Тема «Строим город будущего»

Областной конкурс исследовательских и творческих работ

« Первые шаги в науку»

Направление конкурса: естественные науки, математика.

Тема «Строим город будущего»

Работу выполнила:

Волкова Елена, студентка 2 курса

отделения «Физическая культура»

ТОГБОУ СПО «Педагогический колледж г. Тамбова»

т.

руководитель:

,

преподаватель математики

ТОГБОУ СПО «Педагогический колледж г. Тамбова»

Т.

2учебный год

Содержание

Введение 3

Основная часть

Глава 1. Историческая справка. 3

Глава 2. Соотношение объема, площади поверхности и коэффициента

комфортности жилья.

2.1  Вывод формулы объема прямоугольного параллелепипеда. 4

2.2  Вывод формулы объема цилиндра. 5

2.3  Применение определенного интеграла для вычисления объемов тел. 6

2.4  Вывод формулы объема наклонной призмы 7

2.5  Вывод формулы объема пирамиды 7

2.6  Вывод формулы объема конуса 8

2.7  Вывод формулы объема шара 8

2.8  Исследование на коэффициент комфортности жилья формы куба 9

2.9  Исследование на коэффициент комфортности жилья формы прямоугольного параллелепипеда. 10

2.10  Исследование на коэффициент комфортности жилья пирамидальной формы 10

2.11  Исследование на коэффициент комфортности жилья конусообразной формы 11

2.12  Исследование на коэффициент комфортности жилья цилиндрической формы 12

2.13  Исследование на коэффициент комфортности комбинированного жилья 12

2.14  Исследование на коэффициент комфортности жилья сферической формы 12

Заключение. 13

Библиография. 14

Приложение 15

Введение:

«Дух геометрического, математического порядка

будет хозяином судеб архитектуры» (Ле Корбюзье)

Геометрия архитектуры окружающих нас зданий разнообразна. Как известно, разные народы строили для себя жилье разных форм, видимо, строители руководствовались известными им принципами. И почему кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну, поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным? Почему так удобно свернуться «калачиком», когда спишь? Почему космические корабли пришельцев имеют именно шарообразную форму? Видимо, соотношения формы, объема и площади поверхности тел имеют закономерность, влияющую на степень комфортности.

Поставим перед собой задачу: исследовать степень комфортности жилья в зависимости от его геометрической формы. Решение этой задачи будет иметь важнейшее практическое значение и может быть использовано в архитектуре.

Выдвинем гипотезу: Жилье сферической формы имеет высший коэффициент комфортности.

Основная часть

Глава 1. Историческая справка.

Крупнейший историк древности Геродот, как и математик Демокрит, философ Аристотель и другие древнегреческие ученые, считал Египет колыбелью геометрии. Демокрит, например, писал: «В построении линий я никем не был превзойден, даже египетскими гарпедонаптами». Так называемые гарпедонапты были, как полагают, землемерами, которые для выполнения своих работ пользовались натянутыми веревками. Геометрия как практическая наука нужна была египтянам не только для восстановления границ земельных участков после каждого разлива Нила, но и при различных хозяйственных работах, при сооружении оросительных каналов, грандиозных храмов и пирамид, при высечении из гранита знаменитых сфинксов и т. п.

Содержащиеся в дошедших до нас папирусах геометрические сведения и задачи почти все относятся к вычислению площадей и объемов. В них нет никаких указаний на способы вывода тех правил, которыми пользовались египтяне для вычисления длин, площадей и объемов; часто употреблялись правила приближенных подсчетов. Высшим достижением египетской геометрии следует считать точное вычисление объема усеченной пирамиды с квадратным основанием, содержащееся в «Московском папирусе».

Интересно отметить некоторые черты развития практической геометрии в Древней Руси. Уже в XVI в. нужды землемерия, строительства и военного дела привели к созданию рукописных руководств геометрического содержания. Первое дошедшее до нас сочинение этого рода носит название «О земном верстании, как земля верстать». Оно является частью «Книги сошного письма», написанной, как полагают, при Иване IV в 1556 г. Сохранившаяся копия относится к 1629 г. В этой рукописи все геометрические сведения сводятся к вычислению площадей квадрата, прямоугольника, треугольника и равнобочной трапеции. Площади первых двух фигур определяются правильно. А вычисления площадей треугольников и трапеций даны с грубыми приближениями.

В 1703 г. появилась «Арифметика» Магницкого,: содержавшая отдельные сведения практической геометрии, в том числе и некоторые правила Герона. В 1708 г. вышел первый печатный русский учебник геометрии, озаглавленный «Геометрия словенски землемерие». Второе издание этой книги, посвященной геометрическим построениям, вышло через год и было названо «Приемы циркуля и линейки». Изданная в 1714 г. «Геометрия практика» содержит преимущественно сведения для вычислений, ее можно считать первым русским руководством по тригонометрии. Эти книги начала XVIII в., появившиеся в связи с Петровскими преобразованиями, носили практический характер, наподобие западноевропейских руководств «практической геометрии» XVII и начала XVIII вв.

Глава 2. Соотношение объема, площади поверхности и коэффициента комфортности жилья.

2.1 Вывод формулы объема прямоугольного параллелепипеда.

Дадим определение объему:

ü  объем - число, показывающее сколько раз куб, принятый за единицу измерения, укладывается в теле;

ü  объем – часть пространства, ограниченная некоторой поверхностью;

ü  объем - положительная величина, обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен сумме объемов его частей; объем куба равен кубу его ребра.

Выведем формулы объемов известных многогранников и тел вращения:

Объем прямоугольного параллелепипеда:

Дано: параллелепипед, а, b, c его измерения. V – объем параллелепипеда

Доказать: V = abc

.

Доказательство:

1. Пусть а, b, c – конечные десятичные дроби ( n > 1).
Числа а . 10n, b . 10n, c . 10n – целые.
Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные к этому ребру.
Параллелепипед разобьется на abc·103n равных кубов с ребром  .
Т. к. объем каждого такого куба равен  ,  то объем всего параллелепипеда равен  Итак, V = abc.

2. Хотя бы одно из измерений a, b, c – бесконечная десятичная дробь. Пусть аn, bn, cn – конечные десятичные дроби, полученные из чисел a, b, c отбрасыванием в каждом из них всех цифр после запятой, начиная с (n + 1)

Тогда an < a < an’, где (аналогично для b, c). Перемножим эти неравенства anbncn < abc < an’bn’cn

По доказанному в п. 1., левая часть – Vn, а правая Vn’. Т. к. параллелепипед Р содержит в

себе параллелепипед Рn, а сам содержится в параллелепипеде Pn’, то объем V параллелепипеда Р заключен между Vn = anbncn и V’n = an’bn’cn’ т. е. anbncn < V < an’bn’cn’. При неограниченном увеличении n числобудет становиться сколь угодно малым, и потому числа anbncn и an’bn’cn’ будут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Следовательно, число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит, они равны:

V = abc.

2.2Вывод формулы объема цилиндра

Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от V.

Найдем объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H.
Построим две прямые призмы с высотой H такими, что основание одной призмы является n-угольник, содержащий круг, а основание второй призмы n-угольник, содержащийся в круге. Тогда первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. При неограниченном увеличении n площади многоугольников приближаются к площади круга S(основанию цилиндра) и, следовательно, их объемы неограниченно приближаются к SH. Тогда объем цилиндра вычисляется по формуле:
2.3 Применение определенного интеграла для вычисления объемов тел.

Для выведения формул объемов других тел мы сможем привлечь знания об интегральных исчислениях.

Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая, что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из отрезка [а; b] поставлено в соответствие единственное число S(х) — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; b] задана функция S(х). Если функция S непрерывна на отрезке [а; b] то справедлива формула

Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков равной длины точками x0 = a <x1 <x2 <... <xn-1 < b = хn, и пусть

Через каждую точку хk проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное тело на слои. Объем слоя, заключенного между плоскостями αk-1 и αk, при достаточно больших n приближенно равен площади S(xk-1) сечения, умноженной на «толщину слоя» Δx, и поэтому

Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, т. е. чем больше n. Поэтому Vn →V при n → ∞. По определению интеграла

при n → ∞.

Таким образом, мы получим универсальную формулу для вычисления объемов тел:

=

2.4 Вывод формулы объема наклонной призмы

А1

С2

А2

С1

В

А

Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы.

2. (АВС)ÇOх=a, a=0, (A1B1C1) Ç Oх=b, b=h

3. Проведём плоскость перпендикулярно Ох через точку с абсциссой х.

А2В2С2-треугольник, равный основаниям.

Площадь А2В2С2 равна S.

4. S(x) непрерывна на [0;h]

2.5 Вывод формулы объема пирамиды

А1

В

А

Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, а затем для произвольной.

1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S, высотой h. Введём ось ОХ перпендикулярно основанию пирамиды и рассмотрим сечение A1B1C1 пирамиды плоскостью, перпендикулярной к Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М1 пересечения этой плоскости с осью ОХ, через S(х) – площадь сечения.

Выразим S(х) через S, h и х. Заметим, что треугольники АВС и A1B1C1 подобны. В самом деле, A1B1║ АВ, поэтому ∆О A1B1 ~ ∆О АВ, => A1B1: АВ = О A1: О А. Прямоугольные треугольники О A1М и О АМ также подобны (они имеют общий острый угол с вершиной О), => О A1: О А = О М1: О М = х: h. Таким образом, A1B1: АВ = х: h. Аналогично можно доказать, что С1B1: СВ = х: h, A1С1: АС = х: h. Итак, АВС ~ A1B1C1 с коэффициентом подобия х: h, => S(х) : S = (х: h)2. S(х)= Sх2

h 2.

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=h, получаем

.

2.6 Вывод формулы объема конуса

2.7 Вывод формулы объема шара

Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат. Плоскость xy пересекает поверхность шара радиуса R по окружности, которая задается формулой

Полуокружность, расположенная над осью x, задается уравнением

Поэтому объем шара определяется по формуле

2.8 Исследование на коэффициент комфортности жилья формы куба

А теперь займемся практикой. Коэффициент комфортности жилья вычисляется по формуле

Подавляющее число жилых зданий имеет форму куба или прямоугольного параллелепипеда.

Дано: куб с ребром а.

Найти: коэффициент комфортности

Решение:1)Найдем объем куба: V=a³

2)Найдем площадь полной поверхности: Sп. п.=6а²

3)Найдем коэффициент комфортности <1, => жилье

формы куба не очень комфортное!

2.9 Исследование на коэффициент комфортности жилья формы прямоугольного параллелепипеда.

Дано: жилище формы прямоугольного параллелепипеда с измерениями а=8м, b=4м, с=4м.

Найти: коэффициент комфортности

Решение:

1)Найдем объем прямоугольного параллелепипеда: V= abc =128м³

2)Найдем площадь полной поверхности: Sп. п.=2(ab+bc+ac)=160 м²

3)Найдем коэффициент комфортности <1, => жилье

формы прямоугольного параллелепипеда не очень комфортное!

2.10 Исследование на коэффициент комфортности жилья пирамидальной формы

Уже многие тысячелетия, по разным оценкам от 4500 до 200000 лет, человечеством, создаются различные конструкции пирамидальной формы. Пирамиды найдены на всех континентах и даже обнаружены на Марсе. Создание Великих Пирамид приписывается и египтянам, и атлантам и даже инопланетянам. Причины, по которым человечество древнего мира выбрало для строительства первых высотных зданий форму пирамиды, очевидны:

Причина номер один: Форму пирамиды подсказала сама природа. Если попробовать из сыпучих материалов на ровной поверхности сделать возвышение методом насыпки сыпучего материала в одну кучу, не пользуясь скрепляющим материалом в виде прутьев, досок, закрепляющих растворов, то можно получить форму неправильных конусообразных – пирамидальных фигур.

Причина номер два:  Форма пирамиды в строительстве при определенных условиях является самым надежным и крепким сооружением. У пирамиды сила тяжести направленно вовнутрь, чтобы она не провалилась нужно каменную стенку подпирать очень крепкими подпорками. В древнем мире подобных подпорок не было, и поэтому пирамиды строились без пустот, если не считать маленьких комнат и коридоров и которые занимали внутри пирамиды не более двух процентов пространства. Соответственно, с точки зрения практичности они являются бесполезными зданиями. Даже в древнем мире они использовались как возвышенности для жертвоприношения, или как гробницы.

Причина номер три: Используя материалы, технология, и приспособления, которые использовались в древнем мире, можно было построить архитектурные сооружения только в виде пирамиды. Для того чтобы поднять тяжелые предметы на большую высоту необходимы устройства наподобие лебёдок, лифтов, кранов. В древнем мире подобные устройства не могли использоваться из – за несовершенства  материалов и технологий. Например: практически во всех механизмах для подъема тяжелых предметов на большую высоту используются металлический трос, или, в крайнем случае, канаты высокой прочности. В древнем мире использовались канаты, изготовленные  из растительных или животных волокон. Сделать прочный и очень длинный канат из подобных материалов не представляется возможным. 

В современном мире существуют здания пирамидальной формы.

Дано: правильная четырехугольная пирамида, а=5 м, H=4 м

Найти: коэффициент комфортности

Решение:

1.  Найдем площадь основания: Sосн.= а2 =25м²

2.  Найдем площадь боковой поверхности: Sб. п.= м²

3.  Найдем площадь полной поверхности: Sп. п.= Sосн.+ Sб. п =72 м²

4.  Найдем объём: V= а2 h =33(3)м³

5.  Найдем коэффициент комфортности: <1, =>

коэффициент далек от 1, жилье не комфортное!

2.11 Исследование на коэффициент комфортности жилья конусообразной формы

Чум является универсальным жилищем северных народов. Это переносная конусообразная палатка, форма которой является приспособленной, целесообразной для тундры. Коническая форма является наиболее удобной, так как с крутой поверхности чума снег скатывается, не задерживаясь, поэтому при переезде на другое место без разгребания и очистки чум можно разобрать. Форма конуса делает жилище устойчивым при метелях и сильных ветрах. Интересно, как чувствует себя человек в доме конусообразной формы с точки зрения комфортности.

Дано: жилище конусообразной формы h=4м, r =3м.

Найти: коэффициент комфортности

Решение:1)Найдем объем конуса: V=П r2 h =37,68м³

2)Найдем площадь полной поверхности: Sп. п.= П r2 + П rl =75,36 м²

3)Найдем коэффициент комфортности <1, =>

коэффициент далек от 1, жилье не комфортное!

2.12 Исследование на коэффициент комфортности жилья цилиндрической формы

Достаточно знаменит дом Константина Мельникова в Москве - шедевр русского авангарда, входящий во все учебники по архитектуре 20 века. По форме он напоминает два врезанных друг в друга бетонных цилиндра разной высоты и заключают в себе удобную по планировке трехуровневую квартиру. Выбор цилиндрической формы архитектор объяснял тем, что в таком пространстве при отсутствии прямых углов полезная площадь намного больше, чем в традиционных зданиях. Не менее известен «AquaDom» – это 25-метровый аквариум цилиндрической формы из акрилового стекла, построенный вокруг прозрачного лифта. Он находится в отеле «Radisson SAS Hotel» в Берлине. Вычислим коэффициент комфортности проживания в цилиндрическом доме.

Дано: цилиндр, h=3м, R=2м.

Найти: коэффициент комфортности

Решение: Sполн. п. =2ПR(R+Н)=2·П·2(2+3)=20П≈62,8 м2

V= Sосн. · h =ПR²· h=12П≈37,68 м3

<1, тем не менее, пока это наибольший из полученных коэффициентов.

Невольно начинаешь верить в историю цилиндров Фараона, воссозданную физиком Владимиром Ковтуном. В этих исследованиях принимали участие медики, физики, египтологи, экстрасенсы и парапсихологи. Результаты исследований поразили ученых. Оказалось, что Цилиндры Фараона обладают широчайшим спектром благотворного воздействия на организм человека. В него входят: помощь при сердечно-сосудистых заболеваниях, нейротрофических, гипертонии, болезнях выводящих путей, астме, бессоннице, головных болях а также в качестве средства для снятия стрессов и профилактике атеросклероза. Одна из удивительных особенностей Цилиндров Фараона - улучшение работы практически всех основных систем организма (показатели работы этих систем улучшаются в среднем в раза). Согласно результатам экспериментов врача Т. Мешковой Цилиндры Фараона защищают от воздействия излучений различной электронной техники: компьютеров, телевизоров, микроволновых печей и т. д.

2.13 Исследование на коэффициент комфортности комбинированного жилья

Рассмотрим несколько примеров вычисления коэффициентов комфортности комбинированного жилья.

Жилье – прямоугольный параллелепипед – усеченная пирамида;

Дано: а=6м, в=4м, с=8м, а1= 3м, в1=2, h=3.

Найти: коэффициент комфортности

Решение:

Найдём объём и площадь поверхности параллелепипеда:

V1=abc=192м², S1=6·4+6·8·2+8·4·2=184м²

Найдём объём и площадь полной поверхности усечённой пирамиды

V1 =h*(S+s+√Ss)/3=42м³

Sповерх=Sбок+Sосн =55,2

Найдём объём и полную поверхность комбинации тел

V=V1+V2= 234,2 м², S =239,2м², К=36πv2 \S³=0,45<1

Жилье – полусфера – цилиндр.

Дано: R=2, h=5.

Найти: коэффициент комфортности

Решение: Vцилиндра = ПR2h=251,2 м3, Vполушара = ПR3=133,973 м3, Vтела=385,17 м3. Sцилиндра = 2ПRh+ ПR2=175,84 м2, Sполусферы = 4ПR2=100,48 м2, Sтела=276,32 м2

К=36πv2\S³=0,7949 < 1

2.14 Исследование на коэффициент комфортности жилья сферической формы

Современное строительство предлагает дома сферической формы.

Дано: жилье шарообразной формы радиусом R.

Найти: коэффициент комфортности

Решение: Sсферы.=4ПR2, V= ,

Мы получили наибольший возможный коэффициент. Дом - сфера комфортен для жилья.

 Известно, что природа, в отличие от нашего традиционного строительства, не создаёт сложные, немобильные конструкции и технологии.

 Идеальной формой, наиболее близкой природе, как известно, является шар. С точки зрения эниологии – науки об энергоинформационном обмене в природе и обществе – купола и своды обладают свойством распределения концентраций энергонапряжений. Круглым формам присуще равномерное поле без существенных зон напряжений и патогенных аномалий, в отличие от углов, особенно близких к 90 градусам.

 Преимущества и возможности строительства сфер:

- Согласно изопериметрической теореме из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар. Это означает, что на шарообразные сооружения нужно материалов меньше, чем на иные.

- Прочность сферы обеспечена равномерным распределением нагрузок на все точки поверхности. Она превосходно работает на сжатие и на изгиб.

- Сфера является наилучшей формой от ветровых и снеговых нагрузок.

- Создание сферы отличает минимальная материалоемкость, трудоемкость и длительность возведения.

- Сферическая форма сама по себе является энергосберегающей, к тому же она изготавливается практически бесшовной, что минимизирует теплопотери, и снижает затраты на устройство отопительной системы.

- Отсутствие арматуры в стенах.

- В сферических сооружениях нет углов, где обычно застаивается воздух, их легче проветривать.

- Легкость и прочность сфер обуславливает целесообразность их строительства в сейсмически опасных районах.

- Сферу значительно сложнее разрушить взрывами, даже пробитая в одном или нескольких местах, она не теряет своих конструктивных способностей и не «складывается».

- Можно создавать сферические многоярусные городские структуры, используя минимальные площади под фундаменты, развивая пространственные композиции над трассами.

Заключение: Исследование подтвердило гипотезу: Жилье сферической формы имеет высший коэффициент комфортности. Очевидно, в скором будущем преимущества сферы будут использованы в архитектуре, и новые города будут содержать дома - сферы, полусферы в комбинации с цилиндрами. Тенденции к округлости форм уже налицо в автомобилестроении, оформлении интерьеров, не заставят себя ждать они и строительстве жилья.

Библиография:

1.АбрамовА. М, Я, ДорофеевГ. В, и др  Избранные вопросы математики10 кл.: Факультативный курс./Под ред. ФирсоваВ. В/--М. : Просвещение 1980.

2.  Александров. А.Д. и др. Геометрия для 10-11 классов, Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики./, , . - 3-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 199с

3. «Геометрия 10-11», Просвещение 2003г

4. "Строители пирамид из созвездия Большого пса", Орел, "Книга", 1992.

5. Ван дер Варден  «Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.», Пробуждающая наука, Перевод с голландского , Москва, 1959

Web ресурсы:

edu. ***** › profil/default. asp? ob_no=16819

soft. ***** › …matematika…oznakomitelnaya-versiya

school14-v. ***** › publ/1-1-0-4

Приложение:

Использование геометрических форм в архитектуре сооружений.

Архитектурные сооружения в форме параллелепипеда и куба:

Архитектурные сооружения в форме пирамиды:

Лувр. Париж. Китай. Пекин

Университетский волейбольно –

баскетбольный стадион в Калифорнии.

Здание в форме синей пирамиды, в котором размещается трехмерный кинотеатр, действующий на основе передовой технологии. Израиль.

Казань ночной клуб.

Архитектурные сооружения в форме конуса:

Башня Кутаба. Индия

Архитектурные сооружения в форме цилиндра:

круглый дом Мельникова в Москве

Цилиндрический дом. Мадрид, Испания

«AquaDom» – это 25-метровый аквариум цилиндрической формы. Он находится в отеле «Radisson SAS Hotel» в Берлине.

Архитектурные сооружения в форме сфер и полусфер:

Висящие дома - сферы, Канада

Sphere Hotel – расположен между Дубай и Абу Даби в ОАЭ в 300 метрах над уровнем моря на искусственном острове. Посетители отеля доставляются до отеля исключительно на вертолете, потому что отель расположен на склоне скалы

дачи в Подмосковье

Атомиум. Сооружение имеет девять сфер, диаметром 18 метров каждая.

Брюссель.