Электричество (стр. 2 )

1)  ; ; ; .

2)  В I области ;

Во II области ;

В Ш области

Пример № 3. На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями
σ = - 4 σ, σ = σ (σ = 50 HКл/). Требуется:

1)  Используя теорему Остроградского – Гаусса, найти зависимость Е(r) от напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: I, II и III;

2)  Вычислить напряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние r = 1,5 R;

3)  Построить график Е (r).

Дано:

Решение:

1. В области I проводим гауссову поверхность S радиусом r. Из теоремы Остроградского – Гаусса:

т. к. заряд внутри S равен нулю.

Таким образом, для всех точек, удовлетворяющих условию:

2. В области II гауссова поверхность S имеет радиус r:

,

- заряд первой сферы:

Так как , то можно вынести за знак интеграла:

и

3. Гауссова поверхность в области III имеет радиус .

,

Где и , тогда

и

Таким образом:,

,

,

II. Напряженность в точке, удаленной на :

III. Построим график E(r).

Пример № 4. Две бесконечные пластины расположены под прямым углом и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью и . Определить напряженность электрического поля и начертить картину силовых линий.

Дано:

E - ?

Решение:

Каждая из пластин создает однородное электростатическое поле, напряженность которого:

и ,

напряженность результирующего поля найдем в соответствии с принципом суперпозиции:

Пример № 5. Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный по объему заряд с объемной плотностью заряда . Внутренний радиус шара наружный . Вычислить напряженность электрического поля в точках, отстоящих от центра сферы на ; ; Построить график E(r).

Дано:

Решение:

1.) В области I теорема Гаусса для поверхности :

т. к. зарядов внутри нет, тогда

для , и

2.) В области 2:

так как (поле центральное), то

Заряд заключен в шаровом слое, ограниченном сферами радиусами и r:

,

тогда:

3.) В области 3: ()

И заряд весь заряд шара.

, тогда

E, В/м

Пример № 6. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом заряжен с линейной плотностью . Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом . Заряжен с линейной плотностью . Пространство между проводниками заполнено резинкой (). Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1. r1 = 1 мм; 2. r2 = 2 мм; 3. r3 = 5 мм.

Дано:

Решение:

1.  В области I теорема Гаусса для поверхности :

, так как внутри зарядов нет. Поэтому и .

2.  . В области II для поверхности :

;

Проекция вектора напряженности на нормаль к боковой поверхности: и .

Тогда .

Внутри поверхности заряд , тогда

; .

3.  . В области III для поверхности :

,

и . Тогда:

;

;

.

Задачи для самостоятельного решения:

1.  Вывести с помощью теоремы Гаусса формулу для расчета Е бесконечной заряженной плоскости.

2.  Вывести формулу для Е бесконечной заряженной нити.

3.  Вычислить напряженность равномерно заряженного шара при и . Нарисовать график.

4.  Вычислить Е для поверхности заряженной сферы, при и . Нарисовать график.

5.  Нарисовать график для 5-ти или 3-х параллельных плоскостей с поверхностной плотностью заряда . Расстояние между плоскостями d.

6.  Шар, имеющий массу m и заряд q, подвешен ан нити вблизи плоскости с известным значением . Какой угол с вертикалью образует нить подвеса?

7.  В плоском горизонтально расположенном конденсаторе заряженная капелька ртути находится в равновесии при E = 600 B/см. Заряд капли 10-7 Кл Найти радиус капли, если ρ = 13,6·103 кг/м3.

8.  Электрон, имеющий горизонтальную скорость влетает в электрическое поле горизонтальной пластины с известным значением . Длина пластины Насколько отклонится электрон от вертикали?

9.  Найти напряженность на оси, перпендикулярную к плоскости заряженного круга. Радиус круга R, заряд q, расстояние от круга до точки h.

Дополнительные вопросы:

1.  Сформулировать теорему Гаусса.

2.  Что такое поток вектора ?

3.  В каких случаях удобно использовать теорему Гаусса?

4.  Учитываются ли в теореме Гаусса заряды, находящиеся за пределами поверхности интегрирования? Почему?

5.  Что такое линии напряженности (силовые линии)?

Практическое занятие № 3.

Тема: Потенциал. Работа перемещения заряда в электрическом поле.

Цель занятия: Ознакомить студентов с методикой расчета перемещения заряда.

Время, отведенное на проведение занятия: 2 часа.

Порядок проведения занятия:

1.  Повторить теоретический материал;

2.  Решить типовые задачи;

3.  Самостоятельное решение задач.

Основные теоретические положения:

1.  Определение потенциала:

2.  Энергия взаимодействия точечных зарядов:

3.  Потенциал точечного заряда:

4.  Связь напряженности и потенциала: ,

5.  Принцип суперпозиции:

6.  Работа перемещения зарядов:

Решение типовых задач.

Пример № 1.Вычислить для заряженного кольца радиусом на оси кольца. Высота .

Пример № 2. Вычислить для объемно заряженного шара, считая известным выражение:

Пример № 3. Вычислить для равномерно заряженного круга на оси круга на расстоянии .

Пример № 4. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд Определить потенциал поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.

Т. к. заряд стержня не является точечным, а распределен по его длине, то разбиваем стержень на элементарные отрезки , которые имеют заряд . Заряд можно считать точечным и его потенциал:

.

Т. к. , то .

Пример № 5. Электрон со скоростью влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном напряженности поля. Какую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы обладать энергией ?

Электрон должен пройти такую разность потенциалов , чтобы ,

где - приобретенная в поле энергия.

Т. к. и

.

.

Пример № 6. С поверхности бесконечно равномерно заряженного () прямого цилиндра вылетает частица (). Определить кинетическую энергию частицы (кэВ) в точке 2 на расстоянии от поверхности цилиндра.

Используем закон сохранения энергии:

Учитываем, что

;

где

Найти :

Т. к. цилиндр бесконечный, то:

,

Тогда:

Пример № 7. Найти работу перемещения заряда из точки 1 в точку 2, находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью бесконечными параллельными плоскостями.

.

Пример № 8. Две параллельные заряженные плоскости, поверхностные плотности заряда которых и , находятся на расстоянии друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.

Дано:

Решение:

Согласно принципу суперпозиции:

Между плоскостями и сонаправлены, поэтому:

Т. к. поле между пластинами является однородным, то:

Пример № 9. Электрон с энергией (в бесконечности) движется вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической заряженной сферы радиусом . Определить минимальное расстояние , на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если заряд ее .

Дано:

Решение:

Изменение кинетической энергии электрона равно работе сил электрического поля:

Т. к. , то

Пример № 10. Электрическое поле создано зарядами и , находящимися на расстоянии друг от

Дано:

Решение:

Работа сил поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:

,

Работа сил поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:

,

зарядов и в точке 1:

- потенциал зарядов и в точке 2: