Текстовые задачи

Сплавы

Растворы

Объём

Вес, Цена, Работа

Процентный рост

Операции с разрядами чисел

Проект избранное

Текстовые задачи

Текстовые задачи отличаются от задач на решение уравнений и неравенств тем, что условия таких задач излагаются в словесной форме. Для их решения нужно представить условие задачи в виде уравнений или неравенств, то есть на языке математических символов. Конечно, такое представление неоднозначно и во многом зависит от выбора неизвестных, Удачный выбор может существенно упросить вид получающихся уравнений и неравенств, а неудачный окончательно завести в тупик,

Рассмотрение текстовых задач удобно проводить, разбивая их на классы. В основу такого разбиения обычно кладут вид физического процесса, в терминах которого описана задача: движение, работа, смешивание веществ и т. п.

Отметим также, что при решении подобных задач обычно используют только простейшие сведения из физики. Поэтому читатель, даже слабо знакомый с физическими законами не должен испытывать трудности в решении текстовых задач.

Задачи на “движение”

В задачах на движение используются обычно формулы, выражающие закон равномерного движения:S=VT, где s – пройденное расстояние, v – скорость равномерного движения и t – время движения.

При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения: путь изображать в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон объектов точкой на отрезке и т. п.

В случае движения по окружности удобно использовать понятие угловой скорости движения, то есть угла, на который поворачивается вокруг центра движущейся объект за единицу времени. Часто для усложнения задачи её условие формулируется в различных единицах измерения. В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Источником составления уравнения в таких задачах часто служат следующие соображения:

1. объекты, начавшие двигаться навстречу друг другу, одновременно движутся до момента встречи одинаковое время;

2. если объекты прошли одинаковые расстояния, то величину этого расстояния удобно принять за общее неизвестное этой задачи;

3. если при одновременном движении двух объектов по окружности из одной точки, один из них догоняет в первый раз другой, то разность пройденных ими к этому моменту расстояний равна длине окружности;

4. при движении по течению реки скорость объекта складывается из его скорости в стоячей воде и скорости течения; при движении против течения, скорость объекта равна разности его скорости в стоячей воде и скорости течения реки. Движущейся плот всегда имеет скорость течения реки.

Иногда для решения задач на движение, формулировка которых включает варианты движения объекта, удобно бывает представить эти варианты в виде таблицы.

Текстовые задачи, связанные с понятием “работа”

Между величинами, описывающими равномерное движение и величинами характеризующими процесс работы имеется полная аналогия.

Эту аналогию удобно представить в виде таблицы:

Движение	Путь - S	Время движения - t	Скорость движения v=
Работа	Вся работа - A	Время работы - t	Скорость работы (производительность) p=

Почему же наряду с задачами” на движение” на вступительных экзаменах нередко предлагают и текстовые задачи» на работу”?

Дело в том, что имеется одно существенное отличие между этими типами задач: при совместной работе нескольких объектов, выполняющих однородную работу, их общая производительность является суммой производительностей отдельных объектов, в задачах “на движение” такого эффекта нет.

Кроме того, во многих задачах на работу точный характер этой работы не определяется. В таких случаях бывает удобным принять объём всей работы за единицу и измерять части такой работы в долях от единицы.

Задачи “на смеси и проценты”

В задачах на смеси можно выделить несколько приёмов, удобных для их решения.

Первый приём.

В некоторых задачах со смесями рассматривается смесь двух веществ. При этом количество одного из веществ смеси изменяется, а другого – остаётся постоянным. При этом обычно в условии сообщается доля, которую составляет в смеси меняющееся вещество. В таких задачах удобно пересчитать сначала долю неизменного вещества и при составлении уравнения использовать неизменность количества этого вещества в процессе преобразования смеси. Часто такой метод называют методом “сухого остатка”.

Второй приём.

Если в задаче идёт речь о смешивании нескольких различных смесей, каждая из которых включает одни и те же вещества, то бывает удобно разделить исходные смеси на составляющие их вещества – компоненты и учитывать, что в итоговой смеси количества этих компонентов складываются из их количеств в исходных смесях.

Третий приём.

Если со смесью двух веществ последовательно производят несколько действий, то бывает удобно отслеживать количество одного из веществ в смеси после каждого из совершаемых действий.

Для такого отслеживания часто используют понятие концентрации вещества в смеси, то есть вычисляют какую массовую

Или объёмную долю составляет данное вещество.

Иногда условия задач со смесями используют понятие “процент”. Следует помнить, что 1% есть сотая часть числа.

Простой процентный рост

Где S – число, которое увеличивают на n – количество раз на p%

Сложный процентный рост

Где S – число, которое увеличивают на n – количество раз на p%

Сложный процентный рост представляет собой процент от процента

Нестандартные текстовые задачи

Некоторые текстовые задачи, предлагаемые на вступительных экзаменах в ВУЗы, не удаётся решить разобранными выше методами. Конечно же, не представляется возможным дать какие-либо общие методы решения таких задач. Тем не менее, укажем на возможные подходы, которые могут быть применены к нестандартным текстовым задачам в различных ситуациях.

Ситуация 1.

Даже при удачном выборе переменных их число превышает число составленных уравнений.

В этом случае можно попытаться сгруппировать неизвестные и переобозначить получившиеся группы, уменьшив при этом число новых переменных. Часто в таких задачах метод группировки подсказывает сам вопрос задачи. Обычно требуется найти не сами переменные, а какую-то их комбинацию.

Другим выходом из сложившейся ситуации может быть поиск дополнительных условий. Иногда такими условиями являются особенности геометрического расположения объектов задачи, которые можно записать, используя уравнения и неравенства из геометрии (теоремы косинусов и синусов, неравенство треугольника и т. п.).

Ситуация 2.

Текстовые условия не переводятся однозначно в систему алгебраических условий. Это означает, что, возможно, ВАМ встретилась задача с альтернативным условием, то есть такая задача, в которой требуется рассмотреть несколько равноправных возможных условий. Обычно подробный анализ этих условий позволяет отбросить все альтернативы, кроме одной.

Ситуация 3.

Аналитическая запись текстового условия задачи приводит к смешанной системе, содержащей уравнения и неравенства. Часто это означает, что система может быть решена методом минимаксов. Суть этого метода можно представить в виде таблицы

Если требуется решить уравнение

)

и на общей области определения Е функции выполняются неравенства:, то

уравнение ) равносильно системе

Движение

№0

Вдоль сторон прямого угла по направлению к вершине движутся два шара с радиусами 2 и 3 см, причем центры этих шаров перемещаются по сторонам угла с неравными, но постоянными скоростями. В некоторый момент времени центр меньшего шара находится на расстоянии 6 см от вершины, а центр большего – на расстоянии 16см. через 1 секунду расстояние между центрами стало 13 см, а ещё через 2 секунды шары ударились, не дойдя до вершины. Найти скорости шаров

Решение:

Если х и у – скорости шаров, то через 1 секунду расстояние от центра шаров до вершины угла будет равным 6 – х и 16- у, а ещё через две – 6-3х и 16-3у. При столкновении расстояние между центрами будет равно 5 см (2+3).Используя т. Пифагора, получим систему уравнений:

Ответ: 1 см/с,4 см/с

Теория по теме смеси

№1

Из 38 т руды, содержавшей 25%примесей, после переплавки получается 30 т металла. Сколько процентов примесей содержится в полученном металле?

Решение:

38*0,25=9,5(т) - доля примесей

38-9,5=28,5(т) - чистая руда

30-28,5=1,5(т) - доля примесей

Ответ:5%

№2

Из 225 кг руды получается 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде?

Решение:

Ответ:15,2%

№3

Два куска латуни имеют массу 60кг. Первый кусок содержит 10кг чистой меди, а второй – 8кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого?

Решение:

Пусть Х – масса первого куска

У-масса второго куска

0.15+900x-60000=0|/15

+60-4000=0

x=-100

x=40

40 – корень ур-ия

10/х=10/40=0,25

Ответ:25%

№4

Турист прошёл за первый день 20% пути, За второй – 40% оставшегося пути, а за третий день – 48км. Сколько км прошёл турист?

Решение:

100%-20%=80%

80*0.4=32%

100%-52%=48%

48/48=1% 1км=1%

100%=100км

Ответ:100км

№5

Сплав состоит из олова меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20г и сплавить их с 2г олова, то во вновь получившемся сплаве масса меди будет равна массе олова. Если отделить от первоначального сплава 30г и прибавить 9г цинка, то в этом новом сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить в процентах состав первоначального сплава.

Решение:

Пусть х, у, с – концентрация меди, олова, и цинка в сплаве

20х=20у=2

30у=30с+9

х=50%

у=40%

с=10%

Ответ:50%,40%,10%

№6

От двух кусков сплава одинаковой массы, но с различным процентным содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаково. Во сколько раз отрезанный кусок меньше целого?

Решение:

Если у – масса каждого куска сплава,

Х – масса отрезанного куска,

“a”и”b” – концентрация меди в первом и во втором кусках сплава, то

ах+b(у-х) и bх+а(у-х) – кол-во меди в новых сплавах.

(a-b) x=(y-x) (a-b)

x=y-x

у=2х

Ответ: в 2 раза

№7

В куске сплава массой 6 кг содержится медь. В куске другого сплава массой 8 кг содержится медь в ином процентном отношении, чем в куске первого сплава. От первого куска отделили некоторую часть, а от второго – часть, вдвое большую по массе, по сравнению с первым. Каждую из отдельных частей сплавили с остатком другого куска, после чего получили два новых сплава с одинаковым процентным содержанием меди. Какова масса каждой из частей, отдельных от кусков первоначальных сплавов?

Решение:

Пусть х – масса части, отделённой от куска первого сплава

“a” и “b” – концентрация меди в первом и втором сплаве соответственно.

Х+(8-2х)=8-х – масса третьего сплава.

2х+(6-х)=6+х – масса четвёртого сплава.

ax+ (8-2х) b – кол-во меди в третьем сплаве,

а(6-х)+2хb – кол-во меди в четвёртом сплаве.

Т. к концентрации меди в третьем и четвёртом сплавах равны, то составим ур-ие.

х=2,4

Ответ:2,4

№8

В 100кг сплава меди и цинка медь составляет 45%.Сколько кг чистого цинка нужно добавить к этому сплаву, чтобы кол-во меди составляло 20% кол-ва цинка.

Решение:

100*0,45=45(кг) меди в сплаве

55кг цинка

Пусть х –кол-во взятого цинка

55+х=45*5

55+х=225

х=170

Ответ:170 кг

№9

Руда содержит 40% примесей, а выплавляемый из неё металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?

Решение:

24*0,4=9,6(т) – доля примесей

24-9,6=14,4(т) – чистая руда

Пусть Х – кол-во металла

0,96х=14,4

х=15

15 т металла получится

Ответ:15 т

Начало документа

Теория по теме смеси

№10

15 кг 8%-го раствора спирта смешали с 5 кг 16%-го раствора спирта. Определить процентное содержание спирта в полученной смеси.

Решение:

15*0,08=1,2(кг) – чистый спирт

5*0,16=0,8(кг) – чистый спирт

1,2+0,8=2(кг) – спирта всего

2/20=0,1=10%

Ответ:10%

№11

Сколько граммов 10%-го раствора нужно добавить к 120г 15%-го раствора, чтобы получить 13%-ый раствор?

Решение:

Пусть Х - масса 10%-го раствора

0,1х+18-0,13-15,6=0

-0,03х=-2,4

х=80

Ответ:80г

№12

Из 50г 6%-го раствора соли каждый день испаряется 5г воды. Через сколько дней получится 15%-ый раствор соли?

Решение:

50*0,06=3(г) соли

Пусть Х – кол-во дней

3-7,5-0,75х=0

0,75х=4,5

х=6

Ответ:6 дней

№13

80кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде чистой соли оказалось на 2кг больше, чем в первом сосуде. Если во второй сосуд добавить 1кг соли, то кол-во соли в нём будет в два раза больше чем в первом. Найти массу раствора, находящегося в первом сосуде.

Решение:

Пусть х – масса чистой соли в первом сосуде,

Тогда (х+2) - масса чистой соли во втором сосуде,

(х+3) – масса соли во втором сосуде после добавления,

а т. к. масса соли во втором сосуде стала в 2 раза больше массы соли в первом сосуде, то составим ур-ие.

Х+3=2х

Х=3

3кг соли в первом сосуде

8кг соли во всём растворе

8/80=0,1

3/0,1=30

30кг раствора в первом сосуде

Ответ:30кг

Начало документа

№14

В двух сосудах имеется 60л воды. Если в первый перелить 1/3 воды, содержащейся во втором, то первый сосуд будет содержать на 8л воды больше, чем второй. Сколько литров воды во втором сосуде первоначально?

Решение:

Пусть в первом сосуде – Х литров воды

Во втором сосуде - У литров воды

у=39

Ответ:39 литров

№15

Вместимости трёх сосудов A, B,C, каждый из которых имеет форму куба, относятся как 1/8/27, а объёмы налитой в них воды, как 1/2/3. После переливания части воды из сосуда A в сосуд B и из сосуда B в сосуд С во всех трех сосудах получили слой воды одинаковой глубины. Затем перелили 128л воды из сосуда С в сосуд В, а после этого из сосуда В в сосуд А столько, что глубина воды в сосуде А стала в двое больше, чем в сосуде В. При этом оказалось, что в сосуде А имеется теперь на 100л воды меньше, чем было первоначально. Сколько воды было первоначально в каждом сосуде?

Решение:

Пусть х – первоначальный объём воды в сосуде А,

а – линейный размер этого сосуда.

2х и 3х – объёмы воды в В и С

2а и 3а – линейные размеры В и С.

Т. к. после первого переливания во всех сосудах получился слой воды одинаковой глубины, то объёмы воды относились как, а/4/9=1/4/9.Значит, объём воды в А стал равным 6х/(1+4+9), объём воды в В – 12х/7, а в сумме в А и В оказалось 15х/7л. После переливания из С это кол-во возросло на 128л.

2/4=1/2 т. е в А стало

х=500

Ответ: 500л,1000л,1500л.

№16

На складе имеется некоторое число бочек двух размеров общей вместимостью 7000л.

Если все бочки были первого размера, то вместимость всех бочек увеличилась на 1000л.

Если все бочки были второго размера, то вместимость уменьшилась бы на 4000л.

Вычислить вместимость всех бочек каждого образца в отдельности.

Решение:

Пусть х и у – суммарные вместимости бочек 1 и 2 размеров

а и с – их число, тогда

- вместимости одной бочки каждого образца.

х=6400

у=600

Ответ:6400л,600л.

№17

Масса куска первого металла равна 5000кг, а второго – 4000кг. Плотность первого металла меньше плотности второго на 3000кг/м. Найдите объём второго куска металла, если объём первого куска на 4 м больше объёма второго куска.

Решение:

Пусть Х – объём 2-го куска

Х+4 – объём первого куска

5000/(х+4)=4000/х-3000

3+8х-11=0

х=3/3

х=1

Ответ:1м

Начало документа

№18

В двух мешках вместе находится 140кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5% муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках будет одинаковое кол-во муки. Сколько муки в первом мешке

Решение:

Пусть х – первый мешок,

у – второй мешок

1,75х=140

х=80

Ответ:80кг

Теория по теме работа

№19

Завод должен выполнить заказ на изготовление автомобилей за 15 дней. Выполняя ежедневно план на 120%, завод выполнил заказ на два дня раньше и при этом изготовил на 6 машин больше. Сколько машин изготовил завод

Решение:

Пусть х – кол-во машин изготавливаемых в день по плану

1,2х - кол-во машин изготавливаемых в день

15х - кол-во машин, которое должен изготовить завод по плану

131.2х) кол-во машин, которое должен изготовить завод

13 дней у него ушло на работу

15х=15,6х-6

0,6х=6

х=10

10 машин – дневная норма завода

15х=150 – машин должен изготовить завод

156 машин он изготовил

Ответ:156

№20

На овощную базу завезли крыжовник, влажность которого составляла 99%.За время хранения его влажность уменьшилась на 1%.На сколько процентов уменьшилась масса хранившегося на базе крыжовника?

Решение:

100%-98%=2%

100/2=50

Ответ:50

№21

30% от числа “b” на 10 больше 20% от числа “а”, а 30% числа “a” на 35% больше 20% от числа”b”.Найти число “a”

Решение:

b=100/3+2a/3

3a-(200+4a)/3=350

(5a)/3=0

a=250

b=200

Ответ:200

№22

Осенью виноград стоил в 10 раз дороже картофеля. Зимой картофель подорожал на 25%, а виноград– вдвое. Во сколько раз виноград стоит дороже картофеля зимой?

Решение:

Пусть х – стоимость винограда

у – стоимость картофеля

х=10у

Ответ: в 16 раз

Начало документа

Теория по теме процентный рост

№23

Цена товара повысилась на 20%, затем новая цена повысилась ещё на 25% и, наконец, её подняли ещё на 30%.На сколько процентов всего увеличилась первоначальная цена товара

Решение:

Пусть 100% - начальная стоимость товара.

100+0,2*100=120

120+120*0,25=150

150*0,3+150=195

195-100=95

Ответ:95%

№24

Число трижды увеличивали на одно и тоже число процентов, а затем трижды уменьшали на тоже самое число процентов. В результате получилось число .

Найти это число процентов.

Решение:

Пусть Х – число процентов

(1+x)(1-x)=

т. к показатель степени нечетный, то знаки не меняются

16(1+х)(1-х)=15

16-16х=15

х^2=1/16

х=0,25

Ответ:25%

№25

Число 64 трижды увеличивали на одно и тоже число процентов, а затем трижды уменьшали на тоже самое число процентов. В результате получилось число 27.

Найти это число процентов.

Решение:

(1-x) (1+x) =

4-=3

=1/4

x=0.5

Ответ:50%

Начало документа

№26

Сумма цифр двузначного числа равна 10.Если поменять местами Цифры Двузначного числа, то получится число, большее данного на 36,Найти данное число.

Решение:

Пусть 10х+у-данное число

х+у – сумма цифр

10у+х – полученное число

18у=126

у=7

х=3

10х=у=37

Ответ:37

№27

Если к двузначному числу прибавить 63, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти данное число, если сумма цифр этого числа равна 11.

Решение:

Пусть 10х+у-данное число

10у+х – полученное число

х+у=11

10х+у+63=10у+х

18у=162

у=9

х=2

10х+у=29

Ответ:29

№28

Отношение двух чисел равно трем. Если первое число увеличить на 10, а второе уменьшить вдвое, то первое из полученных чисел будет на 30 больше второго. Найти сумму данных чисел.

Пусть х. и у – данные числа

Х+10-30=у/2

У=2х-40

х./у=3

х./(2х-40)=3

х=24

у=8

х+у=32

Ответ:32

№29

Сумма двух чисел равна 24, а сумма их квадратов 290.

Найти произведение этих чисел.

Решение:

Пусть х - первое число,

у – второе число

у-24y+143=0

у=13

х=11

ху=11*13=143

Ответ:143

№30

Если приписать к двузначному числу цифру 7 сперва слева, а потом справа, то разность полученных трёхзначных чисел составит 126.Найти двузначное число.

Решение:

Пусть 10х+у – данное число

700+10х+у-100х-10у-7=126

-90х-9у+567=0

-9(10х+у-63)=0

10х+у-63=0

10х+у=63

Ответ:63

№31

Если приписать к двузначному числу цифру 1 сперва справа, а потом слева, то разность полученных трёхзначных чисел составит153.Найти двузначное число

Решение:

Пусть 10х+у – данное число

100х+10у+х-у=53

90х+9у-252=0

9(10х+у-28)=0

10х+у-28=0

10х+у=28

Ответ:28

№32

Отношение двузначного числа к сумме его цифр равно 4,а отношение этого числа к произведению его цифр равно 2.Найти это число.

Решение:

10х+у – данное число

х+у – сумма его цифр

х*у – произведение его цифр

10х+2х=4х

4х (х-3)=0

х-3=0

х=3

у=6

10х+у=36

Ответ:36

№33

Найти двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение:

у=х+2

(10х+у) (х+у)=144

(10х+х+2)(2х+2)=144

22х+22х+4х+4-144=0

11х+13х-70=0

ЧерезD/4

Х=2

У=4

10х+у=24

Ответ:24

№34

Разность двух положительных чисел равна 4, а произведение Этих чисел равно 32. Найти результат деления большего из этих чисел на меньшее.

Решение:

у=4

х=8

х/у=2

Ответ:2

Нестандартные задачи

№35

К берегу водохранилища подошли трое: А, В и С. А отправился на противоположный берег вплавь со скоростью V км/ч, одновременно В и С отправились на моторной лодке со скоростью 10V км/ч. Через некоторое время С решил остаток пути преодолеть вплавь и поплыл с той же скоростью, что и А. В тот момент В повернул назад, чтобы взять в лодку А, который быстро сел в неё и продолжил путь вместе с В. На противоположном берегу все трое оказались одновременно. Определить время переправы, если известно, что ширина водохранилища равна b км.

Решение:

Пусть точка начала движения – L1 ,L2 - точка встречи А с лодкой В, L3 – высадка С с лодки, L4 – конечная точка. Из условия получим, что L1L2 равно L3L4. Пусть х = L2L3 .Получим, что L1L2= L3L4 = . До встречи с лодкой В . Получим отношение . В прошёл путь равный . Отсюда, получим, что время переправы равно ч