Расчет плоско напряженных железобетонных конструкций методом конечных элементов с учетом специфических свойств железобетона

(аспирант ИрГУПС, Иркутск)

Как известно, метод конечных элементов (МКЭ) в своей классической линейной постановке сводит решение любой задачи к решению системы линейных уравнений вида . При расчете железобетонных конструкций такой линейный подход не дает реальных результатов, поскольку железобетон обладает рядом специфических нелинейных свойств: пластичность бетона, сцепление бетона и арматуры, прогрессирующее образование трещин и др. Наличие столь различных по природе нелинейных свойств, проявляемых конструкциями до момента наступления их предельного состояния требует создания гибкого итерационного алгоритма для их учета.

Рассматриваемый автором алгоритм конструктивного расчета позволяет учесть особенности каждого отдельного вида нелинейного свойства железобетона при различных схемах нагружения конструкции. При расчете железобетонных конструкций, работающих в плоском напряженном состоянии, анализируется работа каждого КЭ в зависимости от стадии, характерного для него предельного состояния: при сжатии – пластическая работа и разрушение, а при растяжении – пластическая работа до образования трещин, частичная разгрузка после ее образования, работа с трещиной и разрушение. В основу алгоритма положена методика учета нелинейных свойств железобетона путем введения дополнительной «фиктивной» нагрузки, а для учета связей зацепления между бетоном и арматурой используются безразмерные связующие элементы, предложенные Скорделисом. Введение дополнительной нагрузки позволяет учесть нелинейные свойства железобетона путем изменения на каждом шаге нагружения лишь значение вектора внешней нагрузки (, где - вектор дополнительной нагрузки, учитывающий характер проявления i-ой нелинейности), при этом не прибегая к пересчету матрицы жесткости , а, следовательно, и обратной матрицы , требуемой для решения системы методом Гаусса, что существенно сказывается на скорости выполнения алгоритма. Повышение скорости выполнения алгоритма, в свою очередь, позволяет строить более производительные программные комплексы.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Железобетон – основной конструкционный материал в строительстве наших дней – отличается рядом особенностей, которые необходимо учитывать для надежного проектирования разнообразных конструкций и сооружений, возводимых из этого материала. Пластические свойства бетона, его неоднородность, трещинообразование уже на ранней стадии деформирования ставят серьезные трудности перед исследователями. Для учета всех его нелинейных свойств железобетона единственно возможным способом расчета конструкций может быть только метод последовательных нагружений (шагово-итерационный), моделирующий поведение конструкции при возрастающем внешнем воздействии.

Наиболее широко используемым в последнее время для расчета строительных конструкций является метод конечных элементов (МКЭ). Сущность расчета любой конструкции МКЭ заключается в том, что она рассматривается как совокупность определенного числа частей, имеющих конечные размеры и простую форму – конечных элементов. В классической постановке расчет МКЭ любого объекта сводится к выполнению следующих этапов.

1.  Представление рассматриваемой области сплошной среды в виде совокупности конечных элементов (КЭ), объединенных в точках узлах. Форма конечных элементов может быть разной. Для плоских конструкций чаще применяется КЭ в виде треугольников и прямоугольников.

2.  Вычисление матриц жесткости отдельных КЭ. Эти матрицы устанавливают связь между узловыми силами и соответствующими узловыми перемещениями:

,

(1)

где - вектор узловых реакций КЭ; - вектор перемещений узлов КЭ; - матрица жесткости данного КЭ.

3.  Формирование разрешающей системы линейных алгебраических уравнений (ЛУ) из уравнений равновесия каждого из узлов рассчитываемой конструкции с перемещениями этих узлов в качестве неизвестных:

,

(2)

где - матрица-столбец неизвестных перемещений узлов; -матрица-столбец внешней нагрузки; -матрица жесткости всей рассчитываемой конструкции. Эта матрица формируется из коэффициентов матриц жесткости отдельных конечных элементов.

4.  Определение узловых перемещений объекта из решения системы линейных алгебраических уравнений:

,

(3)

где - обратная матрица жесткости рассчитываемой конструкции.

Для решения системы уравнений чаще всего используется метод последовательного исключения неизвестных, т. е. метод Гаусса. Это предполагает проведение сначала вычислительных операций постепенного исключения неизвестных из уравнений системы, начиная со второго уравнения до последнего («прямой ход»), а затем операций по последовательному вычислению значений неизвестных, начиная с последнего и кончая первым («обратный ход»).

5.  Вычисление деформаций, напряжений и узловых реакций по найденным перемещениям. Оценка напряженно-деформированного состояния среды.

Однако следует отметить, что при расчете железобетонных конструкций такой линейный подход не дает реальных результатов, поскольку, как уже отмечалось выше, железобетон обладает рядом специфических нелинейных свойств: пластичность бетона, сцепление арматуры с бетоном, прогрессирующее образование трещин и др. Наличие столь различных по природе нелинейных свойств, проявляемых конструкциями до момента наступления их предельного состояния потребовало специально разработать способы их учета при расчете железобетонных конструкций МКЭ. Можно выделить две основных группы таких способов:

Первая связана с изменением на каждом шаге нагружения или итерации коэффициентов общей матрицы жесткости , а вторая – с изменением вектора внешней нагрузки путем введения фиктивной нагрузки. Реализация первой группы способов учета особенностей работы железобетонных конструкций (изменение матрицы ) связана с необходимостью на каждом шаге нагружения составлять матрицу жесткости системы и многократно проводить чрезвычайно трудоемкие операции прямого хода при решении системы ЛУ [1]. Алгоритм расчета железобетонных конструкций путем изменения матриц жесткости для учета специфических свойств железобетона более подробно рассматривался в статье [2].

Вторая группа (введение фиктивных нагрузок) позволяет исключить столь трудоемкую операцию как приведение общей матрицы жесткости системы к треугольному виду и из преобразований прямого хода оставить только те, которые связаны с формированием столбца свободных членов, а затем сразу выйти на обратный ход решения системы линейных алгебраических уравнений. Это позво­ляет существенно сократить трудоемкость расчета и приводит к значительной экономии машинного времени.

Рассмотрим более подробно вторую группу методов, связанных с введением фиктивной нагрузки. Данная группа основана на методе дополнительных нагрузок, предложенным А. А. Ильюшиным [3] для решения задач деформационной теории пластичности. При использовании методов данной группы решаемая система линейных алгебраических уравнений (2) принимает следующий вид:

,

(4)

где - вектор дополнительной нагрузки, учитывающий нелинейные свойства, который на каждом этапе расчета определяется согласно формуле:

,

(5)

где - вектор дополнительной нагрузки, учитывающий характер проявления нелинейности, обусловленной одним конкретным -ым фактором; - число видов нелинейности, учитываемых на данном этапе расчета конструкции.

Вектор дополнительных нагрузок вычисляется таким образом, что при добавлении его к вектору внешней нагрузки конструкция с упругими свойствами получила бы такие же перемещения, как и та же самая конструкция, но с нелинейными свойствами. Основная трудность использования этого метода дополнительных нагрузок при нелинейном расчете конструкции методом конечных элементов заключается в получении теоретических зависимостей, позволяющих формировать векторы дополнительных нагрузок отдельно для каждого вида учитываемой нелинейности и связанные с ними векторы корректирующих напряжений в конечных элементах. Наиболее просто эта задача решается при учете пластических свойств материала конструкции. Рассмотрим пример для плоского треугольного конечного элемента бетона.

Для учета пластических свойств бетона необходимо найти - изменение упругих напряжений за счет проявления пластических свойств, которое определяется из выражения:

(6)

где - упругие напряжения в КЭ; - напряжения в КЭ с учетом пластических свойств бетона. Более подробно зависимости, связывающие напряжения и деформации в бетоне в условиях плоского напряженного состояния, для определения представлены в работах [4, 5]. После определения значения можно получить вектор , учитывающий пластические свойства:

,

(7)

где - толщина КЭ; - площадь КЭ; - матрица, обратная матрице координат узлов ; - матрица, связывающая узловые перемещения и деформации КЭ. Чтобы найти вектор фиктивной нагрузки для всей системы, необходимо в каждом из ее узлов объединить соответствующие компоненты векторов фиктивных нагрузок конечных элементов , сочлененных в данном узле. Значение этих компонент таково, что действие их на систему при постоянной матрице жесткости эквивалентно изменению этой матрицы, вызванному проявлением бетоном пластических свойств. Следует отметить, что учет нелинейных свойств проводится только для бетонных элементов, поскольку нормы запрещают работу арматуры в пластической стадии.

Аналогичный способ формирования дополнительной нагрузки применим и для учета других нелинейных особенностей работы железобетонных конструкций, например, образования трещин. Чтобы определить свойства КЭ с трещиной, необходимо выяснить степень влияния трещины в бетоне на напряженно-деформированное состояние этого же элемента до появления трещины. Для этого предварительно приняты следующие исходные предпосылки.

1.  Трещины в бетоне образуются при превышении главными растягивающими напряжениями предельного сопротивления бетона растяжению .

2.  Направление развития трещины перпендикулярно направлению этого напряжения и параллельно . Главные напряжения и угол наклона главных площадок можно вычислить по известным формулам:

,

(8)

3.  После образования трещины напряжение в направлении, перпендикулярном ее развитию, становится равным нулю, т. е. .

4.  Местом появления трещины принят центр тяжести КЭ. Напряжения в нем определяются по формуле:

,

(9)

где - угол между положительным направлением оси X и направлением главного растягивающего напряжения в момент образования трещины. Эти напряжения можно представить как результат действия двух величин:

,

(10)

где - напряжения в КЭ без трещины; - величина, изменяющая напряжение до величины вследствие образования трещины. Подставив (9) в (10) и с учетом (6) получим:

.

После определения значения можно получить вектор , учитывающий образование трещины:

.

(11)

На основе векторов отдельных конечных элементов с трещинами можно сформировать вектор дополнительной нагрузки, учитывающий появление трещин, для всей рассматриваемой конструкции.

Поскольку межу бетоном и арматурой нет абсолютного сцепления, в процессе работы железобетонной конструкции связи между ними постепенно нарушаются и развиваются взаимные смещения на уровне поверхности контакта. Для учета этого явления в расчетах железобетонных конструкций МКЭ Д. Нго и А. Скорделис [6] предложили использовать специальные связующие элементы (СЭ).

Такие элементы не имеют размера и состоят из двух податливых связей: одна расположена вдоль продольной оси арматуры (продольная связь), а другая перпендикулярно к этой оси (поперечная связь). Продольные связи регулируют распределение условных касательных напряжений сцепления вдоль арматуры, а поперечные – распределение нормальных напряжений сцепления. Продольные связи одинаково работают при взаимных смещениях бетона и арматуры в обе стороны от точки приложения СЭ; поперечные связи являются весьма слабыми при отрыве бетона от арматуры и очень жесткими при давлении на него. Поведение контакта между арматурой и бетоном с помощью СЭ в различных исследованиях описывается по-разному [7, 8]. В частности, можно воспользоваться дифференциальным законом сцепления [9]. Согласно нему матрицу , характеризующую изменение матрицы вследствие проявления нелинейных свойств контакта бетона и арматуры, можно представить в виде:

,

(12)

где - площадь боковой поверхности арматуры, - параметры, зависящие от класса бетона и положения рассматриваемого сечения относительно края трещины или торца конструкции, - взаимное смещение узлов бетона и арматуры.

Вектор , с помощью которого можно изменить упругие реакции узлов так, чтобы они достигли значений , находится по уже известной схеме:

.

(13)

На основе векторов отдельных связующих элементов формируется вектор дополнительной нагрузки для всей конструкции.

Тогда общий порядок расчета на ЭВМ железобетонных конструкций, работающих в условии плоского напряженного состояния, с учетом нелинейных свойств железобетона можно представить в виде следующих этапов.

1.  Составление расчетной схемы конструкции, т. е. представление ее в виде совокупности КЭ, расстановки необходимых связей и приложение нагрузок.

2.  Подготовка исходной информации для расчета на ЭВМ

3.  Вычисление матриц жесткости отдельных КЭ и СЭ и формирование общей матрицы жесткости системы.

4.  Проведение упругого расчета МКЭ: формирование столбца свободных членов , решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и определение неизвестного вектора перемещений узлов расчетной схемы, вычисление деформаций и напряжений в каждом КЭ, подготовка следующей итерации, шага расчета или его окончание в зависимости от поставленных расчетчиком требований.

5.  Учет пластических свойств проводится с помощью итерационного процесса. По результатам предыдущего решения формируется вектор . Значения вектора внешней нагрузки остаются постоянными на данном шаге расчета и определяются в самом начале расчета, перед первой итерацией. Для первой итерации . Вектор фиктивной нагрузки формируется на основании формулы (7). Затем решается система линейных алгебраических уравнений, правой частью которой является вектор , вычисляются перемещения , деформации и напряжений (для КЭ бетона с учетом пластических свойств по формуле (6)), коэффициенты пластичности . Полученные значения для каждого КЭ сравниваются с соответствующими , хранящимися в памяти ЭВМ после предыдущего решения. Если значение отличается от предыдущего менее, чем на 5%, а это означает, что компоненты вектора мало отличаются от соответствующих компонент с предыдущего приближения, то итерационный процесс считается оконченным.

6.  Учет трещинообразования включает поиск КЭ, в которых выполняется критерий трещинообразования () [5], с учетом этого происходит вычисление компонент вектора с помощью формулы (11) и формирование вектора . После чего решается система линейных алгебраических уравнений, вычисляются деформации и напряжения (для треснувших КЭ по формуле (10)), подготавливается следующая итерация.

7.  Учет нелинейной работы сцепления проводится после того, как сформированы векторы и . Вектор формируется с помощью формулы (13). Затем вычисляется вектор , решается система линейных уравнений, вычисляются деформации и напряжения . Далее идет переход к следующей итерации.

8.  Переход к следующему шагу нагружения или окончание расчета.

9.  Анализ полученных результатов.

Таким образом, данный алгоритм предполагает, что при определении дополнительной нагрузки могут быть созданы дополнительные программные блоки, позволяющие определить свойства дополнительных конечных элементов. Это означает, что для реализации нелинейного расчета можно использовать два пути: создавать новые нелинейные программы или разрабатывать дополнительные блоки к ранее созданным оболочкам программ линейного расчета. Следует также отметить, что в статье рассматривается случай плоского напряженного состояния, однако основные выводы применимы и для пространственных железобетонных конструкций.

Литература

1.   И. Общие модели механики железобетона. — М.: Стройиздат, 1996 г. — 416 с.

2.  Градобоев железобетонных конструкций в условии напряженно-деформированного состояния с трещинам // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — Спецвыпуск — ИрГУПС. Иркутск, 2008. с. 60 — 63.

3.  Ильюшин . — М.: Гостехиздат, 1948. — 376 с.

4.  , , Тюпин пластичности бетона и железобетона. — М.: Стройиздат, 1974. — 316 с.

5.  Карякин железобетонных балок методом конечных элементов с учетом пластичности бетона, образования трещин, дискретного расположения арматуры и ее сцепления с бетоном. — Дис. … канд. Техн. Наук. Челябинск, ЧПИ, 1978. — 289 с.

6.  Ngo D., Scordelis A. C. Finite element analysis of reinforced concrete beams // ACJ Journal. — V. 64, №3, 1967. с. 152-163

7.  Fuat D. Nonlinear finite element analysis of cracked beam // Journal of Science and Technology. — №2, 2008. с. 194-205

8.  Kwak H. G., Filippou F. C. Finite element analysis of reinforced concrete structures under monotonic loads. A Report on Research. — Berkeley, USA.: University of California, 1990г. — 124 с.

9.  Оатул к построению теории сцепления арматуры с бетоном // Бетон и железобетон. — №2, 1968. с. 8-10