Лекция №

Лекция № 18 (07.05.10)

Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R2 рассмотрим отобра­жение j поворота всех векторов на угол a вокруг начала координат против часовой стрелки.

Рисунок показывает, что наше отображение является линейным оператором:

j(a + b) = j(a) + j(b);

j(la) = lj(a).

Мы хотим записать матрицу Aj(e) в стандартном базисе e1, e2.

j(e1) = cosa×e1 + sina×e2;

j(e2) = −sina×e1 + cosa×e2.

.

§Действия над линейными операторами

8.2.1. Перемена порядка суммирования в конечных суммах

Вообразим, что нам дана прямоугольная таблица (матрица) A, заполненная числами (дейст­вительными или комплексными) или векторами (более общо, лю­быми элементами, которые можно складывать c выполнением законов ассоциатив­ности и коммутативности сложения).

Мы хотим найти сумму всех элементов aij этой таблицы. Это можно сделать многими спо­собами, но два способа очевидны.

Вычислим сначала сумму всех элементов каждого столбца, а полученные суммы сложим. Мы получим искомую сумму S. Но можно поступить по-другому: сначала сложить все элементы каждой строки, а затем сложить полученные суммы. Естественно, мы получим то же число (или вектор) S. Запишем S двумя вышеуказанными способами:

S = = .

Мы видим, что два выражения отличаются только порядком записи знаков суммирования. Вывод: в конечных суммах можно менять порядок суммирования.

Примечание. В математическом анализе рассматриваются иногда бесконечные суммы рас­сматриваемого типа (суммы рядов). Для них наше утверждение о возможности перемены порядка суммирования, вообще говоря, не­верно (верно только при определённых предположениях типа абсолютной сходимости рядов).

8.2.2. Ассоциативность умножения матриц

Теорема. Пусть даны три матрицы: матрица A размера (m, n), матрица B раз­мера (n, s) и матрица C размера (s, t). Тогда

(AB)C = A(BC)

(обе матрицы существуют и равны).

Доказательство. При сделанных предположениях обе матрицы существуют и имеют оди­наковые размеры (m, t). Вычислим произвольный элемент левой и правой матриц и сравним их:

((AB)C)ij = = = = ;

(A(BC))ij = = = = .

Мы видим, что наши два выражения отличаются только порядком записи зна­ков суммиро­вания. В силу сказанного выше они равны, QED.

8.2.3. Дистрибутивность произведения матриц

Аналогично можно доказать свойства дистрибутивности умножения матриц относительно сложения:

A(B + C) = A×B + A×C;

(A + B)×C = A×C + B×C.

8.2.4. Изображение вектора в данном базисе

Пусть дан произвольный базис u1, u2, …, un пространства Rn, и пусть дан ещё произволь­ный вектор x. Мы можем разложить этот вектор по данному базису:

x = xiui,

а набор коэффициентов (координат вектора) записать в виде матрицы-столбца (век­тор-столбца) X = . Такую запись будем называть изображением данного вектора в данном базисе. Приве­дём пример, показывающий, что изображение данного век­тора, вообще говоря, отличается от обычной записи этого вектора как элемента про­странства Rn (эти записи совпадают, если базис стандартный). В нашем примере

u1 = , u2 = , u3 = ;

x = u3 – u2 – u1 = → = X ≠ x.

8.2.5. Координаты образа вектора при действии линейного оператора

Пусть в пространстве Rn действует линейный оператор φ, а его матрица в не­котором произ­вольном базисе есть A. Пусть также x − некоторый вектор, y = j(x) − его образ под действием дан­ного оператора φ. Обозначим через X изображе­ние век­тора x в данном базисе, а через Y − изобра­жение вектора y. Нас интересует связь между матрицами X, Y и A. Я утверждаю, что такая связь выражается следующей формулой:

Y = AX.

В самом деле, если данный базис u1, u2, …, un, то

y = j(x) = j() = = = = = =.

Последняя запись есть разложение вектора y по базису uj, а так как коэффици­енты такого разложения определяются однозначно, то мы имеем:

yj = = (AX)j.

Это доказывает нашу формулу.

8.2.6. Действия над линейными операторами

Пусть j и y – линейные операторы в векторном пространстве V. Суммой этих линейных операторов называется отображение j + y, действующее (по определе­нию) следующим образом:

x ® (j + y)(x) = j(x) + y(x).

Проверим, что j + y – линейный оператор. Согласно нашему определению,

(j + y)(x + y) = j(x + y) + y(x + y) = j(x) + j(y) + y(x) + y(y) = (j(x) + y(x)) + (j(y) + y(y)) = = (j + y)(x) + (j + y)(y).

Мы воспользовались определением суммы операторов и линейностью операторов j и y. Анало­гично доказывается вторая часть определения линейного оператора − произведение на скаляр (проверьте!).

Пусть j – произвольный линейный оператор, l – число из рассмат­риваемого поля K (R или C). Произведением оператора j на число l называется отображение y, обозначаемое lj и дейст­вующее следующим образом: y(x) = l(j(x)). Несложно проверить, что если j – линейный опера­тор, то y – также линейный оператор. (Про­верьте!)

Произведением операторов j и y называется отображение jy, дейст­вующее следующим образом:

(jy)(x) = j(y(x)).

Мы видим, что это не что иное, как композиция отображе­ний j и y.