ГОРОДСКОЙ МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР УПРАВЛЕНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА КОСТРОМЫ
Теорема Виета в задачах с параметрами.
КОСТРОМА
2006
Теорема Виета в задачах с параметрами: В помощь учителю / Составитель . – Кострома, 2006. – 8 с.
Составитель пособия «Теорема Виета в задачах с параметрами» - Почётный работник Российской Федерации, учитель математики высшей квалификационной категории МОУ лицея №17 города Костромы . Светлана Анатольевна работает в классах углублённого изучения математики. Её учащиеся – призёры и победители математических олимпиад различных уровней.
В пособии представлен практикум «Теорема Виета в задачах с параметрами» и один из способов решения заданий практикума.
Задания расположены в порядке возрастания сложности и носят обучающий характер.
Рецензент:
Л. К. Борткевич – методист ГМЦ
Ó
Ó Оформление и вёрстка
Теорема Виета в задачах с параметрами.
Теорема. Если квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни x1 и x2 ,то для них справедливы соотношения 
- 
, 
.
Задачи.
1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения 
равно нулю?
2. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения 
равна нулю?
3. В уравнении 
сумма квадратов корней равна 16.Найдите а.
4. Найдите все значения а, при которых сумма квадратов корней уравнения 
равна 10.
5. В уравнении 
квадрат разности корней равен 16.Найдите а.
6. Найдите все значения а, для которых разность корней уравнения 
равна 1.
7. При каких значениях а сумма корней уравнения 
равна сумме квадратов его корней?
8. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения 
наименьшая?
9. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения 
наибольшая?
10. При каких значениях коэффициента b сумма квадратов корней уравнения 
принимает наименьшее значение?
11. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения 
.
12. При каких значениях p и q корни уравнения 
равны 
и 
?
13. Не решая уравнения 
найти, при каком значении а один из корней в 2 раза больше другого.
14. В уравнении 
определить а так, чтобы отношение корней равнялось 2.
15. При каких значениях параметра а разность корней уравнения 
равна их произведению?
16. Известно, что корни уравнения 
на 1 меньше корней уравнения 
. Найдите а и корни каждого из этих уравнений.
17. Известно, что корни уравнения 
равны соответственно квадратам корней уравнения 
. Найдите a и b и корни каждого из уравнений.
18. При каких значениях коэффициента с один из корней уравнения 
равен квадрату другого корня?
19. При каких значениях параметра а уравнение 
имеет ровно три корня?
20. При каком а уравнение 
имеет два отрицательных корня?
Решения и ответы.
1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?
Решение.
По теореме Виета имеем 
=
и по условию =0. Корнями уравнения =0 являются числа 3 и 4. При k=3 и k=4 получим уравнение 
, произведение корней которого равно 0.
Ответ:3;4.
2. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения равна нулю?
Решение.
По условию 
=0, по теореме Виета имеем =
.
Корнями уравнения 
являются числа 1 ,-5. При k=1 получим уравнение 
, сумма корней которого равна 0. При k = -5 получим уравнение 
, которое не имеет корней.
Ответ:1.
3. В уравнении сумма квадратов корней равна 16.Найдите а.
Решение.
По теореме Виета имеем =4, = а. По условию 
=16.
42-2а=16, а=0
При а = 0 уравнение 
имеет корни, сумма квадратов которых равна 16.
Ответ: 0.
4. Найдите все значения а, при которых сумма квадратов корней уравнения равна 10.
Решение.
Для того, чтобы сумма квадратов корней уравнения равнялась какой-либо величине, эти корни должны существовать. Значит, дискриминант нашего уравнения должен быть неотрицательным, т. е. а2-4(а+7)
. При таких а у исходного уравнения найдутся (возможно, совпадающие) корни x1 и x2. Запишем для них теорему Виета: = а, = аТеперь, не вычисляя корней, можно найти сумму их квадратов через а:
=
= а2-2(а+7) Согласно условию, эта сумма квадратов равна 10, откуда получаем квадратное уравнение а2-2(а+7)=10, корнями которого являются числа 6 и -4. При а = 6 дискриминант исходного уравнения отрицательный, а при а = -4 положительный.
Ответ: а = -4.
5. В уравнении квадрат разности корней равен 16.Найдите а.
Решение.
По теореме Виета имеем =2, = а. Чтобы корни существовали, дискриминант нашего уравнения должен быть неотрицательным, 4-4а, т. е. а
. По условию 
4-4а=16
а = -3, -3.
Ответ: а = -3.
6. Найдите все значения а, для которых разность корней уравнения равна 1.
Решение.
По теореме Виета =
; =
. Следовательно, 
=
.
По условию =1. Значит, а1=9, а2=-3. При данных значениях параметра а дискриминант исходного уравнения больше нуля.
Ответ: 9, -3.
7. При каких значениях а, сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней?
Решение.
По теореме Виета =2а, =2а-1. По условию =.
=
2а=(2а)2-2(2а-1),
а=1, а =
.
При а =1 уравнение 
имеет корень 1 , при а = уравнение 
имеет корни 1 и 0.
Ответ: 1 , .
8. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наименьшая?
Решение.
По теореме Виета имеем = m-2, = -m-3
==(2-m)2-2(-m-3)=m2-2m +10=(m-1)2+9.
Сумма квадратов корней наименьшая при m =1. При m=1 уравнение 
имеет два корня.
Ответ: 1.
9. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наибольшая?
Решение.
По теореме Виета имеем = -m+1, = m2-1,5.
==(-m+1)2-2(m2-1,5)= -m2-2m+4= -(m+1)2+5
При m= -1 выражение -(m+1)2+5 принимает наибольшее значение. При m = -1 уравнение 
имеет корни.
Ответ: -1.
10. При каких значениях коэффициента b сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?
Решение.
Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом:
==b2-2.
Выражение b2-2 принимает наименьшее значение при b=0. При этом значении b сумма квадратов корней отрицательна. Надо обязательно добавить условие неотрицательности дискриминанта b2-4. Теперь уже нетрудно заключить, что сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение при b=
Ответ:
11. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .
Решение.
Пусть 
= t. Рассмотрим уравнение 
. 
>0, по теореме Виета t1+t2=3, 
=1.
Уравнение имеет два положительных корня, следовательно, исходное уравнение имеет 4 корня. Причем t1=
, t2=
+
=
=2(
=2((t1+t2)2-2t1t2)=2(9-2)=14
Ответ: 14.
12. При каких значениях p и q корни уравнения равны и ?
Решение.
Пусть 
. По теореме Виета имеем = -p, =q, =p2-4q, следовательно, 
;
q= -6p
q
.
Если q=0, то p=0, =0, если p=1, то q= -6, >0. Уравнение имеет корни.
Ответ: p=q=0 или p=1, q= -6.
13. Не решая уравнения найти, при каком а один из корней в 2 раза больше другого.
Решение.
По условию 
. По теореме Виета имеем 
.
Значит, 
При а = 4 уравнение 
имеет корни 6 и 3.
Ответ: 4.
14. В уравнении определить а так, чтобы отношение корней равнялось 2.
Решение.
Пусть х - корень уравнения. Тогда второй корень 2х.
При a=
получим уравнение 
, корни которого -3 и -6.
Ответ:
15. При каких значениях параметра а разность корней уравнения равна их произведению?
Решение.
Имеем ;
По условию 
При а=1 уравнение 
имеет корни 1 и ,
при а =
уравнение 
имеет корни 
и 
, разность которых равна их произведению.
Ответ: 1, .
16. Известно, что корни уравнения на 1 меньше корней уравнения . Найдите а и корни каждого из этих уравнений.
Решение.
Пусть 
и 
- корни уравнения .
По условию +1 и +1 корни уравнения .
По теореме Виета имеем 
Отсюда a+5+1=3a-6, a=6.
При а = 6 уравнение 
имеет корни 2 и 3, а уравнение 
имеет корни 3 и 4.
Ответ: а = 6, 2 и 3 - корни первого уравнения, 3 и 4 - корни второго уравнения.
17. Известно, что корни уравнения равны соответственно квадратам корней уравнения . Найдите a и b и корни каждого из уравнений.
Решение.
По условию и теореме Виета имеем 
Отсюда b=36, ==
При b = 36 уравнение 
имеет корни 9 и 4.
При а = 5 уравнение 
имеет корни -2 и -3.
При а = -5 уравнение имеет корни 2 и 3.
Ответ: при а = -5, b=36 корни первого уравнения 2 и 3,
корни второго уравнения 4 и 9
при а =5 , b=36 корни первого уравнения -2 и -3,
корни второго уравнения 4 и 9
18. При каких значениях коэффициента с корень уравнения равен квадрату другого корня?
Решение.
Пусть числа и являются корнями этого уравнения.
Тогда по теореме Виета должны выполнятся равенства 
и 
.
Поскольку корень должен быть равен квадрату корня , то подставим выражение =2 в эти два уравнения.
Получим систему 
.
Первое уравнение этой системы является квадратным и имеет два корня и 
.
Подставляя эти значения во второе уравнение системы, получаем два уравнения
и 
. Решая эти уравнения, получим с =1 и с = -27.
При этих значениях с дискриминант больше 0.
Ответ:- 27,1.
19. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно три корня?
Решение.
Чтобы заданное уравнение имело три корня, необходимо, чтобы корни одного из сомножителей заданного уравнения совпадали.
Итак, имеем 
, если дискриминант равен нулю.
Значит а = -3. Но если а = -3, то при любом x, второй сомножитель отрицателен, что невозможно.
Рассмотрим равенство нулю второго сомножителя: 
Его корни совпадают, если а+1=0 , т. е. а = -1.
При а = -1 первый сомножитель имеет два корня.
Ответ: -1.
20. При каком а уравнение имеет два отрицательных корня?
Решение.
=(2а-а+5)(а-10)=8а+209>0
Корни будут иметь одинаковые знаки, если 
Оба корня будут отрицательны, если при этом 
Таким образом, задача свелась к решению системы неравенств 8а+209>0
Ответ:
