вопросы к ЭКЗАМЕНу
Раздел 1. Криволинейные интегралы
1.1. Криволинейный интеграл по длине дуги
1. Криволинейный интеграл по длине дуги: определение и условия существования.
2. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги.
3. Свойства криволинейного интеграла по длине дуги.
1.2. Криволинейный интеграл по координатам
1. Криволинейный интеграл по координатам: определение и условия существования.
2. Вычисление криволинейного интеграла по координатам.
3. Свойства криволинейного интеграла по координатам.
4. Криволинейный интеграл по координатам по замкнутому контуру. Формула Грина.
5. Условия независимости криволинейного интеграла по координатам от пути интегрирования.
6. Вычисление криволинейного интеграла по координатам, не зависящего от пути интегрирования.
Раздел 2. Поверхностные интегралы
2.1. Поверхностный интеграл по площади поверхности
1. Поверхностный интеграл по площади поверхности: определение и физический смысл.
2. Вычисление поверхностного интеграла по площади поверхности.
3. Свойства поверхностного интеграла по площади поверхности.
2.2. Поверхностный интеграл по координатам
1. Поверхностный интеграл по координатам: определение и условия существования.
2. Вычисление поверхностного интеграла по координатам с помощью поверхностного интеграла по площади поверхности.
3. Вычисление поверхностного интеграла по координатам с помощью трех двойных интегралов.
4. Вычисление поверхностного интеграла по координатам с помощью двойного интеграла (при явном задании поверхности).
5. Свойства поверхностного интеграла по координатам.
Раздел 3. Поля
3.1. Скалярное поле
1. Понятие скалярного поля. Производная поля по направлению.
2. Градиент скалярного поля и его свойства.
3.2. Скалярное поле
1. Понятие векторного поля. Поток векторного поля и его вычисление.
2. Дивергенция векторного поля и ее свойства. Выражение дивергенции.
3. Формула Остроградского-Гаусса, ее физический смысл. Понятие соленоидального поля.
4. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Вычисление ротора.
5. Формула Стокса.
6. Потенциальное поле. Гармоническое поле. Операторы Гамильтона и Лапласа.
Раздел 4. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4.1. Комплексные числа
1. Комплексное число: определение, формы записи, действия над числами.
4.2. Функции комплексной переменной. Основные понятия
1. Линии и области в комплексной плоскости.
2. Понятие функции комплексной переменной, ее предел и непрерывность.
3. Показательная функция комплексной переменной, ее свойства.
4. Логарифмическая и степенная функции комплексной переменной, их свойства.
5. Тригонометрические функции комплексной переменной, их свойства.
6. Обратные тригонометрические функции комплексной переменной, их свойства.
7. Гиперболические функции комплексной переменной, их свойства.
4.3. Дифференцирование функции комплексной переменной
1. Понятие производной функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.
2. Понятие аналитической функции. Вычисление производной от аналитической функции.
3. Гармонические функции. Теорема о гармоничности действительной и мнимой части аналитической функции.
4. Нахождение аналитической функции по ее действительной и мнимой части.
4.4. Интегрирование функции комплексной переменной
1. Понятие интеграла от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства.
2. Интегрирование аналитической функции комплексной переменной (Теорема Коши).
3. Интегральная формула Коши.
4. Выражение производной от аналитической функции через контурный интеграл (следствие 3 ).
Раздел 5. Ряды в комплексной области
1. Разложение от функции комплексной переменной в ряд Тейлора.
2. Разложение от функции комплексной переменной в ряд Лорана.
Раздел 6. Особые точки и вычеты
1. Нули и особые точки аналитической функции. Классификация особых точек. Способы определения порядка полюса.
3. Вычет аналитической функции относительно точки. Вычисление вычетов.
4. Теорема Коши о вычетах.
5. Вычисление несобственных интегралов от действительной функции с помощью вычетов.
6. Вычисление контурных интегралов вида 
с помощью вычетов.
