Лекция: Определенный интеграл
Рассмотрим график непрерывной на отрезке 
функции и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями 
Эту фигуру будем называть криволинейной трапецией.
Рассмотрим разбиение отрезка 
Для каждого разбиения наибольшее значение 
будем обозначать 
Величина 
характеризуется тем, что 
Определение. Интегральной суммой называется сумма 
где 
Конечный предел интегральных сумм 
называется определенным интегралом: 
Функция называется интегрируемой на 
если определенный интеграл 
существует.
Число 
называется нижним пределом интегрирования, 
- верхним пределом интегрирования.
Суммы Дарбу.
Рассмотрим разбиение 
отрезка
Обозначим через 
Тогда 
Нижней суммой Дарбу будем называть сумму вида 
верхней суммой Дарбу – сумму 
Тогда 
Утв.1 Свойства сумм Дарбу:
1) 
2) Если к данному разбиению добавить точку и получить разбиение то 
то нижняя сумма увеличится, а верхняя – уменьшится, т. е. 
3) Для любых двух разбиений 
и 
отрезка 
справедливо неравенство 
Доказательство пункта 3 .Пусть 
Тогда имеет место цепочка неравенств 
Таким образом, 
возрастающая последовательность, а 
убывающая и существует число, разделяющее два множества.
Утв2.(Необходимое и достаточное условие интегрируемости)
интегрируема 
для любого 
существует разбиение, для которого 
Доказательство.
Пусть 
Тогда 
Отсюда 
Утв.3 (Признак арифметической прогрессии)
Числа 
являются последовательными членами арифметической прогрессии, тогда и только тогда, когда 
Доказательство. В одну сторону: если 
то утверждение верно. В другую сторону: пусть это сотношение выполнено. Тогда 
и эта разность и является разностью прогрессии.
Определение. Геометрическая прогрессия:
- Последовательность 
называется геометрической прогрессией, если 
- Число 
называется первым членом прогрессии, 
знаменателем прогрессии.
Утв.1 (Формула общего члена геометрической прогрессии)
Если - геометрическая прогрессия, то 
Доказательство по индукции.
Утв2. (Формула суммы первых 
членов геометрической прогрессии) 
Доказательство.
Пусть 
Тогда 
Утв.3 (Признак геометрической прогрессии)
Числа являются последовательными членами геометрической прогрессии, тогда и только тогда, когда 
Доказательство. В одну сторону: если то утверждение верно. В другую сторону: пусть это сотношение выполнено. Тогда 
и это частное и является знаменателем этой прогрессии.
Задачи к лекции
1. Найдите сумму всех двузначных положительных чисел.
2. 
- арифметическая прогрессия, 
Найдите 
3. Найдите сумму всех трехзначных положительных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1.
4. Между числами 1, 256 вставить три числа так, что бы все пять образовывали геометрическую прогрессию.
5. Сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию, равна 15. Известно, что 
составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.
18. Найдите 
если 
28. Числа - последовательные члены геометрической прогрессии. Найдите эти числа, если известно, что 
- последовательные члены арифметической прогрессии, а числа 
– последовательные члены геометрической прогрессии.
38. Найдите все числа, одновременно являющиеся членами двух арифметических прогрессий 3,7,11, и 2,9.16,
39. Найдите числа, одновременно являющиеся членами арифметической прогрессии 12, 15, 18, ... и геометрической 1, 3, 9, ..., если каждая содержит по 100 членов.
42. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.
46. Пусть 
– корни уравнения 
– корни уравнения 
Известно, что 
образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Найдите 
55. Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами одной геометрической прогрессии?
