получим пропорцию: целое (b) – 100%

часть (a) – p%.

Отсюда получаем: . Из этого равенства можно выразить любое его составляющее.

Примеры:

Решите задачу:

1.  Зарплата увеличилась сначала на 10%, а затем еще на 20%. На сколько процентов увеличилась зарплата по сравнению с первоначальной? (Ответ: на 32%)

2.  Что больше a% от b или b% от числа a? (Ответ: равны)

3.  Двое рабочих получали одинаковую зарплату. Зарплату первого рабочего сначала увеличили на 20%, а затем понизили на 20%. Зарплату второго рабочего, наоборот, сначала понизили на 20%, а затем увеличили на 20%. Какой рабочий стал получать больше? Как изменилась его зарплата по сравнению с первоначальной? (Ответ: стали одинаковыми и уменьшились на 4%)

4.  В первом куске массой 10 кг содержится 50% меди, а во втором, массой 5 кг, - 80% меди. Бруски сплавили. Сколько процентов меди содержится в новом сплаве? (Ответ: 60%)

6. Подведение итогов урока

7. Домашнее задание: конспект, №1 – 4(тетрадь красная); №9, 11, 13(тетрадь синяя 1)

Задания к уроку

Вычислите:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

Решите задачу:

1.  Зарплата увеличилась сначала на 10%, а затем еще на 20%. На сколько процентов увеличилась зарплата по сравнению с первоначальной?

2.  Что больше a% от b или b% от числа a?

3.  Двое рабочих получали одинаковую зарплату. Зарплату первого рабочего сначала увеличили на 20%, а затем понизили на 20%. Зарплату второго рабочего, наоборот, сначала понизили на 20%, а затем увеличили на 20%. Какой рабочий стал получать больше? Как изменилась его зарплата по сравнению с первоначальной?

4.  В первом куске массой 10 кг содержится 50% меди, а во втором, массой 5 кг, - 80% меди. Бруски сплавили. Сколько процентов меди содержится в новом сплаве?