Напряжённое состояние в точке

IV. НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ

1.Напряжённое состояние в точке

Напр. сост. в точке – совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Нормальные и касательные напряжения , показанные на рисунке, положительные. Противоположные направления _ отрицательные.

,

Закон парности касательных напряжений.

Шесть независимых компонентов:

- Тензор (матрица) напряжений.

Через точку можно провести три взаимно перпендикулярные плорщадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Это – главные площадки, по ним действуют главные напряжения

Этими напряжениями можно заменить все другие напряжения, показанные на предыдущем рисунке. Поэтому главные напряжения играют большую роль при решении вопросов прочности в данной точке. Существуют три вида напряжённого состояния: трёхосное, двухосное и одноосное. Одноосное напряжённое состояние – это простое растяжение сжатие. Для этого случая важнейшие вопросы уже рассмотрены: напряжения, деформации, перемещения, вопросы жёсткости и прочности и т. д.

2. Двухосное напряжённое состояние

В строительных конструкциях двухосное (или плоское) напряжённое состояние встречается часто. Поэтому рассмотрим подробно. Определим напряжения на наклонной площадке призмы с основанием в виде треугольника, вырезанной из тонкой пластины.

Положение площадки в пространстве задается направляющими косинусами l, m:

Площади граней призмы, перпендикулярных осям:

.

Уравнение равновесия должны выполняться:

,

Разделим и левую и правую части на А, добавим второе уравнение и получим

(1)

По рисункам:

полное напряжение

нормальное и касательное напряжения

, .

3.Главные напряжения и главные площадки

Найти главные напряжения и положения главных площадок.

tg

(2)

(3)

Однородная система алгебраических уравнений. Тривиальное (нулевое) решение системы (3)

не годится, так как направляющие косинусы должны удовлетворять условию

(4)

Чтобы система (3) имела нетривиальное решение, определитель матрицы должен быть равным нулю, т. е.

(5)

(3), (4) решаются совместно. (5) представляет квадратное уравнение

(6)

инварианты напряжённого состояния.

- сумма нормальных напряжений.

-определитель матрицы напряжений. Решаем квадратное уравнение (6). Два корня, два главных напряжения

7)

Третье главное напряжение действует перпендикулярно чертежу, на основании призмы. Эта площадка свободна от нагрузки, поэтому

Полученные напряжения должны быть переобозначены ввиду выше принятой нумерации главных напряжений

.

Положения главных площадок могут быть найдены из уравнений (3). Будем определять две площадки через тангенсы соответствующих углов наклона. Разделим их на и легко найдём формулы для двух главных площадок

(8)

Пример. Имеется плоское напряжённое состояние, изображённое на рисунке.

Найти главные напряжения и положения главных площадок.

--

Счёт по формулам (7), (8) дал следующие результаты:

По значениям углов видно, что главные площадки взаимно перпендикулярны. , определённые разными вариантами формул (8), точно совпадают.

В заключение обратим внимание на то, что определение главных напряжений и положений главных площадок здесь полностью совпадает с проблемой определения собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы в линейной алгебре.

4.Круговая диаграмма напряжённого состояния

Используем формулы растяжения–сжатия в 2-х направлениях: (1) (2)

Формуле (1) легко придать вид

(3)

(2) и (3) возводим в квадрат и складываем

. (5)

Это уравнение окружности в системе .

Центр окружности имеет координату , радиус диаметр .Точка А имеет координаты . Это круг Мора, круговая диаграмма напряжённого состояния. Можно построить три круга Мора. Из рисунка можно получить значение наибольшего касательного наряжения

.

Для произвольного плоского напр. состояния.

Круги Мора для различных случаев.

5.Основы теорий прочности

Оценка прочности конструкций является основной задачей технической механики. Механ. состояния: упругое, пластическое и разрушения.

Коэф. зап.?= число, показыв. во сколько раз следует

увеличить все σi чтобы изменить мех. состояние.

- как найти эту функцию?

Существует несколько теорий прочности позволяющих найти эту функцию, а, следовательно, и вычислить . Тогда, прочность конструкции определяется как для растянутого стержня, т. е. проверяется условие прочности

где R –расчётное сопротивление материала, - коэффициент условий работы.

Теории прочности понадобятся нам при изучении более сложных видов деформаций будут изучены позже.

6. Обобщенный закон Гука

Для простых видов деформации: растяжение, чистый сдвиг

, , .

Для общего случая

(1)

(2)

(3)

(1) – (3) обобщенный закон Гука для изотропного тела. Для частного случая

.

7. Потенциальная энергия деформации

……………

Если напряжения главные

(4)

Для всего тела

, .

.

По (4):

,

.