Календарный план занятий по дисциплине “Математика”

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Озерский технологический институт – филиал НИЯУ МИФИ

Кафедра высшей математики

КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН

занятий по дисциплине

“Математика”

(I семестр)

на осенний семестр 2013/2014учебного года

для группы 1ХТ-13Д

Лекции - 36 час.

Практические занятия - 72 час.

Форма отчетности - экзамен

Акопян

Зав. кафедрой

2013 г.

1. Лекции

Матрицы. Операции над матрицами и их свойства. Определитель квадратной матрицы п-го порядка. Свойства определителя матрицы. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера решения системы линейных уравнений с n неизвестными. Линейная зависимость и независимость системы строк и столбцов. Минор матрицы, базисный минор матрицы. Ранг матрицы, свойства ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Общая схема исследования систем линейных алгебраических уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Свойства решений. Фундаментальная система решений. Линейные пространства. Размерность и базис линейного пространства. Переход к новому базису. Евклидово пространство. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Базисы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Задача о нахождении координат вектора. Задача о делении отрезка в данном отношении. Система координат. Координаты точки. Декартовы системы координат на плоскости и в пространстве. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Переход от одной системы координат к другой. Компонента вектора на прямую и её свойства. Проекция вектора на ось и ее свойства. Скалярное произведение векторов, его свойства. Вычисление скалярного произведения векторов в координатной форме. Задача о нахождении расстояния между двумя точками. Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства. Вычисление векторного и смешанного произведений в координатной форме.

8.  Способы задания линий на плоскости. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Задача о нахождении расстояния от точки до прямой.

9.  Способы задания линий и поверхностей в пространстве. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

10.  Нормальное уравнение плоскости. Задача о нахождении расстояния от точки до плоскости. Прямая в пространстве: общее задание, канонические и параметрические уравнения. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости.

11.  Эллипс, гипербола, парабола: определение, вывод канонического уравнения, свойства. Эксцентриситет и директрисы эллипса, гиперболы и параболы. Перенос начала координат, поворот осей. Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду с помощью переноса начала координат и поворота осей. Классификация кривых второго порядка.

12.  Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды. Метод сечений. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения.

13.  Вещественные числа. Множества. Основные понятия: операции над множествами, отображение множеств, счетные и несчетные множества. Точные верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема об их существовании у непустого ограниченного множества. Комплексные числа.

14.  Числовые последовательности. Ограниченные последовательности. Предел последовательности. Лемма. Свойства предела последовательности. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности, их свойства.

15.  Монотонные последовательности. Достаточное условие сходимости монотонной последовательности. Число e. Лемма о вложенных отрезках. Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.

16.  Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений предела функции в точке. Понятие об односторонних пределах. Свойства предела функции. Критерий Коши существования предела функции в точке.

17.  Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Непрерывность функции в точке и на множестве. Различные определения непрерывности. Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Точки разрыва и их классификация.

18.  Свойства функций, непрерывных на отрезке. Понятие о равномерной непрерывности. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке.

2. Практические занятия

1.	Матрицы, действия над матрицами.
2-3.	Определители, их свойства. Методы вычислений
4.	Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера
5.	Обратная матрица. Решение матричных уравнений
6-7.	Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
8.	Ранг матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений
9.	Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений
10.	Контрольная работа по теме “ Действия над матрицами, вычисление определителей. Решение систем линейных алгебраических уравнений ”
11.	Векторы. Действия над векторами
12.	Координаты вектора. Коллинеарность векторов. Разложение вектора по базису
13.	Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении
14.	Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось
15.	Векторное произведение векторов
16.	Смешанное произведение векторов. Контрольная работа по теме “Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения”
17.	Уравнения прямой на плоскости
18.	Взаимное расположение прямых на плоскости, угол между прямыми
19.	Нормальное уравнение прямой: составление, расстояние от точки до прямой, уравнение биссектрисы угла
20.	Контрольная работа по теме “ Уравнение прямой на плоскости”. Уравнения плоскости
21.	Уравнения плоскости
22.	Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями. Нормальное уравнение плоскости: составление, расстояние от точки до плоскости
23.	Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости
24.	Кривые 2-го порядка. Канонические уравнения.
25.	Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду
26.	Поверхности 2-го порядка. Метод сечений.
27.	Полярная система координат
28.	Цилиндрические и сферические системы координат
29-31.	Вычисление пределов последовательностей
32.	Вычисление пределов функций
33-34.	Сравнение бесконечно малых функций
35.	Контрольная работа по теме “Вычисление пределов функции”
36.	Непрерывность функции в точке и на множестве

3. Коллоквиум

Коллоквиум по теме «Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений» проводится на 5 неделе.

4. Список литературы

1.  "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры", Москва: Наука, 1984.

2.  "Сборник задач по аналитической геометрии", Москва: Наука, 1986.

3.  "Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)", Москва: Высшая школа, 1983.

4.  "Курс математического анализа".

5.  “Сборник задач по курсу математического анализа”, Москва: Наука, 1978

5. Индивидуальные домашние задания.

№	Тема задания	Номера заданий	Срок выдачи	Срок сдачи
1.	Исследование систем линейных алгебраических уравнений.	. Расчетные задания	Все задания выдаются на первом занятии	4 неделя
2.	Векторная алгебра.	:“Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)”, Раздел IX, задачи 1-6	7 неделя
3.	Уравнение прямой на плоскости	: “Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)”, Раздел IX, задачи 7-10, 12-14	11 неделя
4.	Вычисление пределов функции	: “Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)”, раздел I, задачи 3, 5-15, 18	17 неделя

6. Вопросы к экзамену

1.  Матрицы. Операции над матрицами и их свойства. Свойства операций над матрицами.

2.  Определитель квадратной матрицы п-го порядка. Свойства определителя матрицы.

3.  Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Формулы вычисления обратной матрицы.

4.  Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера решения системы линейных уравнений с n неизвестными.

5.  Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

6.  Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

7.  Минор матрицы, базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре.

8.  Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений.

9.  Общая схема исследования систем линейных алгебраических уравнений. Примеры.

10.  Однородные системы линейных уравнений. Свойства решений. Фундаментальная система решений.

11.  Линейные пространства. Размерность и базис линейного пространства. Переход к новому базису. Евклидово пространство.

12.  Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

13.  Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

14.  Базисы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора.

15.  Компонента вектора на прямую, её свойства.

16.  Проекция вектора на ось и ее свойства.

17.  Скалярное произведение векторов, его свойства. Вычисление скалярного произведения векторов в координатной форме.

18.  Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства.

19.  Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.

20.  Система координат. Координаты точки. Декартовы системы координат на плоскости и в пространстве.

21.  Перенос начала координат, поворот осей. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Переход от одной системы координат к другой.

22.  Теорема об уравнении прямой на плоскости.

23.  Различные виды уравнений прямой на плоскости.

24.  Задача о нахождении расстояния между двумя точками, задача о делении отрезка в данном отношении, задача о нахождении площади треугольника.

25.  Нормальное уравнение прямой на плоскости. Нахождение расстояния от точки до прямой,

26.  Взаимное расположение прямых на плоскости.

27.  Теорема об уравнении плоскости.

28.  Различные виды уравнения плоскости.

29.  Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

30.  Прямая в пространстве. Общее задание, канонические и параметрические уравнения.

31.  Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости.

32.  Эллипс. Определение, вывод канонического уравнения.

33.  Гипербола. Определение, вывод канонического уравнения.

34.  Парабола. Определение, вывод канонического уравнения.

35.  Эксцентриситет и директрисы эллипса, гиперболы и параболы.

36.  Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду с помощью переноса начала координат и поворота осей. Классификация кривых второго порядка.

37.  Эллипсоид.

38.  Гиперболоиды.

39.  Параболоиды.

40.  Цилиндрические поверхности.

41.  Конические поверхности.

42.  Поверхности вращения.

43.  Комплексные числа. Геометрическое изображение комплексных чисел. Их алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел, формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

44.  Числовые последовательности. Предел последовательности. Лемма.

45.  Предел последовательности. Свойства предела последовательности.

46.  Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности, их свойства.

47.  Монотонные последовательности. Достаточное условие сходимости монотонной последовательности.

48.  Число .

49.  Лемма о вложенных отрезках.

50.  Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Понятие верхнего и нижнего предела последовательности.

51.  Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

52.  Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений предела функции в точке.

53.  Свойства пределов функции (единственность предела, предел модуля функции, арифметические свойства пределов, локальная ограниченность функции, сохранение знака, предельный переход в неравенствах, теорема о пределе 3-х функций, предел сложной функции).

54.  Критерий Коши существования предела функции в точке.

55.  Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.

56.  Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.

57.  Непрерывность сложной и обратной функции. Точки разрыва и их классификация.

58.  Непрерывность функции на множестве. 1-я теорема Вейерштрасса.

59.  Непрерывность функции на отрезке. 2-я теорема Вейерштрасса.

60.  Непрерывность функции на отрезке. Теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении.

61.  Понятие о равномерной непрерывности. Теорема Кантора.