Варианты заданий для второй части

итоговой аттестационной работы.

учебный год

Вариант 1

13. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см. Найдите основание треугольника.

14. В трапеции ABCD (AD || BC, AD > BC) на диагонали AC взята точка E такая, что BE||CD. Докажите, что площади треугольников ABC и DEC равны.

15. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника.

Вариант 2

13. Три окружности с радиусами 1 см, 2 см и 3 см попарно касаются друг друга. Найдите длину окружности, проходящей через центры данных окружностей.

14. Найдите площадь трапеции, основания которой 16 см и 28 см, а диагонали – 17 см и 39 см.

15. А и В – фиксированные точки на плоскости. Укажите геометрическое место точек М этой плоскости, для которых А, В и М – вершины равнобедренного треугольника.

Вариант 3

13. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно основанию АС проведена прямая ВD. Через точку К – середину высоты ВH проведен луч АК, пересекающий прямую ВD в точке D, а сторону ВС в точке N. Определите, в каком отношении точка N делит сторону ВС.

14. Найдите площадь трапеции, основания которой 6 см и 26 см, а боковые стороны – 12 см и 16 см.

15. Дана трапеция, в которую можно вписать окружность. Докажите, что окружности, построенные на её боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга.

Вариант 4

13. Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 лежат внутри окружности с центром O радиуса R и касаются ее в двух различных точках. Найдите периметр треугольника OO1O2.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

14. Треугольник АBC, стороны которого 13 см; 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку пересечения медиан М с вершинами треугольника. Найдите площадь треугольника BMC.

15. Каждая высота параллелограмма не меньше той стороны, которой она перпендикулярна. Докажите, что параллелограмм является квадратом.

Вариант 5

13. В равнобокой трапеции, площадь которой равна 27 см2, одно из оснований в два раза больше другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите основания трапеции.

14. Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, а прямые AD и BC – в точке Q. Докажите, что прямые AB и PQ перпендикулярны.

15. Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до этой прямой.

Вариант 6

13. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СD к гипотенузе АВ. Найдите AB, если BC = 2 см; АD = 1 см.

14. На стороне АВ параллелограмма АВСD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны AD. Найдите углы параллелограмма.

15. Каждая диагональ четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что данный четырехугольник – параллелограмм.

Вариант 7

13. Два круга радиусами по 5 см имеют общую хорду длины . Найдите площадь общей части этих кругов.

14. Боковые стороны трапеции лежат на перпендикулярных прямых. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции равен половине разности длин оснований.

15. В треугольнике АВС проведена биссектриса AK. Центр окружности, вписанной в треугольник ABK, и окружности, описанной около треугольника ABС совпадают. Найдите углы треугольника АВС.

Вариант 8

13. Две стороны треугольника имеют длины 10 см и 6 см, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 7 см. Найдите угол между данными сторонами треугольника.

14. В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на стороне АB, и по одной вершине – на сторонах АC и ВС. Найдите площадь квадрата, если АB = 40 см, а высота, проведенная из вершины С, имеет длину 24 см.

15. Вне квадрата, на его стороне, построен прямоугольный треугольник, у которого сторона квадрата является гипотенузой. Докажите, что биссектриса прямого угла этого треугольника проходит через центр квадрата.

Вариант 9

13. Докажите, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то сумма квадратов их длин равна квадрату суммы длин оснований.

14. В треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки 6 см и 8 см. Найдите длины сторон треугольника.

15. Высота, биссектриса и медиана треугольника, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части. Найдите углы треугольника.

Вариант 10

13. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки E, F и G – середины сторон AB, BC и AD соответственно, причем, GE^AB, GF^BC. Найдите угол ACD.

14. В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 1 : 3. Диагонали ромба равны 18 см и 24 см. Найдите стороны треугольника, содержащие стороны ромба.

15. Две противоположные стороны выпуклого четырехугольника лежат на перпендикулярных прямых. Докажите, что расстояние между серединами двух других сторон четырехугольника равно расстоянию между серединами его диагоналей.

Вариант 11

13. В параллелограмме АВСD диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Найдите АС, если AD = 6 см, BD = 5 см.

14. В шестиугольнике ABCDEF: AB = AF, BC = CD, DE = EF. Докажите, что биссектрисы углов А, С и Е пересекаются в одной точке.

15. Две стороны треугольника имеют длины 6 см и 12 см, а угол между ними равен 120°. Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Вариант 12

13. В треугольнике со сторонами 30 см, 25 см и 11 см найдите длину высоты, проведенной из вершины меньшего угла.

14. Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 29 см, а средняя линия – 21 см.

15. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, имеющих заданную длину.

Вариант 13

13. В треугольнике АВС проведены медианы АМ и CN. Найдите расстояние между их серединами, если АС = 16 см.

14. В треугольнике АВС угол А больше угла В, а угол В больше угла С. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности?

15. Дан прямой угол. Найдите геометрическое место середин всех отрезков одной и той же длины с концами на сторонах этого угла.

Вариант 14

13. В прямоугольном треугольнике АВС (ÐС – прямой) проведена высота СD, а в треугольнике АСD биссектриса СЕ. Докажите, что треугольник АСD равнобедренный.

14. В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой одного из углов трапеции. Определите, в каком отношении диагонали трапеции делится точкой их пересечения.

15. Треугольник АВС – равносторонний со стороной, равной а. На расстоянии а от вершины А взята точка D. Найдите угол BDC.

Вариант 15

13. В треугольнике ABC биссектриса AE равна отрезку EC. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что AC = 2AB.

14. В равнобокую трапецию с острым углом 30° вписана окружность. Найдите отношение длины окружности к периметру трапеции.

15. Внутри треугольника АВС взята точка D такая, что ÐABD = ÐACD = 45°. Докажите, что отрезки AD и BC перпендикулярны и равны, если угол ВАС равен 45°.

Вариант 16

13. В трапеции АВСD диагонали АС и BD перпендикулярны. На большем основании AD выбрана точка М так, что BM = MD = 3 см. Найдите длину средней линии трапеции.

14. Найдите углы треугольника, если высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине треугольника на три равные части.

15. Две окружности пересекаются в точках А и В, прямая CD – общая касательная этих окружностей (C и D – точки касания). Прямые АВ и CD пересекаются в точке N. Докажите, что N – середина CD.

Вариант 17

13. В прямоугольной трапеции АВСD высота АВ равна сумме оснований АD и ВС. Биссектриса угла АВС пересекает сторону СD в точке K. В каком отношении эта точка делит СD?

14. В окружность диаметра см вписан шестиугольник, одна сторона которого 10 см, а все остальные равны между собой. Найдите его углы.

15. На окружности с центром О дана точка А. Найдите геометрическое место середин всех хорд этой окружности, проведенных из точки А.

Вариант 18

13. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.

14. Точки М и N – середины сторон CD и ВС параллелограмма АВСD. Докажите, что отрезки АМ и AN делят диагональ BD на три равные части.

15. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC выбрана произвольная точка М и из нее опущены перпендикуляры МК и МР на катеты этого треугольника. Определите, при каком положении точки М длина отрезка РК будет наименьшей.

Вариант 19

13. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 16 см и боковой стороной 10 см.

14. В треугольнике со сторонами 4 см, 5 см и 8 см найдите длину медианы, проведенной из вершины большего угла.

15. Докажите, что в выпуклом четырехугольнике середина отрезка, соединяющего середины его диагоналей, совпадает с точкой пересечения отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон.

Вариант 20

13. Биссектриса CD прямого угла треугольника АВС делит гипотенузу на отрезки 15 см и 20 см. Найдите катеты треугольника.

14. Медиана треугольника в полтора раза больше стороны к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

15. Окружность, построенная на основании AD трапеции ABCD как на диаметре, проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции и касается основания BC. Найдите углы трапеции.