Лабораторная работа №5
Оптимизационные модели
Задание 1
Фирма может выпускать 3 вида продукции Пj (j=1,3). При ее изготовлении используются ресурсы P1, P2 и P3. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены величинами b1, b2 и b3. Расход ресурса i-го вида (i=1,3) на единицу продукции j-го вида составляет aij единиц. Прибыль от производства единицы продукции j-го вида составляет cj единиц. Значения параметров приведены в Таблице 1. Требуется:
1) составить математическую модель задачи;
2) найти оптимальный план;
3) указать наиболее дефицитный и недефицитный (если имеется) ресурсы.
Вариант: 13.
№ | b1 | b2 | b3 | a11 | a12 | a13 | a21 | a22 | a23 | a31 | a32 | a33 | c1 | c2 | c3 |
13 | 120 | 180 | 240 | 5 | 5 | 0 | 1 | 7 | 4 | 4 | 4 | 4 | 9 | 9 | 5 |
Составим математическую модель задачи
Пусть продукция производится в количестве:
Продукт 1 – x1 единиц;
Продукт 2 – x2 единиц;
Продукт 3 – x3 единиц.
Тогда прибыль от производства всей продукции выражается целевой функцией, для которой необходимо найти максимум:
f(x1,x2,x3) = 9x1 + 9x2 + 5x3 ® max.
Ограничения по затратам ресурсов:
 |
5x1 + 5x2 £ 120;
1x1 + 7x2 + 4x3 £ 180;
4x1 + 4x2 + 4x3 £ 240.
И по смыслу задачи x1, x2, x3 должны быть неотрицательными и целыми:
x1 ³ 0;
x2 ³ 0;
x3 ³ 0.
Найдем оптимальный план
Где:
1) E2=B2*$B$6+C2*$C$6+D2*$D$6;
2) E3=B3*$B$6+C3*$C$6+D3*$D$6;
3) E4=B4*$B$6+C4*$C$6+D4*$D$6;
4) В8=B6*B5+C6*C5+D6*D5– целевая функция.
Получим итоговое решение
Таким образом, приходим к выводу, что оптимальный план – это производство 24 единиц Продукта 1, 0 единиц Продукта 2 и 36 единиц Продукта 3.
Ресурс 1 и Ресурс 3 – дефицитные ресурсы, Ресурс 2 – недефицитный.
Задание 2
Решите задачу выбора оптимального варианта распределения инвестиций между конкурирующими проектами, если известны стоимости каждого проекта, возможный срок его начала и получаемая прибыль. Возможны как реинвестиции, так и краткосрочные вклады при 6% годовых. Исходные инвестиции до 1200 д. е. Таблица с исходными данными приведена ниже.
Значения «–1» показывают сроки начала соответствующих проектов, а положительные коэффициенты показывают доход в указанном году на единицу вложенных в проект средств.
Таблица 3
Проект | Стоимость | Доход на единицу средств | ||||
Годы | ||||||
2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | ||
Проект_1 | 400 | -1 | 0.4 | 1.1 | ||
Проект_2 | 430 | -1 | 0.1 | 0.5 | 0.5 | 0.6 |
Проект_3 | 450 | -1 | 0.8 | 0.4 | 0.3 | 0.1 |
Проект_4 | 470 | -1 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 1.5 |
Проект_5 | 400 | -1 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | |
Проект_6 | 500 | -1 | 0.7 | 0.6 | 0.5 | 0.3 |
Пусть общая сумма исходных инвестиций ограничена величиной 1200 д. е. и возможны как реинвестиции, так и краткосрочные вклады при 6% годовых. Ниже приведен один из возможных вариантов таблицы данных для выбора оптимального решения (Таблица 4).
Стоимость | Доход на единицу средств | Переменные | Всего | |||||
Годы | ||||||||
2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | ||||
Проект_1 | 400 | -1 | 0.4 | 1.1 | 0 | 0 | ||
Проект_2 | 430 | -1 | 0.1 | 0.5 | 0.5 | 0.6 | 0 | 0 |
Проект_3 | 450 | -1 | 0.8 | 0.4 | 0.3 | 0.1 | 0 | 0 |
Проект_4 | 470 | -1 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 1.5 | 1 | 470 |
Проект_5 | 400 | -1 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 1 | 400 | |
Проект_6 | 500 | -1 | 0.7 | 0.6 | 0.5 | 0.3 | 1 | 500 |
Вклад_1 | -1 | 1.06 | 230 | 230 | ||||
Вклад_2 | -1 | 1.06 | 240.8 | 240.8 | ||||
Вклад_3 | -1 | 1.06 | 849.248 | 849.248 | ||||
Вклад_4 | -1 | 1.06 | 1571.203 | 1571.203 | ||||
Инвестиции | 1200 | ЦФ | ||||||
Баланс средств | 0 | 0 | 0 | 0 | 2840.475 |
Для учета краткосрочных вкладов, которые возможны в каждый из первых четырех лет рассматриваемого пятилетнего периода, введены строки Вклад 1...Вклад 4.
Колонка Всего показывает фактическое распределение средств, а значения в ней для проектов вычисляются как произведения стоимости проекта на соответствующую двоичную переменную: I16=B16*H16 и так далее;
Очевидно, что для вкладов эти значения являются просто копиями переменных:
Строка «Баланс средств» вычисляется как сумма парных произведений значений из колонки «Всего» на коэффициенты столбца для рассматриваемого года. Для первого года к балансу надо добавить располагаемые инвестиции. Таким образом:
С27=I16*C16+I17*C17+I18*C18+I19*C19+I21*C21+I22*C22+C26;
Аналогично вычисляем следующие балансы
G27=I17*G17+I18*G18+I19*G19+I20*G20+I21*G21+I25*G25 – целевая функция.
В силу конечной точности вычислений, как правило, будут появляться незначительные погрешности. Следовательно, чтобы улучшить сходимость, необходимо установить режим Use Automatic Scaling во вкладке Параметры команды Solver и повторить оптимизацию.
Таким образом, приходим к выводу, что инвестиции необходимо распределить между следующими конкурирующими проектами: Проектом 4, Проектом 5 и Проектом 6.
Расчет в Excel прилагается
