, Тархов нейросетевые модели и их применение. // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей XIII Междунар. научно-техн. конф. – Пенза: ПДЗ, 2013. – С. 5‑8.
ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ НЕЙРОСЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
,
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет,
г. Санкт-Петербург, Россия,
a. *****@***com, *****@***com
Рассмотрены проблемы математического моделирования сложных систем на основе нейросетевой методологии. Параметры систем заданы в некоторых интервалах изменения. В качестве примера приводится построение устойчивой нейросетевой модели процессов в пористом катализаторе. Другим примером является нейросетевая модель нестационарного температурного поля в случае как классической, так и неклассической постановки задачи.
Vasilyev A. N., Tarkhov D. A. Parametrized neural network models and their applications. Problems of mathematical modeling for complex systems are considered in the paper in terms of neural network technique. System parameters are given in some variation intervals. Construction of robust neural network model of processes in porous catalyst is cited as an example. Neural network model of nonstationary temperature field in the case of both classical and nonclassical problem statement is another example.
Задача построения параметризованной модели возникает в случае, когда требуется исследовать поведение решения в зависимости от некоторого параметра, идентифицировать значение параметра по данным измерений или когда определяющие моделируемую систему характеристики известны не точно, а заданы значениями, распределёнными в некоторых интервалах – интервальными параметрами.
Поясним суть нашего подхода [1] на простейшей краевой задаче
(1)
где A(u) – некоторый дифференциальный оператор; B(u) – оператор, позволяющий задать граничные условия; Г – граница области W.
Модификация задачи состоит в том, что в её постановку входят параметры r=(r1, …, rk), меняющиеся на некоторых интервалах: 
, – меняется и представление для приближённого решения задачи:
(2)
Ищем приближённое решение задачи (2) в виде выхода искусственной нейронной сети заданной архитектуры 
, веса которой – линейно входящие параметры ci и нелинейно входящие параметры ai – определяются в процессе поэтапного обучения сети на основе минимизации функционала ошибки вида
Здесь 
– периодически перегенерируемые пробные точки в области 
; 
– пробные точки на её границе 
; d>0 – штрафной параметр.
Рассмотрим некоторые примеры.
1. Анализ баланса тепла и массы в плоской грануле пористого катализатора при каталитической химической реакции приводит – в безразмерных переменных – к изучению следующей нелинейной граничной задачи [2]: требуется найти решение y(x) обыкновенного дифференциального уравнения 
удовлетворяющее краевым условиям 
К этой нелинейной задаче был применён упомянутый выше нейросетевой подход. Наиболее эффективным оказалось использование гетерогенной нейронной сети с базисными нейроэлементами вида
Минимизируемый функционал ошибки J(y) задавался в форме
Вычисления проводились для следующих интервалов изменения параметров aÎ(0,05; 0,15), bÎ(0,4;0,6), gÎ(0,8;1,2). Оптимальные значения весов приближённого нейросетевого решения y(x,a,b,g) подбирались на основе минимизации функционала J с помощью варианта метода плотного облака, который в данном случае оказался наиболее эффективным. Для сети из N=30 нейроэлементов при следующих значениях параметров: размер облака e=0,03, штрафной множитель d=1, число тестовых точек M=100, приближённое решение задачи в контрольных точках отличается от приведённых в монографии [2] данных менее чем на 2%.
2. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в предположении, что коэффициент температуропроводности известен неточно, имеет вид:
, 
, 
.
Будем искать приближённое решение задачи в виде выхода нейронной сети 
.
Обучение сети осуществлялось через минимизацию функционала ошибки:
,
где w=(w1, …, wN) – вектор весов сети;
– слагаемое, отвечающее уравнению;
– слагаемое, отвечающее граничным условиям;
– слагаемое, отвечающее начальным условиям (одинаковым для образцов с разными значениями r); db, dc>0 – «штрафные» множители.
Для подбора структуры используется вариант метода растущих сетей с отбраковкой добавляемых элементов [1,3].
Результаты нейрокомпьютинга показали, что и в случае зашумлённых данных Коши возможно продолжение решения по параметру r в достаточно широкий интервал изменения.
3. Построение нейросетевой модели температурного поля по точечным экспериментальным данным при условии, когда остывающие образцы имеют разный коэффициент температуропроводности. При этом начальное распределение температуры является одинаковым.
Формальная постановка задачи выглядит следующим образом: 
, ,
.
Решение задачи искалось в виде
.
Подбор весов осуществлялся через минимизацию функционала ошибки, который получается из функционала предыдущей задачи заменой последнего слагаемого на 
. Результаты нейрокомпьютинга в данной постановке задачи аналогичны результатам предыдущих двух постановок.
Библиографический список
1. , Тархов моделирование. Принципы. Алгоритмы. Приложения. – СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2009. – 528 с.
2. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. – М.: Мир, 1982. – 296 с.
3. , Тархов модели систем с интервально заданными параметрами на основе гетерогенных нейронных сетей. Продолжение температурного поля – классическая постановка задачи // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. – М.: Радиотехника, 2012. – №11. – С. 56 – 59.
