Экзаменационные вопросы

Экзаменационные вопросы

1)  Общий вид СЛУ m x n и основные определения.

2)  СЛУ 2 x 2, решение системы и ее геометрическая интерпретация.

3)  СЛУ 3 x 3, решение системы и ее геометрическая интерпретация.

4)  СЛУ m x n. Равносильные (эквивалентные) системы и элементарные преобразования со строками трех типов.

5)  СЛУ n x n, основные определения.

6)  СЛУ со ступенчатой матрицей. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду (Метод Гаусса).

7)  Матрицы, основные определения и простейшие свойства.

8)  Умножение матриц и его свойства. Примеры, связанные с не коммутативностью произведения и равенству ноль-матрице.

9)  Элементарные преобразования с матрицами трех типов. Приведение матрицы к ступенчатому виду.

10)  Элементарные матрицы трех типов. Матричные единицы. Приведение матрица к диагональному виду.

11)  Определение определителя матрицы произвольного порядка.

12)  Основные свойства определителей. Критерий равенства нулю определителя.

13)  Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы и ее единственность.

14)  Метод Гаусса нахождения обратной матрицы и пример с произвольной матрицей второго порядка.

15)  Ранг матрицы и его простейшие свойства. Теорема о ранге матрицы при элементарных преобразованиях. Связь ранга матрицы с линейной независимостью сток (столбцов).

16)  Матричная форма записи СЛУ. Решение с помощью обратных матриц. Метод Крамера для СЛУ n x n. Матричные уравнения.

17)  Линейное (векторное) пространство, определение и примеры.

18)  Системы векторов, линейная зависимость и независимость. Линейная оболочка. Базис и размерность пространства. Теорема о единственности разложения по базису. Координаты вектора.

19)  Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами одного и того же оператора в различных базисах.

20)  Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Характеристическое уравнения и характеристический многочлен. Теорема о характеристическом многочлене в различных базисах.

21)  Некоторые свойства собственных векторов линейного оператора. Теоремы о линейном операторе с диагональной матрицей.

22)  Евклидово пространство. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема Пифагора.

23)  Ортонормированный базис в Евклидовом пространстве. Процесс ортогонализации. Ортогональные матрицы и ее связь с преобразованием ортонормированного базиса.

24)  Уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

25)  Уравнение прямой и плоскости в трехмерном пространстве. Векторное произведение и его геометрический смысл.

Кривые второго порядка на плоскости. Канонический вид кривых второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола