Статически неопределимые задачи кручения

4.4. Статически неопределимые задачи кручения

Такие задачи обычно возникают, если перемещение вала ограничено в некоторых сечениях, например, ( рис. 4.9 ), когда его концы защемлены. В

одно уравнение равновесия: :

входят два неизвестных момента в опорах, поэтому задача является статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение перемещений. Рассмотрим перемещения (углы поворота) сечений, являющихся границами участков вала. . .

. .

Так как сечение вала защемлено, то , откуда: . Это и есть дополнительное уравнение перемещений. В него подставляем значения формул ( 4.7 ) на участках, в которых крутящие моменты выражены через один неизвестный опорный момент и находим значение этого момента.

4.5. Потенциальная энергия деформации при кручении

Вырежем из вала длиной l участок длиной dz. На этом участке выделим бесконечно малое волокно площадью поперечного сечения dA

( рис. 4Так как при кручении материал испытывает деформацию сдвига, используем выражение ( 4.2 ) для удельной потенциальной энергии деформации при сдвиге. Потенциальная энергия деформации бесконечно малого волокна

Потенциальная деформация деформации участка вала длиной dz будет:

Полная потенциальная энергия деформации вала длиной l

Так как при кручении τ = ( МК / IР ) r, то

Сокращая на IР , получим выражение для потенциальной энергии деформации при кручении

( 4.8 )

4.6  . Кручение стержней некруглого поперечного сечения

При кручении стержней (валов) не круглого и не - кольцевого поперечных сечений, не выполняются допущения, принятые при кручении круглых и кольцевых валов: плоские поперечные сечения стержня не остаются плоскими при кручении, а депланируют (искривляются); прямые радиусы, проведенные в плоских сечениях, искривляются; рассто-яние между сечениями изменяется ( рис. 4Если стержень постоянного сечения по всей длине негде не защемлен и закручивающие моменты, расположены на его концах, то все сечения депланируют одинаково, и нормальные напряжения не возникают. Такое кручение называется свободным. Однако, с достаточной для практических целей точностью, для некруглых стержней можно пользоваться формулами, выведенными для круглого стержня, заменив и на - момент инерции при кручении, и -момент сопротивления при кручении.

Тогда: , ,

Для прямоугольного поперечного сечения ( рис. 4.12 )

, .

Здесь и - зависят от отношения .

Коэффиценты.	Отношение большей стороны сечения к меньшей .
1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	4.0	5.0	6.0…	10
	0.208	0.231	0.246	0.258	0.267	0.282	0.291	0.299…	0.333
	0.141	0.214	0.229	0.249	0.263	0.281	0.291	0.299…	0.333

Часто для расчета сложных конструкций используют моделирование или аналогии. В частности, для расчета на кручение стержней сложного поперечного сечения используют мембранную аналогию. Задача о кручении стержня сводится к такому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии тонкой пленки, натянутой на контур того же очертания, что и контур поперечного сечения стержня и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. На рис. 4.13,а показано поведение пленки под давлением, на рис. 4.13,б приведено качественное распределение напряжений при кручении стержня сложного профиля. С помощью специального прибора и тарированной пленки можно получить и количественные результаты. Для этого, чтобы учесть жесткость пленки, такой же эксперимент проводят с круглым отверстием, откуда и получают необходимую жесткость пленки, так как решение в этом случае можно получить точно.

4.7. Свободное кручение тонкостенных стержней

Тонкостенными называют стержни, у которых один размер поперечного сечения - толщина профиля , меньше другого - длины контура поперечного сечения s. Стержни бывают открытого ( рис. 4.14 ) и замкнутого ( рис. 4.15) профилей. Используем мембранную аналогию. Характер поведения пленки и, соответственно, касательных напряжений в тонкостенных стержнях открытого и замкнутого профилей принципиально разный ( рис. 4.16 и рис. 4Если стержень открытого профиля выпрямить в длинный прямоугольник, то форма пленки не изменится.

Тогда для прямоугольного сечения при , имеем: ,.

Если стержень открытого профиля не выпрямляется в один прямоугольник, а состоит из прямоугольников, то

. Максимальное напряжение возникают на участке с наибольшей толщиной .

На внутренних углах профиля возникает концентрация напряжений, поэтому внутренние углы выполняют скругленными.

Рассмотрим кручение тонкостенного стержня замкнутого профиля.

Вырежем участок стержня длиной ( рис.4.18 ) и проведем два сечения, параллельные оси стержня и перпендикулярные средней линии профиля. Рассмотрим равновесие элементарной призмы. Спроектируем силы, возникающие от действия парных касательных напряжений, на ось стержня t1 d1 dz = t2 d2 dz, откуда . Выделим элементарную площадку dds ( рис. 4Элементарный крутящий момент, возникающий от напряжений на этой площадке, будет td*ОА*ds. Полный крутящий момент Здесь –удвоенная пло-щадь . Интеграл , где площадь - , ограниченная средней линией контура. Тогда, , откуда .

Угол закручивания стержней замкнутого профиля определяется из равенства энергии деформации и работы внутренних сил

, , что выполняется при однородном по длине стержне.

Так как , то . Работа ,

откуда . Если , то .

Рассмотрим пример на кручение цельной трубы и трубы, разрезанной вдоль оси. Обе трубы имеют одинаковую толщину , длину и средний диаметр .

Цельная труба ( рис. 4.20,а ).

.

Труба разрезанная вдоль оси ( рис. 4.20,б ).

, .

Отношение напряжений и перемещений

, ,

показывает, что так как ,

то , .

Поэтому ограничивают депланацию, и рекомендуется при кручении использовать стержни замкнутого профиля, то есть, если нужно изготовить стержень, работающий на кручение, из двух швеллеров, то лучше их сварить так, как показано на рис. 4.21,а, а не так, как показано на рис. 4.21,б.