1. Суть биматричных игр. Случаи, рассматриваемые в биматричных играх.
Биматричные игры по своему содержанию являются играми с ненулевой суммой. Обычно такие игры задаются двумя матрицами: матрицей А=( aij), где А матрица выигрыша игрока I, матрицей В = (bij) - матрица выигрыша игрока 2, или, что эквивалентно, матрицей (А, В), элементы которой есть упорядоченная пара (aij, bij). Элементы аij и bij есть соответственно выигрыши игрока I и игрока II, если I-й игрок выбирает свою i-ю чистую стратегию, а П-й игрок j-ю чистую стратегию. Для биматричных игр рассматривают два случая.
1. Некооперативные игры, в которых любой тип соглашений, а также побочные платежи, запрещены.
2. Кооперативные игры, в которых разрешается любая кооперация между игроками.
2. Некооперативные биматричные игры.
Смешанные стратегии игроков определяются как и в случае игр с нулевой суммой. Ситуация равновесия определяется следующим образом: пара смешанных стратегий ( х* , y* ) называется ситуацией равновесия в биматричной игре (А, B), если для любых других смешанных стратегий x и y
Ответ на вопрос о существовании ситуаций равновесия дается следующей теоремой.
Теорема. Каждая биматричная игра имеет по крайней мере одну ситуацию равновесия.
3. Аксиомы Неша в задачах о сделках биматричных игр.
Предположим, что нам дано множество 
и максиминные значения 
. Мы хотим найти правило 
приписывающее каждой тройке 
решение задачи о сделках: 
Д. Нэш предложил следующие аксиомы, которым должна удовлетворять функция :
1. (индивидуальная разумность) 
2. (допустимость) 
3. (оптимальность по Парето). Если 
и 
то 
4. (независимость от посторонних альтернатив). Если 
и 
то 
5. (независимость от линейного преобразования). Пусть Т получается из с помощью линейного преобразования
, 
.
Тогда, если 
, то
.
6. (симметрия). Предположим, что
таково, что 
.
Тогда из того, что 
и , следует 
Эти аксиомы полностью определяют функцию
4. Игры с постоянной суммой и существенные игры.
Определение. Игра 
называется игрой с постоянной суммой, если для любого 
Нас будет интересовать вопрос о том, как игроки должны разделить общую полезность 
, если они пришли к определенной степени взаимопонимания.
Определение. Игра называется существенной, если 
.
В противном случае игра называется несущественной. В несущественных играх образование коалиций не дает добавочного выигрыша ни одному из игроков, поэтому образование коалиций бесполезно.
5. Делёж в кооперативных играх.
Определение. Дележом называется векnор 
, удовлетворяющий условиям
а) 
, б)
Множество всех дележей игры 
обозначим через 
. Из супераддитивности функции следует, что 
.
6. Эквивалентные и изоморфные игры.
Определение. Две игры 
лиц 
и называются изоморфными, если существует функция 
взаимно однозначно отображающая 
на таким образом, что для любых 
и
Определение. Две игры лиц и называются - эквивалентными, если существует положительное число 
и таких вещественных чисел 
, что для любой
7. Игры в (0.1) – редуцированной форме, симметричные и простые игры.
Определение. Игра называется игрой в (0.1) редуцированной форме, если
а) 
, 
(12.3)
б) 
Теорема. Любая существенная игра - эквивалентна одной и только одной игре в (0.1) - редуцированной форме.
Определение. Игра называется симметричной, если 
зависит только от числа элементов в .
Определение. Игра в (0.1) - редуцированной форме называется простой, если для всех либо 
, либо 
. Игра общего вида называется простой, если проста ее (0.1) - редуцированная форма.
Сущность простой игры заключается в том, что в ней коалиции либо выигрывающие, либо проигрывающие, без каких-либо промежуточных вариантов.
8. Ядро игры.
Определение. Ядром игры называется множество всех ее недоминируемых дележей. Ядро игры обозначается через 
Теорема. Ядро игры есть множество таких векторов 
, что
а)
для ,
б) 
9. Аксиомы Шепли.
Аксиомы Шепли. Под вектором значений игры мы будем понимать - вектор 
, удовлетворяющий следующим аксиомам:
S1. Если - любой носитель , то 
S2. Для любой перестановки 
S3. Если 
- две любые игры, то 
.
Теорема. Существует единственная функция 
, определенная для всех игр и удовлетворяющая аксиомам 
