Сценарий фильма «Точка, прямая, плоскость»
Эпизод 1 «Основные понятия начертательной геометрии»
Геометрия –это наука о пространственных закономерностях и свойствах объектов окружающего мира. Её раздел - начертательная геометрия исследует более специальные вопросы:- закономерности отображения объектов на различные поверхности (получения изображений), и методы построения обратимых изображений этих объектов, т. е. чертежей.
Существующий со средних веков набор правил и приемов построения изображений в начале 18 века был сформулирован как научная дисциплина французским ученым Гаспаром Монжем. Как и любой другой раздел математических знаний, начертательная геометрия построена в виде формальной системы, в которой выделены основные понятия, установлены правила отношений и связи между ними ( определены аксиомы ) , и в соответствии с установленными правилами и принципами формальной логики выведены закономерности, являющимися теоремами этой системы. Аксиомы и теоремы полностью определяют набор правильных утверждений, которые можно сформулировать в рамках данной формальной системы: если какое-то утверждение о свойствах и отношениях между объектами выводится из совокупности аксиом, то оно в рамках данной системы является правильным или истинным, в противном случае истинность его считается не установленной. Таким образом, свойства и содержание основных понятий раскрываются только в процессе вывода правильных утверждений формальной системы, т. е. доказательства теорем, по этой причине основные понятия не могут быть изначально определены. Однако, для основных понятий допускаются описания, дающие образные представления о этих объектах, это полезно для установления ассоциативных связей между вводимыми понятиями и объектами окружающего мира. В начертательной геометрии основными понятиями являются понятия геометрического объекта, точки, линии, поверхности, прямой, плоскости. Для образного представления этих понятий можно использовать описания, данные еще Евклидом, например точка – это объект, не имеющий размеров, либо кинематические описания: – линия –след движущейся точки, поверхность –след движущейся линии. Однако, любое такое описание, указывающее на некоторые свойства понятия как объекта формальной системы, конечно же не является исчерпывающим описанием сущности объекта, т. е. определением. Более того, мы должны быть готовы заменить описание понятий, если в процессе вывода утверждений о свойствах объектов окажется, что будут установлены свойства и отношения, противоречащие первоначальному описанию понятий.
Система аксиом начертательной геометрии содержит аксиомы трех видов. Это, прежде всего, аксиомы геометрии, сформулированные ещё Евклидом, дополняющие их аксиомы проективной геометрии ( первоначально сформулированные современником и соотечественником Гаспара Монжа – Понселе) и аксиомы теории множеств. В явном виде система аксиом начертательной геометрии обычно не формулируется – это соответствует традициям прикладных наук, в том числе и некоторых разделов математики, в основу выводов берется набор фундаментальных теорем, доказываемых либо в курсе геометрии либо в специальных математических курсах. Однако, при описании основных понятий начертательной геометрии через их свойства были использованы некоторые аксиомы. Например, описания прямой, как особой и единственной линии, проходящей через две точки пространства и плоскости, как особой и единственной поверхности, проходящей через три точки пространства, не принадлежащие одной прямой соответствуют аксиомам Евклида о свойствах прямой и плоскости. Также при описаниях основных понятий в неявном виде используется аксиома непрерывности сформулированная еще Евклидом и уточненная позднее в теории множеств ( аксиома континуума) - между двумя точками на линии всегда можно найти еще хотя бы одну точку. Известные отношения между основными понятиями ( объектами)– параллельность, перпендикулярность, принадлежность (включение), пересечение в начертательной геометрии также определяются на основе соответствующих аксиом.
Эпизод 2 « Метод проецирования. Свойства проецирования»
Для получения отображений геометрических объектов, произвольным образом расположенных в пространстве, в виде их изображений на поверхности, в начертательной геометрии используется метод проецирования. Для реализации метода необходимо задать поверхность, на которую выполняется проецирование (иногда берут сферическую, цилиндрическую поверхность, но чаще всего плоскость – эта плоскость называется плоскостью проекций) и центр проекций ( в частных случаях центр проекций может быть бесконечно удален от объекта и плоскости проекций – в этих случаях задают направление проецирования). Если ни одна точка объекта не расположена в плоскости, параллельной плоскости проекций и проходящей через центр проекций, то на плоскости будет однозначно определена область точек, являющаяся точками пересечения прямых, соединяющих центр проекций и точки объекта – проекция объекта. В общем случае такое изображение не является обратимым, т. е. дающее взаимно однозначное соответствие между точками объекта и точками его отображения на поверхность, однако в начертательной геометрии разработан ряд методов, позволяющих получать обратимые изображения или чертежи.
Набор утверждений, известных как свойства проецирования, по существу можно считать аксиоматической базой начертательной геометрии. Эти теоремы легко доказываются на основе упомянутой системы аксиом, но мы ограничимся только их формулировками и иллюстрациями. Первые три теоремы имеют место для общего случая проецирования. Общий случай проецирования можно определить как центральное проецирование
Свойство 1. Проекция точки есть точка.
Свойство 2. Проекция прямой есть прямая ( или точка, если прямая проходит через центр проекций).
Свойство 3. Если точка принадлежит прямой, то её проекция принадлежит проекции прямой.
Последующие свойства справедливы для очень распространенных частных случаев проецирования, когда центр проекций располагается неопределенно далеко от плоскости проекций и объекта. Все проецирующие прямые в этом случае являются параллельными прямыми (угол между ними равен нулю) и достаточно задать одну из таких прямых – она определит направление проецирования. Такой вид проецирования определяется как параллельное проецирование.
Свойство 4. При параллельном проецировании проекции параллельных прямых также параллельны.
Свойство 5. При параллельном проецировании сохраняется пропорциональность отрезков, отложенных на одной прямой либо на параллельных прямых.
Свойство 6. Проекция объекта при параллельном перемещении плоскости проекций не изменяется.
Свойство 7. ( следствие св. 6) Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, на данную плоскость проекций при параллельном проецировании проецируется в натуральную величину.
Особый частный случай – когда проецирующие прямые при параллельном проецировании направлены перпендикулярно плоскости проекций. Такой вид проецирования определяется как ортогональное или прямоугольное проецирование. Для него справедливы все предыдущие и еще два свойства.
Свойство 8. Длина проекции отрезка при ортогональном проецировании не превышает длины отрезка.
Свойство 9. ( теорема о проецировании прямого угла). Прямой угол при ортогональном проецировании проецируется в натуральную величину тогда и только тогда, когда одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей.
Эпизод 3 Методы получения обратимых изображений ( чертежей).
Во всех разработанных к настоящему времени методах получения обратимых изображений предусматривается процедура определения положения в пространстве точек, принадлежащих исходному объекту по их отображениям (проекциям ) на поверхностях проектирования (чаще всего плоскостях). Для проведения этой процедуры в каждом из методов необходимо определить координатную систему с установленной метрикой, во многих случаях определяются две координатные системы – пространственная координатная система, связанная с объектом и координатная система на плоскости проекций. Можно получить соотношения для преобразования координат, которые являются математической основой рассматриваемых методов, однако в начертательной геометрии процедуры построения изображений объектов ( прямая задача) и процедуры определения формы и размеров объекта ( обратная задача) реализуются путем графических построений. Каждый из разработанных методов получил свое развитие в определенной области технических приложений, но универсальное применение и широкое распространение имеет метод Монжа – комплексный многокартинный чертеж. По этой причине после краткого обзора других методов основное внимание будет сосредоточено на методе Монжа.
Метод проекций с числовыми отметками.
Метод нашел применение в строительстве, топографии, при составлении планов местности, зданий, сооружений. В методе используется одна плоскость проекций. Ортогональные проекции объектов дополняются значениями координаты, определяющей расстояние от плоскости проекций с учетом знака. Точки, имеющие одинаковые координаты соединяются линиями уровня, например на топографических поверхностях. Существуют графические методы, позволяющие определять взаимное положение объектов и натуральные размеры и формы объектов по их проекциям на чертежах с числовыми отметками.
Проекции с двумя центрами проецирования.
Если на одной плоскости разместить две центральные проекции объекта, указать расположение центров проекций, то становится возможным определение положения в пространстве всех точек объекта, т. е. изображение двух проекций при указанных условиях является обратимым изображением или чертежом. Этом метод обычно применяется для создания стереоскопических изображений на основе применения различных технических средств: бинокулярных микроскопов, очков с различными плоскостями поляризации линз или очков с различными цветами стекол, специальных проекционных устройств. Два центра проекций в таком случае как правило размещаются параллельно плоскости проекций на расстоянии, равном или близком межосевому расстоянию человеческих глаз.
Метод перспективных изображений.
Законы построения перспективных проекций установлены в средние века художниками Возрождения и немецким графиком А. Дюрером. Перспективные проекции незаменимы при построении реалистических изображений сцен из группы объектов. В качестве поверхности отображения в этом методе может использоваться цилиндрическая поверхность – в этом случае перспективное изображение называется панорамой, а также сферическая поверхность – купольная перспектива. Для создания обратимых перспективных проекций необходимо задать центр проецирования ( совпадает с положением наблюдателя), поверхность проецирования ( в случае плоской поверхности такая плоскость называется картинной плоскостью или картиной, а перспективная проекция – линейной перспективой), а также предметную плоскость, на которой расположены объекты и наблюдатель. На картинной плоскости при этих условиях однозначно определятся линия пересечения с предметной плоскостью –основание картины и параллельная ей линия, проведенная на расстоянии, соответствующем расстоянию от предметной плоскости до центра проецирования - линия горизонта. Построив на линии горизонта точку, соответствующую ортогональной проекции центра проекций на картинную плоскость – полюс картины, можно однозначно определить на картине изображение любой точки объекта, расположенного в пространстве. Для решения обратной задачи необходимо иметь изображения нескольких точек объекта, по крайней мере одна из них должна быть расположена на предметной плоскости.
Аксонометрические проекции
Аксонометрические проекции образуются при параллельном проецировании объекта вместе со связанной с объектом системой прямоугольных координат на заданную плоскость проекций. На осях системы координат должны быть заданы одинаковые отрезки, позволяющие установить коэффициенты искажений по каждой оси при аксонометрическом проецировании. Все виды аксонометрических проекций можно разделить на три группы: изометрии – с одинаковыми коэффициентами искажений по всем трем осям, диметрии – проекции, у которых совпадают коэффициенты искажений по двум осям, и триметрии – проекции с различными коэффициентами искажений по каждой из осей. Кроме того, в зависимости от направления проецирования разделяют ортогональные (прямоугольные) и косоугольные проекции. В соответствии с теоремой Польке любые три отрезка, проведенные из общей точки на плоскости, можно рассматривать как параллельную проекцию системы прямоугольных координат, имеющих одинаковые длины отрезков осей, т. е. аксонометрическую проекцию. Таким образом, теорема Польке устанавливает возможность существования неопределенно большого количества различных аксонометрических проекций, однако практическое применение нашли ограниченное число проекций, обладающие особыми свойствами. В первую очередь следует выделить две ортогональные проекции: прямоугольную изометрию и прямоугольную диметрию, у которых однозначно определены углы поворота системы координат в пространстве по отношению к плоскости проекций и проекции осей. Для стандартизированных косоугольных изометрий как фронтальной так и горизонтальной характерны отсутствие искажений при проецировании плоских элементов объекта, расположенных в плоскостях, параллельных плоскости проекций. Стандартная косоугольная диметрия также обладает таким свойством, но кроме того позволяет получить более наглядное и правдоподобное изображение объекта. В каждой из аксонометрических проекций возможно восстановление значений координат для точек объекта путем построения так называемой координатной ломаной линии –ломаной, все звенья которой параллельны соответствующим направлениям осей и отрезки которой с учетом проективных искажений в заданной проекции в соответствующем масштабе определяют значения координат.
Эпизод 4
Комплексный многокартинный чертеж
Рассмотрим закономерности построения комплексного многокартинного чертежа на примере простейшего геометрического объекта – точки. Для построения однозначного обратимого изображения данного объекта достаточно иметь две плоскости проекций. В соответствии с методом Монжа в пространстве задаются две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, одна из которых называется горизонтальной и обозначается П1 , а другая фронтальной и обозначается П2. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций и обозначается Х12 . Если на оси проекций задать точку отсчета, то в данной системе плоскостей естественным образом будет задана система трехмерных прямоугольных координат. Обычно направления осей выбираются из условия, что задана правосторонняя система координат, т. е. для наблюдателя, расположенного на горизонтальной плоскости в отсеке пространства с положительными значениями координат ось Х будет направлена влево, ось Y на него, а ось Z вверх. Если взять произвольную точку в том же отсеке пространства, где расположен наблюдатель, построить ортогональные проекции ее на плоскости проекций П1 и П2 , и провести через заданную точку и ее проекции плоскость, то плоский четырехугольник, соединяющий построенные точки и точку пересечения этой плоскости с осью проекций будет прямоугольником, т. к. по построению два противоположных его угла равны 90 градусам. Кроме того, плоскость четырехугольника будет перпендикулярна оси проекций, т. к. ей перпендикулярны два проецирующих луча, лежащих в этой плоскости, из чего следует, что ось проекций перпендикулярна всем сторонам четырехугольника.
Для построения двухкартинного чертежа одну из плоскостей проекций (обычно П2) совмещают с плоскостью изображения и вращают другую плоскость относительно оси проекций до совмещения с плоскостью изображения. На этой же плоскости отображается ось проекций, и отрезки прямых, соединяющих в соответствующих плоскостях проекции точек объекта с осью проекций – линии связи. Закономерности построения комплексного двукартинного чертежа, который получается при совмещении изображений двух проекций объекта на одной плоскости, определяются доказанными ранее утверждениями о плоском четырехугольнике, соединяющим проекции точек:
1. Линии связи перпендикулярны оси проекций.
2. Расстояния между проекциями точек и осью проекций на комплексном чертеже равны расстояниям от точек до плоскостей проекций в пространстве.
Проекции точек обозначают на комплексном чертеже с индексами, соответствующими плоскостям проекций, т. е. точка А будет иметь проекции А1 на горизонтальной плоскости и А2 на фронтальной плоскости проекций.
В некоторых случаях проекции объекта на двухкартинном чертеже не позволяют однозначно определить расположение объекта в пространстве. Например, две проекции прямых, принадлежащих плоскости, перпендикулярной оси проекций, в общем случае не являются взаимно - однозначным обратимым изображением этих прямых, т. е. чертежом. По этой причине широкое распространение получили комплексные чертежи, использующие дополнительные плоскости проекций –комплексные многокартинные чертежи. Рассмотрим закономерности образования наиболее часто применяемого комплексного трехкартинного чертежа. Если в системе двух плоскостей П1 и П2 задать третью плоскость П3, перпендикулярную оси проекций Х12, то для каждого объекта можно будет построить закономерным образом связанные между собой три ортогональные проекции, которые образуют комплексный трехкартинный чертеж.
Система плоскостей проекций в этом случае однозначно определит систему трехмерных прямоугольных координат, оси которых в этом случае будут являться линиями пересечения плоскостей проекций или осями проекций. Оси проекций Х12, Y13, Z23 пересекаются в точке, общей для трех плоскостей проекций : точке О –начало координат. Комплексный трехкартинный чертеж объекта, например точки, образуется совмещением плоскости П2 с плоскостью изображения и вращением плоскостей П1 и П3 относительно осей проекций Х12 и Z23 до совмещения с плоскостью изображения. На комплексном трехкартинном чертеже сохраняются все закономерности связи между проекциями, характерные для двухкартинного чертежа:
1. Линии связи перпендикулярны осям проекций.
2. Расстояния между проекциями точек и осями проекций на комплексном чертеже равны расстояниям от точек до плоскостей проекций в пространстве.
Кроме того, линии связи между проекциями точек на П1 и П3 представляют собой ломаные линии, каждое звено которых перпендикулярно соответствующей проекции Y13, поскольку эта ось на трехкартинном чертеже имеет две проекции. Каждую из таких линий связи легко построить проведя на трехкартинном чертеже через начало координат прямую, под углом 45 градусов к проекциям оси Y13 – постоянную чертежа.
Эпизод 5
Прямые на комплексном чертеже. Классификация прямых
На комплексном чертеже прямая однозначно задается проекциями двух точек, принадлежащих этой прямой. Поскольку, в соответствии со свойствами проецирования, проекция прямой есть прямая, а проекции точек расположены на проекциях прямой, на комплексном чертеже через соответствующие проекции точек можно провести проекции прямой. В большинстве случаев прямую на комплексном чертеже можно задать двумя своими проекциями без указания проекций точек, принадлежащих этой прямой. Однако, если на двухкартинном чертеже обе проекции прямой параллельны линиям связи, то для однозначного представления этой прямой необходимо указать проекции двух точек, принадлежащих прямой.
Прямые классифицируются по их расположению относительно плоскостей проекций. Если прямая наклонена в пространстве под каким–то углом, отличным от 0 и
90 градусов к каждой из плоскостей проекций, то она пересекает все плоскости проекций. Множество таких прямых получило название прямые общего положения. Характерным признаком таких прямых на комплексном чертеже является, что их проекции пересекают все оси проекций. Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой. На комплексном чертеже проекция следа расположена на соответствующей оси проекций. Прямая общего положения имеет три следа - на каждой из плоскостей проекций.
Множество прямых, параллельных одной из плоскостей проекций, называется прямые уровня. Все прямые уровня разделены на три группы: прямые, параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонталями, прямые, параллельные фронтальной плоскости проекций – фронтали, и прямые, параллельные профильной плоскости – профильные прямые. Каждая из этих прямых пересекает в общем случае только две из плоскостей проекций, т. е. имеет два следа. Характерным признаком прямых уровня на трехкартинном чертеже является параллельность соответствующим осям двух из трех проекций прямых.
Частным случаем прямых уровня, являются прямые, перпендикулярные соответствующим плоскостям проекций. Множество таких прямых получило название проецирующие прямые, поскольку их направление совпадает с направлением ортогонального проецирования на плоскости проекций. Различают горизонтально-проецирующие , фронтально-проецирующие и профильно-проецирующие прямые. Каждая проецирующая прямая является также прямой уровня относительно двух других плоскостей проекций, поэтому проецирующие прямые имеют только одну точку пересечения с плоскостью проекций, т. е. один след. Характерным признаком проецирующих прямых на комплексном чертеже является наличие вырожденной проекции прямой: на соответствующую плоскость проекций прямая проецируется в виде точки. Важно отметить, что все точки, расположенные на такой прямой, имеют проекцию, совпадающую с вырожденной проекцией прямой на данную плоскость проекций.
Эпизод 6. Взаимное расположение прямых.
Прежде чем рассматривать взаимное расположение прямых в пространстве следует расширить традиционное представление о пространстве, сформированное ещё Евклидом, введя новые понятия. Дополним обычное трехмерное пространство, определяемое как евклидово пространство, так называемыми несобственными элементами. Евклидово пространство, дополненное множеством несобственных элементов, определяется как проективное пространство. Общее представление о несобственных элементах можно составить рассматривая множества неограниченно удаленных точек от наблюдателя, находящегося в произвольной точке евклидова пространства. Каждая прямая в проективном пространстве имеет одну несобственную точку, каждая плоскость – одну несобственную прямую, а все множество несобственных элементов проективного пространства рассматривается как несобственная плоскость.
Прямые в пространстве могут иметь общую точку, в этом случае они называются пересекающимися. Если прямые имеют общую несобственную точку, то они определяются как параллельные. Прямые, не имеющие общих точек, называются скрещивающимися. В соответствии со свойствами параллельного проецирования, если прямые параллельны, то их проекции также параллельны, поэтому параллельность соответствующих проекций прямых на комплексном чертеже может служить признаком параллельности прямых. Исключением является случай, когда на двухкартинном чертеже проекции прямых параллельны линиям связи, поскольку, как уже было рассмотрено, в этом случае две проекции прямой не определяют прямую в пространстве, необходимо использовать признак параллельности на трехкартинном чертеже. Пересекающие прямые имеют общую точку, поэтому на комплексном чертеже их проекции пересекаются в точках, лежащих на одной линии связи. Проекции скрещивающихся прямых на комплексном чертеже либо пересекаются либо параллельны, но в любом случае не существует точек, в том числе и несобственных, принадлежащих одновременно обеим прямым. По этой причине точки пересечения проекций скрещивающихся прямых не могут лежать на одной линии связи.
Мерой угла между скрещивающимися прямыми является угол между прямыми, проведенными из одной точки, параллельно заданным. Важным частным случаем угла между прямыми является перпендикулярность прямых. В соответствии со свойством ортогонального проецирования, прямой угол проецируется в натуральную величину тогда и только тогда, когда одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей. По этой причине для прямых общего положения на комплексном чертеже невозможно установить факт их перпендикулярности по расположению проекций, однако такая возможность существует, если, по крайней мере одна из сторон угла является прямой уровня.
Эпизод 7. Задание плоскости на комплексном чертеже. Признаки принадлежности точки и прямой в плоскости.
В общем случае между плоскостями существует взаимно-однозначное проективное соответствие, т. е. каждой точке одной плоскости при проецировании на другую соответствует как проекция точка другой плоскости и наоборот, каждая точка плоскости как проекция при заданном механизме проецирования однозначно определяет точку на проецируемой плоскости. Это означает, что проекция плоскости, за исключением ряда частных случаев, занимает все поле проекций, и на комплексном чертеже не может определить плоскость. По этой причине, для того, чтобы задать плоскость на комплексном чертеже надо задать проекции геометрических объектов, однозначно определяющих плоскость. Чаще всего используются следующие способы определения плоскости:
- плоскость задается тремя точками, не лежащими на одной прямой
- прямая и точка, не принадлежащая этой прямой
- две пересекающиеся прямые
- две параллельные прямые (имеют несобственную общую точку)
- плоскость определена двумя прямыми, являющимися линиями пересечения данной плоскости с плоскостями проекций – следами плоскости. Этот способ является частным случаем задания плоскости двумя пересекающимися прямыми.
- любая плоская фигура (плоский многоугольник, дуга окружности, эллипс и др.) однозначно определяет плоскость
- в частном случае, когда плоскость перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, вырожденная проекция плоскости на данную плоскость проекций однозначно определяют плоскость.
Признаки принадлежности точки и прямой плоскости.
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит геометрическому объекту, определяющему плоскость. Прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой, принадлежат этой плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в плоскости ( принадлежащей плоскости) . Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую этой плоскости и параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости.Сформулированные признаки обычно приводят без доказательств, однако для их доказательства используются система аксиом геометрии и теории множеств. Так, свойства 1 и 3 представляют собой конкретные случаи применения свойства транзитивности множеств, свойство 4 есть прямое следствие свойства 2 в пространстве, дополненном несобственными элементами, а свойство 2 в некоторых вариантах системы аксиом Евклида является одной из аксиом.
Эпизод 8. Прямые в плоскости. Особые прямые плоскости.
Используя признаки принадлежности прямой плоскости на комплексном чертеже достаточно легко построить прямую, принадлежащую заданной плоскости. Несколько сложнее это сделать, если задана одна из проекций этой прямой, поскольку в ряде случаев эта задача не имеет решения. Так, например, в плоскости общего положения нельзя построить проецирующую прямую, в плоскости уровня нельзя построить прямую, не являющуюся прямой уровня, в проецирующей плоскости нельзя построить прямую, проекция которой не совпадает с вырожденной проекцией плоскости на соответствующей плоскости проекций. Особое значение для задач начертательной геометрии имеют построенные в плоскости прямые уровня и находящиеся в той же плоскости перпендикулярные к ним прямые, которые, как будет сейчас показано, следует называть прямые наибольшего наклона. По этой причине следует рассмотреть вопросы: как построить в плоскости прямые уровня, сколько их можно построить, всегда ли возможно такое построение?
Если взять точку в плоскости общего положения, то через нее можно провести прямые, параллельные следам плоскости для каждой из плоскостей проекций. В соответствии с определением, эти прямые будут параллельны соответствующим плоскостям, т. е. прямыми уровня. Согласно Пятому постулату Евклида, через точку, не принадлежащую прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной, таким образом через каждую точку в плоскости общего положения можно провести прямую уровня относительно каждой из плоскостей проекций и притом только одну.
Предположим, что кроме прямых уровня, через данную точку в плоскости построена прямая, перпендикулярная, например к горизонтали. Эта прямая будет перпендикулярна ко всем горизонталям, проведенным в плоскости, в том числе и горизонтальному следу плоскости. Проекция этой прямой в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла также будет перпендикулярна горизонтальному следу, т. е. угол между построенной прямой и ее проекцией по определению будет линейной мерой двугранного угла между плоскостями. С другой стороны, угол между прямой и ее проекцией на плоскость по определению является углом наклона прямой к плоскости, что позволяет сделать вывод: угол между прямой, перпендикулярной прямой уровня заданной плоскости и соответствующей плоскостью проекций является линейной мерой двугранного угла между заданной плоскостью и плоскостью проекций. Нетрудно показать, что этот угол является наибольшим углом между прямой, проведенной в заданной плоскости и плоскостью проекций, т. е. построенный перпендикуляр к прямой уровня вполне справедливо можно называть прямая наибольшего наклона к соответствующей плоскостью проекций. Также как и для прямых уровня через каждую точку плоскости общего положения можно провести прямую наибольшего наклона к каждой из плоскостей проекций и притом только одну.
В проецирующей плоскости также через произвольно взятую точку можно провести прямую уровня относительно каждой из плоскостей проекций, однако, поскольку два следа этой плоскости есть проецирующие прямые, то проецирующая прямая, проведенная в такой плоскости через произвольно взятую точку является прямой уровня относительно двух плоскостей проекций. Проведенная через произвольную точку параллельно вырожденной проекции плоскости прямая уровня одновременно является и прямой наибольшего наклона к двум другим плоскостям проекций, а проецирующая прямая, по определению, является прямой наибольшего наклона к соответствующей плоскости проекций. Таким образом, через произвольно взятую точку проецирующей плоскости можно провести только одну прямую уровня и одну прямую наибольшего наклона к каждой из плоскостей проекций.
Плоскость уровня является геометрическим местом прямых, параллельных соответствующей плоскости проекций, поэтому любая прямая, проведенная через произвольную точку такой плоскости является прямой уровня, в частности для горизонтальной плоскости будет горизонталью. Однако, плоскость уровня перпендикулярна двум другим плоскостям проекций т. е. имеет две вырожденные проекции (два следа), поэтому через каждую точку такой плоскости можно провести проецирующие прямые, параллельные этим плоскостям. Таким образом, через каждую точку плоскости уровня можно провести произвольное число прямых уровня относительно соответствующей плоскости проекций, каждая из этих прямых также может рассматриваться как прямая наибольшего наклона к этой плоскости проекций, а также по одной проецирующей прямой к двум другим плоскостям проекций, которые являются как прямыми уровня к одной из плоскостей проекций так и по определению, прямыми наибольшего наклона к другой плоскости проекций.
Эпизод 9. Взаимное положение прямой и плоскости.
Прямая в пространстве может быть параллельна плоскости (пересекаться в несобственной точке) и пересекаться с плоскостью, т. е. иметь с плоскостью общую точку в евклидовом пространстве. Частным случаем пересечения прямой и плоскости является перпендикулярность прямой. Признаки, позволяющие определить взаимное положение прямой и плоскости в пространстве, а также по их проекциям на комплексном чертеже обычно приводятся без доказательств, хотя доказательства легко получить на основе некоторых преобразований и конкретизации формулировок системы аксиом. Так, например, учитывая, что две параллельные прямые имеют общую несобственную точку, признаком параллельности прямой и плоскости является параллельность заданной прямой и какой-либо прямой, лежащей в плоскости: только при этих условиях заданная прямая и плоскость будут иметь общую несобственную точку. Прямая, перпендикулярная плоскости будет перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости, для этого достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. На комплексном чертеже для построения прямой, перпендикулярной плоскости, целесообразно использовать прямые уровня, принадлежащие плоскости – в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла прямой угол на соответствующих плоскостях проекций будет проецироваться в натуральную величину. Еще проще построить прямую, параллельную плоскости: в соответствии со свойством параллельного проецирования её проекции будут параллельны проекциям какой-либо из прямых, принадлежащих плоскости.
Классическую задачу построения точки пересечения прямой и плоскости на комплексном чертеже легко решить, если плоскость на какой-либо плоскости проекций задана своей вырожденной проекцией. Поскольку, проекция точки должна одновременно принадлежать как проекции прямой, так и вырожденной проекции плоскости она определяется без дополнительных построений. Для решения задачи в общем случае необходимо через проекцию прямой на какой-либо плоскости проекций провести вспомогательную проецирующую плоскость, построить прямую, принадлежащую как вспомогательной плоскости, так и заданной –её проекция будет совпадать с вырожденной проекцией вспомогательной плоскости а затем во вспомогательной плоскости построить точку пересечения этих двух прямых: это и будет искомой точкой. Условную видимость точек на прямой, а также участков прямой на плоскостях проекций определяют методом конкурирующих точек, для чего необходимо взять в плоскости прямую, скрещивающуюся с заданной. Как в пространстве, так и на проекциях наблюдатель видит в общем случае только один участок прямой вплоть до точки пересечения с плоскостью, другой участок показывается невидимым, т. к. плоскость считается непрозрачной.
Эпизод 10. Взаимное положение плоскостей.
Плоскости в пространстве могут пересекаться (иметь общую прямую) или быть параллельны (иметь общую несобственную прямую). Частным случаем пересечения плоскостей является взаимная перпендикулярность плоскостей. Прежде чем рассматривать признаки взаимного расположения плоскостей необходимо дать определение угла между плоскостями или двугранного угла. Если плоскости считать неограниченными в пространстве, то в качестве двугранного угла одинаково правомерно можно принять как острый, так и дополняющий его до 180 градусов тупой угол. Существуют два, различные по форме, но эквивалентные по существу определения угла между плоскостями:
Эквивалентность этих определений можно показать, построив плоский четырехугольник, две стороны которого есть перпендикуляры к плоскостям, а две другие – линии пересечения образованной плоскости с исходными плоскостями. Поскольку образованная плоскость четырехугольника перпендикулярна общей прямой заданных плоскостей то, по определению 1 один из углов четырехугольника будет являться линейной мерой угла между заданными плоскостями, а противоположный ему угол также будет являться линейной мерой угла между заданными плоскостями, но по определению 2. Естественно, сумма этих углов будет равна 180 градусов, что легко подтверждается рассмотрением другой пары углов, каждый из которых по построению равен 90 градусов.
Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то двугранный угол между ними равен 90 градусов и плоскости взаимно перпендикулярны. С другой стороны, если две пересекающие прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающим прямым в другой плоскости, то данные плоскости имеют по крайней мере две общие несобственные точки, которые определяют для этих плоскостей общую несобственную прямую или другими словами параллельность этих плоскостей. Известные ранее методы построения на комплексном чертеже параллельных прямых и прямых, перпендикулярных к плоскости, позволяют легко построить как параллельные так и взаимно перпендикулярные плоскости.
В общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей используются два подхода или метода:
1. Метод линия-поверхность, для реализации которого надо взять в рассматриваемых плоскостях две прямые и найти точки пересечения этих прямых с другой плоскостью. Эти точки однозначно определят прямую, являющуюся линией пересечения этих плоскостей.
2. Метод поверхность-поверхность, в котором необходимо взять две вспомогательные плоскости, пересекающиеся с заданными, и построить в них линии пересечения с заданными плоскостями. Эти линии позволят найти две точки, общие для обеих плоскостей, и стало быть прямую, являющуюся линией пересечения этих плоскостей.
При выборе метода построения линии пересечения плоскостей следует исходить из условий задачи: если исходные данные позволяют легко в пределах чертежа определить точки пересечения прямых, задающих плоскости, с другими плоскостями целесообразно использовать первый метод, однако второй представляется более универсальным и меньше зависящим от исходных данных задачи.
