Продуктивное мышление (стр. 10 )

Рис. 86

При работе с такими наборами — скажем, кубиков — даже у маленьких детей обнаруживается сильная тенден­ция к действиям в разумном направлении. Они часто на­ходят это направление спонтанно, «улучшая», «исправ­ляя» ситуацию. При этом нет необходимости в языке — они просто разумно соединяют объекты, пригоняя их друг к другу. Нередко для осмысленного действия нет необходимости даже давать задание: оно определяется внутренней динамикой ситуации. Мы опять сталкиваем­ся здесь с ролью «нарушения», «пробела», «именно того, что требуется» как частей единого целого. Эти особенно­сти, по-видимому, являются наиболее важными при эффективном обучении арифметике 1.

Простой иллюстрацией нашей проблемы является следующая фигура, вызывающая сильное желание уб-

1 Благодаря многолетнему опыту изучения детей д-р Катрин Штерн разработала приемы и методы обучения арифметике, в ко­торых важную роль играет подлинное открытие в структурных по

161

рать квадрат, или остаток, оттуда, где квадратов «слиш­ком много», и поместить туда, где его не хватает.

Рис. 87

Сходные соображения, по-видимому, имеют первосте­пенное значение при обучении геометрии. Так, например, для осмысленного определения величины угла важно рас­сматривать его в качестве части единого целого, равного 360°. Если с углами в 182° и 180°, 355°, 360°, 363° обра­щаться просто как с любыми углами, как с углами одного ранга, то можно не заметить их структурного положения, их функционального значения. Здесь я напомню экспе­рименты с детьми, которых просили повернуть большую стрелку часов несколькими последовательными вращения­ми 1. Задание было похоже на задачу Гаусса. Например: каким будет конечное положение стрелки, если ее повер-

природе задачах. Результаты такого обучения, которое доставляет большое удовольствие, кажутся в сравнении с обычным обучением (путем заучивания), которое делает основной упор на формиро­вание ассоциативных связей, чрезвычайно хорошими. Эти методы и исследования опубликованы в: S t е г n С. Children discover arith­metic. — Прим. Майкла Вертгеймера.

1 Wertheimer M. Über das Denken der Naturvölker, Zahlen und Zahlgebilde.—"Zeitschrift für Psychologie", 1912, Vol. 60, S. 321—378

162

нули сначала по часовой стрелке на 7°, потом на 90°, за­тем на 180° и опять на 90°? Или сначала на 8°, потом на 7°, затем на 83°, 6°, 84°, 5°, 85°, 4°, 86°? В экспериментах с детьми, которые ничего не знали об углах, я говорил: «Сейчас 12 часов, предположим, что я несколько раз по­вернул стрелку. Где остановится стрелка, если я сначала повернул ее на 7 минут, затем на 25, 5, 24, 6?»

Вот данные, полученные при решении следующих за­дач взрослыми испытуемыми. Я просил определить сум­му векторов — сил, действующих на тело, — в следующих случаях: «Один вектор (а) с величиной К направлен вертикально вверх (0°), другой (b) с величиной L направ­лен под углом 90° к первому, третий (с) с величиной К — под углом 180°, четвертый (d) с величиной L — под углом 270°. Какова сумма этих сил, действующих на тело?»

Рис. 88

Результат — особенно если начертить схему — очеви­ден и равен нулю; противоположно направленные век­торы компенсируют друг друга, противоположно направ­ленные равные векторы объединяются в пары.

Но бывает, что человек, который видит всю фигуру, настаивает на образе действий, который он называет «строгим». Строя параллелограммы (рис. 89), он говорит: «Векторы а и b в параллелограмме сил дают в сумме ре­зультирующую силу r1. Сложение первой результирую­щей и вектора с по правилу параллелограмма сил дает вторую результирующую (рис. 90). Последняя в сумме с d дает третью результирующую, которая равна нулю, а r3 в сумме с а дает в результате +a». Он был явно оша­рашен и неуверенно сказал: «Но это чепуха! И все же,

163

если действовать таким образом, получается а... где же ошибка?» Он затратил на напряженное обдумывание боль­ше 14 минут и, ничего не выяснив, оставил задачу. Вер­нувшись к ней через некоторое время, он неожиданно до­вольно грустно сказал: «Понял. Я уже использовал

Рис. 89 Рис. 90

первый вектор» — и извиняющимся тоном добавил: «Я действовал глупо. Мне было ясно, что нужно пере­брать все векторы. Получив 3-ю результирующую, я счи­тал, что прошел лишь ¾ пути, только 270°... Я думал, что нужно сделать этот угол полным. Я не подумал, что уже использовал вектор а. Как я был глуп. Конечно, а и с в сумме дают нуль, и b и d тоже нуль. Таким образом, ре­зультирующая равна нулю».

Конечно, он за исключением последнего шага действо­вал правильно. Часто нужно строить каждую результи­рующую — этот метод является общим. Но не следует за­бывать, что нередко в продуктивных ситуациях решающую роль играет осмысленное видение всей фигуры в целом: осознание симметрии и равновесия целой фигуры и осмыс­ленная группировка соответствующих отклонений. Испы­туемого, очевидно, сбило с толку сильное желание зам­кнуть, завершить конструкцию.

Это, несомненно, крайний случай. Если нарисовать или показать схему, то почти все ответы будут осмысленными при непременном условии, что ясен смысл «векторов».

IV

Я уже упоминал, что может оказаться полезным предъявление задания в форме

271+272+273+274+275

= ?

5

164

Некоторые видят решение сразу. «Конечно, 273», — отве­чают они, даже не приступая к громоздким вычислениям, Другие же не видят решения и спрашивают, действитель­но ли нужно произвести все сложения. Даже если зада­ние дается в качестве проверки после обучения методу Гаусса, испытуемый может начать со слепого сложения:

271 + 275 = 546

Суть этого примера в том, что знаменатель требует деления числителя на пять равных частей и таким обра­зом помогает увидеть выражение, стоящее в числителе, как состоящее из этих пяти частей. Когда эксперименты показали, что реальные затруднения многих испытуемых сходны с затруднениями, возникающими при решении задачи Гаусса, показалось уместным ввести структурные упрощения.

Когда я спрашивал детей, чему равно

я получал от некоторых сообразительных детей четкие ответы. Большинство из них смеялись понравившейся шутке, тогда как другие удивлялись, зачем нужны такие простые задачи, или скучали, но без труда отвечали. Они легко и сразу понимали, что то, чего требует знаменатель, уже сделано в числителе. Деление на пять понималось в своем структурном значении, как требование разбиения величины числителя на пять равных частей, что уже было сделано. Или иначе, числитель, рассматриваемый как произведение, указывал на компенсацию умножения и деления.

Сложение (или, в сущности, умножение) с последую­щим делением соответствует здесь ситуации, когда мы что-то делаем, а затем уничтожаем сделанное, это озна­чает тщательную работу над тем, что уже сделано, попыт­ку получить решение, которое уже дано. Конечно, что-то необходимо проделать, а именно осознать, что решение уже есть, увидеть, что одно из чисел является не просто числом, которое нужно прибавить к остальным, а уже готовым решением. Это и есть достижение: разумный переход в контексте задачи от функционального значения

165

объекта к решению. Это довольно просто: решение лежит почти «на поверхности» 1. Хотя иногда и наблюдаются небольшие колебания ввиду того, что испытуемые не ожи­дают столь легкой задачи, на лицах испытуемых скоро по­является улыбка, сопровождаемая такими замечаниями, как: «Это очевидно. Сначала казалось, что задача будет трудной, но это не так», и дается решение.

Размышляя о некоторых школьных установках, с кото­рыми я так часто встречался, я продолжал задавать по­добные вопросы. Меня поразило — я не представлял себе — насколько экстремальной часто может быть ситуа­ция. Ряд детей, которым в школе особенно хорошо дава­лась арифметика, действовали на ощупь, сразу же начи­нали с утомительных вычислений или просили освобо­дить их от сложных задач — они не рассматривали ситуа­цию в целом. Конечно, когда я помогал им разобраться, они со стыдом восклицали: «Как я был слеп, как глуп!»

Эти наблюдения напомнили мне о некоторых более серьезных результатах экспериментов в школе, которые весьма тревожили меня. Я более тщательно и внимательно изучил обычные методы и способы преподавания ариф­метики, учебники и специальную психологическую лите­ратуру, на которой основаны методы обучения, изложен­ные в этих учебниках. Все яснее и яснее становилась одна из причин затруднений: упор на механические уп­ражнения, на «немедленные ответы», на формирование привычки действовать вслепую, по частям. Повторение полезно, но продолжительное механическое повторение может оказаться вредным. Оно опасно потому, что легко порождает привычку к чисто механическим действиям, действиям вслепую, тенденцию к школярскому отноше­нию к учебе, к подражанию, а не к свободному размыш­лению.

Исследование отупляющего действия механического

1 Экспериментируя с задачами, решение которых фактически содержится в самом тексте задачи, но функционально скрыто, то есть представлено в контексте задачи в совершенно другой функ­ции и роли, сталкиваешься с типичными ответами. Испытуемые часто не замечают даже точной буквальной формулировки реше­ния в тексте. И характерно, что лишь спустя некоторое время они открывают для себя это. Последнее является еще одним экспери­ментальным доказательством важности осознания места, роли и функции элемента в структуре. (См. эксперименты Н. Майера с включением технических заданий в контекст других задач: Reaso­ning in humans. I. On direction.—"Journal of comparative Psychology", 1930, Vol. 10, p. 115-143).

166

повторения в последовательности предлагаемых задач бы­ло начато в Берлинском институте в 1924 г. Дункер и Зе­нер получили поразительные результаты 1. В последние годы мой ученик А. Лачинс 2 провел всестороннее исследо­вание этого эффекта в школах и разработал эксперимен­тальные методы его изучения. Поразительно, как легко механические действия, излюбленные методы повторения отупляют даже самых сообразительных, хорошо подготов­ленных учащихся. Лачинс применял также методы «из­лечения» от таким образом вызванной слепоты, что обыч­но позволяло легко восстановить осмысленные реакции, но это не оказало значительного влияния на многих детей в некоторых школах. Конечно, существует несколь­ко возможных объяснений как эффекта отупления, так и возвращения к нормальному состоянию: Лачинс и Аш 3 провели экспериментальное исследование этих теоретиче­ских проблем. Выяснилось, что важными факторами яв­ляются: привычки, приобретаемые в результате упраж­нений, установки при решении задач, определенная атмо­сфера в школе, оказывающая влияние на обучение, дея­тельность и мышление 4.

Сейчас я расскажу о трех реакциях на полученные ре­зультаты.

Однажды я рассказал об этих результатах знаменито­му психологу. Я сказал, что они могут объясняться пло­хим преподаванием, быть следствием упора на формирова­ние бессмысленных ассоциаций и заучивание, что ослаб­ляет установку на соображение. «О нет, — возразил он, — вовсе нет. Если вы задаете такие «гештальтвопросы», то отрицательный результат совсем не кажется удивитель­ным, детей не учат решению таких задач. В школе их учат арифметике. Если вы будете учить их на таких геш­тальтзадачах, они научатся их решать. Дело только в том, чему вы их учите».

Эти замечания содержат четкую формулировку теоре­тической проблемы. Этот психолог сам является тонким

1 См.: М a i е г N. R. F. Op. cit.

2 Luchins A. Mechanization in problem solving: the effect of Einstellung.—"Psychological Monographs". 1942. Vol. 54, N 6,

3 A s с h S. E. Some effects of speed on the development of a mechanical attitude in problem solving. (Доклад, прочитанный в 1940 г. на заседании Восточной психологической ассоциации.)

4 О последствиях обучения, игнорирующего структурные зако­номерности, см. гл. 1, 2; ср. также результаты д-ра Катоны в "Or­ganizing and memorizing". (См. также гл. 5 и Приложение 4.)

167

мыслителем. Его замечания станут понятными, если учесть, что для него, как и для многих других, мышление 1еоретически есть не что иное, как функционирование механических ассоциативных связей, привычек, приобре­тенных в результате повторения. Чем же еще может быть мышление?!

Математик, которому я рассказал об этих эксперимен­тах, заметил: «Вы ошибаетесь. Неважно, найдете ли вы такой короткий способ решения; метод точного вычис­ления является правильным, общим методом. Вы можете пользоваться кратчайшим путем только в исключитель­ных случаях».

Это важный вопрос. Отвечая ему, я сначала ссылался на некоторые вещи, о которых говорил в предыдущих гла­вах. Затем я спросил, считает ли он открытие Гаусса также просто экономной процедурой, не имеющей осо­бого значения. И наконец, я сказал: «Я, напротив, счи­таю метод Гаусса не просто конкретным приемом корот­кого способа решения. Речь идет об основной установке в отношении к задаче, к способам решения. Для многих школьников деление действительно означает технику, приобретаемую тренировкой, как, например, в случае „8 делим на три, получаем 2; сносим 2; 21, деленное на 3, равно 7; 6, деленное на 3, равно 2". Вот что такое для них деление. Но хотя механический навык обладает практической ценностью, особенно в смысле освобожде­ния ума для более важных задач, возникающих в проб­лемных ситуациях, он не должен отуплять человека. Сле­дует различать случаи, когда техника деления рассматри­вается и применяется просто как техника, и случаи, когда человек не понимает, что суть деления заключает­ся в подразделении данной конкретной структуры на ча­сти. И то же относится к умножению.

Если в таких случаях человек не может понять струк­турного смысла деления, то он упускает главное. Я дей­ствительно считаю, что при обучении арифметике следует делать основной упор не на механическую тренировку, а дать возможность ребенку самому открыть структурные особенности и требования данных ситуаций и научиться осмысленно действовать в них. Конечно, это требует со­вершенно иного способа обучения, отличного от исполь­зуемой в большинстве школ тренировки». Затем я расска­зал математику о некоторых достижениях в области струк-

I68

турных методов, особенно о методах д-ра Катрин Штерн 1 которые он, конечно, оценил по достоинству.

Совсем иной была реакция другого хорошо известного психолога. После того как я рассказал ему кратко о своих экспериментах в школе, он заявил: «Конечно, я вас пони­маю. Это напоминает мне мои собственные наблюдения, которые могут оказаться типичными. Мой сын, сообразительный мальчик, пришел ко мне и сказал: „Понимаешь, папа, я очень хорошо успеваю по арифметике в школе. Я умею складывать, вычитать, умножать, делить — все, что угодно, — очень быстро и без ошибок. Трудность в том, что я часто не знаю, какое из действий нужно приме­нить..."»

В этом повинны не учителя. Многие из них в той или иной степени не удовлетворены упором на механические ассоциации, на слепые упражнения. Многие прибегают к ним, потому что им кажется, что эти методы согласуются с научной психологией, под которой они понимают пси­хологию механического запоминания бессмысленных сло­гов и обусловливания. Многие прибегают к ним, так как не видят других, более осмысленных, конкретных, науч­ных способов обучения. Разработка лучших методов дей­ствительно является задачей более адекватной психоло­гии мышления и обучения.

V

Возможно, теперь у читателя сложилось ясное пред­ставление о психологической структуре задачи Гаусса. Однако в изложенных вариантах не получил достаточного освещения следующий интересный вопрос. Именно он и делает открытие Гаусса столь замечательным: это вопрос о внутренней связи решения и принципа, по которому построен ряд. В ходе экспериментов я демонстрировал ряды чисел, не давая задания. Вот один из них:

-63, -26, -7, 0, +1, +2, +9, +28, +65

Взглянув на этот ряд, читатель, возможно, уже что-то заметил. Может быть, он заметил сходство некоторых чисел (-63, +65; —26, +28; -7, +9), установил, что сумма каждой пары равна двум, что 3X2 = 6, что сумма 0+1 + 2 равна 3, так что сумма ряда равна 9. Эта про-

1 См. с. 161, сноска 1.

169

цедура в какой-то мере является гауссовой, но не вполне. Встречается другой тип реакции. Приведу типичный протокол. «Слева направо ряд последовательно возрастает, сходным образом он убывает справа налево. Эти числа как-то соответствуют друг другу: —63 и 65, —26 и 28, —7 и 9. Что можно сказать о средней части?

Рис. 91

...А, ряд неверно центрирован! Действительным цент­ром является +1! Эта 1 должна быть нулем... И если мы из каждого числа вычтем 1, то получим xn = n 3» 1.

Таким же образом действовал испытуемый, когда его с самого начала просили найти сумму. Заинтересовавшись исследованием ряда, он, однако, сначала игнорировал за­дание пли временно забыл о нем. После того как испытуе­мый таким образом получил хп = п3, ему напомнили, что нужно было найти сумму. «Сумму? — сказал он. — Сум­ма этого ряда, естественно, равна нулю... Ой, извините, здесь же еще этот дурацкий сдвиг. Весь ряд сдвинут на + 1. К каждому числу добавляется +1. Значит, +1, ум­ноженное на число членов... чему это будет равно? Девя­ти», — сказал он не слишком довольным тоном.

В этом месте экспериментатор заметил: «Как стран­но вы действуете! Вас просили определить сумму, зачем вообще беспокоиться о таких вещах?» И он показал упомя­нутый выше короткий способ, добавив: «Никто не спра­шивал о принципе построения ряда. Почему же не выпол­нить задание прямо?»

На что испытуемый, явно поглощенный своими мыс­лями, несколько раздраженно ответил: «Да-да, вы правы, но, пожалуйста, не мешайте мне. Разве вы не видите, что отсюда следует?..» Он погрузился в раздумья. Для него начался долгий процесс, состоящий из цепи открытий.

Концентрация на поставленном вопросе, попытки ре-

170

шить задачу кратчайшим путем не всегда являются са­мым разумным подходом. Существует такая вещь, как стремление добраться до сути дела. Несколько дней спу­стя тот же испытуемый сказал: «Это дурацкий сдвиг — я должен в нем разобраться». Как прекрасно открыть «ис­тинную» структуру 1, проникнуть за обманчивую види­мость, добраться до самой сути, понять, в чем здесь дело. Через некоторое время испытуемый сказал: «Здесь хn = п3... Сумма равна нулю независимо от того, продол­жается ли ряд симметрично или обрывается в любой за­данной точке. Этого не происходит при хп = п2. Обе поло­вины равны друг другу, но они друг друга не компенси­руют: ( — 2)2 = 4, как и ( + 2)2. Вообще при нечетном по­казателе степени сумма должна быть равна нулю». Далее он продолжал: «То же справедливо для непрерывных кри­вых, например для синусоиды, которая должным образом оборвана, для площади под кривой или для суммы верти­кальных отрезков, расположенных между синусоидой и осью абсцисс:

Рис. 92

И то же справедливо для площади в

Площадь превращается в прямоугольник.

Рис. 93

Даже если кривая смещена!

Рис. 94

1 Для того, чтобы действительно убедиться в том, что такой структурный взгляд (здесь xn=n3 со сдвигом) является верным, некоторые продолжают выяснять, будут ли другие значения слева и справа соответствовать установленному принципу. Другие ис­следуют также, что произойдет со значениями при изменении ря­да. Но в данном опыте главным было не это. Наш испытуемый со­средоточился на определенных целостных свойствах рядов, о чем свидетельствовали его дальнейшие действия.

171

Дело в симметрии и равновесии всей фигуры. А как же для других кривых? Конечно, это справедли­во и для у = х (см. рис. 95А) или для у = ах (см. рис. 95Б).

Рис. 95А Рис. 95Б

При любом изменении угла это справедливо для любой симметрично оборванной прямой. Для у = ах + b линия только сдвигается. И площадь всех фигур вроде следую­щей равна произведению высоты центра и основания.

Рис. 96

Это справедливо для соответствующего ряда хп = xn-1 + k. Сумма членов равна среднему значению, умно­женному на число членов, с умноженному на n».

Таким образом, он пришел к теореме Гаусса, отправ­ляясь не от ряда, начинающегося с 1, а увидев равновесие в распределении чисел, которое является свойством струк­туры в целом.

Теперь я вернусь к процессу мышления этого испытуе­мого. Главное, что здесь нужно понять, — это то, что дело не в нахождении разностей между соседними членами, не в констатации равенства этих разностей и т. д., или в открытии законов построения таких рядов. Важнейшим

172

Рис. 97

оказывается вопрос о равновесии целого, осознание связи равновесия с особенностями целого. И это равновесие является весьма динамичным, чувствительным к любым отклонениям — или нарушениям в любой из частей.

Если построить схему точек таких гауссовых рядов, то мы увидим, что эта линия является прямой или что су­ществует отклонение от прямолинейности (структурное нарушение), задолго до того, как сможем установить или узнать величину разностей, их равенство и т. д. Напри­мер:

1+2+3+4+6+7+8

Рис. 98

или

Рис. 99

173

Мы замечаем подобные нарушения, которые противоре­чат явному свойству целого — прямолинейности. Такие ряды, например первый из приведенных выше (без чис­ла 5), могут быть описаны как ряды, подчиняющиеся закону, выраженному в общей формуле xn = f(xn-1). Он так же закономерен, как ряд, соответствующий прямой, только обладает более сложной структурой. Но ряд хп = = xn-1 + k отличается своей структурной простотой, струк­турной ясностью свойства целого. Воспринимая ряд

1+2+3+4+5+6+7+8

непосредственно, или особенно в виде схемы, никто не станет считать его отклонением от более сложной струк­туры, в которой 5 предстает как нарушение. Хотя, конечно, с математической точки зрения один закон как за­кон ничем не отличается от другого 1.

То же справедливо для синусоиды, или для точек, об­разующих синусоиду. Гораздо раньше, чем мы устанав­ливаем или узнаем расстояния между отдельными точка­ми, гораздо раньше, чем мы находим «закон образования класса», управляющий ими, мы замечаем — рассматривая целое — регулярность кривой.

Рис. 100

Мы видим, что правильные части целого ритмически чередуются,

		что b соответствует a;
Рис. 101

1 Конечно, решающую роль играют факты. Можно ошибиться, делая более простое допущение о структуре. Решающими являют­ся структурные особенности элементов ряда. (См. с. 171, сноска 1.)

174

что с соответствует d

Рис. 102

Мы «схватываем» симметрию частей целого, только рассматривая их как части. Самым важным психологиче­ски здесь являются выделяющиеся черты целого 1 и его частей. На фоне этих центральных черт становятся осо­бенно заметными отклонения, рассматриваемые именно как отклонения.

Многие скажут: «Очень хорошо, но это только нестро­гая, глобальная, психологическая точка зрения, которая несравнима с точной математической формулировкой в терминах y = f(x) и т. д.» Это возражение неубедительно. Является ли математический путь обязательно движением снизу вверх? От элементов к целому? Следует ли, чтобы быть точным, выводить качества целого, например сим­метрию, как нечто вторичное? Разве нет не менее точного математического способа рассмотрения сверху вниз? Ма­тематических способов, которые исходят от свойств цело­го и только потом ведут к элементам?

Восприятие свойств целого психологически не изме­нится, если вместо точной во всех деталях синусоиды рассматривать извилистую «синусоиду» или кривую в виде набора точек, с некоторым разбросом и даже со случай­ным их распределением 2. В данном случае мы сверху воспринимаем свойства целого, его форму, хотя отдельные детали, мельчайшие части, элементы не управляются больше простым законом. Математики могут стро -

1 Это справедливо не только для ритмических форм и симмет­ричных конфигураций, это справедливо также для изменений на­правления основного вектора и т. д.

Это же справедливо для всего процесса мышления и для наших действий, если мы, несмотря на всякие усложнения, малейшие от­клонения, не теряем из виду общего направления.

2 На международном психологическом конгрессе в Гронингене в 1926 г. я сообщил о проведенных в этой связи исследованиях в докладе о порогах восприятия («Zum Problem der Schwelle»).—Be­richt über den VIII Internationalen Kongress für Psychologie. Gro-

175

Рис. 103

го описывать такие случаи, устанавливая свойства целого, которые не будут меняться, несмотря на изменение ча­стей.

Рис. 104

В современной физике такая ситуация является до­вольно типичной. В таких случаях нам известны свойства целого, поведение системы в целом, но мы не знаем точ­но, как ведут себя мельчайшие частицы, или знаем, что они ведут себя случайным образом. Должны ли мы, пы­таясь найти математическую формулировку, начинать с установления законов для этих мельчайших частиц? Воз­можно, существуют способы начинать с определения свойств целого, которые допускают изменения в поведе­нии мельчайших частиц.

Более того, нельзя ли разработать таким образом ме­тоды изучения проблем динамики? Рассматривать тенден­ции к некоторым трансформациям не на основе простого суммирования отдельных элементарных сил, а как функ­ции свойств целого и их нарушений?

Как бы ни обстояло дело в дальнейшем, конечно, не­верно, что целостный подход является лишь «глобаль­ным», «нестрогим», справедливо лишь то, что с техниче-

ningen, P. Noordhoff, 1926). И несколько лет спустя Вудвортс при вел интересный пример: с самолета на поле, которое обрабатыва­лось в течение многих десятилетий, был обнаружен доисториче­ский вал. Раньше его никто не замечал. Он был обнаружен бла­годаря широкому обзору всего поля, который был у пилота.

176

ской точки зрения противоположный способ действий является более разработанным.

Вернемся теперь к процессу, описанному на с. 170 и сл. Хотя, рассматривая задачу Гаусса, испытуемый и совершал действия, похожие на действия других испытуе­мых (см. II), существует все же некоторое различие. Этот испытуемый подошел к задаче шире и глубже. Для него эта задача была не просто отличной возможностью реор­ганизации конкретной задачи; он сосредоточил свое вни­мание на возможностях, открывавшихся благодаря уста­новлению внутренней связи между формой ряда и его суммой.

Потом он сравнил свою формулу с · п с формулой Гаус­са (n + 1) n/2 и заметил, что последняя переходит в с · п и заметил, что последняя переходит в с · п при небольшом ее изменении на · п. Затем он сказал:

То, что ряд начинается с 1, не существенно. Это лишь частный случай. Более того, формула Гаусса является частным случаем, потому что она ограничена разностью членов, равной 1. Важно основное, закономерность; в не­которых рядах, некоторых кривых, некоторых распределе­ниях обнаруживается явная внутренняя связь между свойствами целого, принципом построения и их суммой. Об этом хотелось бы знать побольше. Каковы общие тре­бования? По-видимому, основным является вопрос рав­новесия целого, компенсации различных частей на неко­тором уровне». Размышляя над вопросом компенсации,

177

он понял, что этот же принцип справедлив и для произ­ведений. Хотя эти проблемы и захватили его, я не буду здесь рассказывать о его последующих шагах. Они при­вели его к вопросу, только ли компенсация делает воз­можной внутреннюю связь между возрастающим рядом и его суммой, и в конечном счете к факту существования конечных пределов у бесконечных рядов.

В таких мыслительных процессах решением конкрет­ного задания — «задача решена, задание выполнено» — дело не кончается. Способ решения, его основные осо­бенности, трудности решения выступают как части боль­шой расширяющейся области. Здесь функции мышления не ограничиваются только решением конкретной задачи, мыслящий человек совершает открытия, обнаруживает более глубокие вопросы. Часто в великих открытиях наи­более важным является правильная постановка вопроса. Прозрение, постановка продуктивного вопроса порой яв­ляются большим достижением, чем решение поставлен­ной задачи, подобно тому как в нашем примере важней­шим был процесс постановки, кристаллизации основной структурной проблемы — более широкий, более глубокий, чем описанные ранее процессы.

Подобно тому как задача — проблемная ситуация — в ходе продуктивного мышления не является чем-то зам­кнутым в себе, но ведет нас к решению, к структурному завершению, даже задача с полученным решением часто не является завершенной вещью в себе. Она снова может функционировать как часть, которая заставляет нас выйти за ее пределы, побуждает рассматривать, осмысливать более широкое поле. Часто это длительный процесс, характеризующийся драматическим преодолением пре­пятствий. Встречаются чистые случаи, когда такой про­цесс протекает неуклонно на протяжении многих меся­цев и даже лет 1, при этом никогда не теряются из виду более глубокие проблемы, и человек не погрязает в мелких деталях, не идет окольным путем, по боковым тропам.

Существует одно важное различие между педантич­ным и широким мышлением, — различие, которое и в

1 Это верно не только в отношении отдельных лиц, но и в от­ношении групп, так как великие проблемы передаются от поко­ления к поколению и индивид действует прежде всего не как ин­дивид, а как член определенной группы.

178

жизни является чрезвычайно важным. Многие теоретика не видят его или не придают ему значения, они смеши­вают его с вопросами строгости и односторонней точности отдельных шагов и упускают самую суть дела. Но точ­ность не вступает в противоречие с особенностями мыш­ления: она является их союзником.

ГЛАВА 5

Плюс три, минус три 1

В физической лаборатории стоит зеркальный гальва­нометр. Падающий на зеркало луч света отражается от него и отбрасывает световой зайчик на матовую стек­лянную шкалу, вдоль которой он движется взад и впе­ред, следуя колебаниям зеркала.

Несколько мальчиков пришли со мной в лабораторию и наблюдают за движущимся лучом. Он движется взад и вперед, от —3 через 0 к +3.

На следующий день мы снова приходим в лаборато­рию. Правый конец шкалы скрыт от взгляда с помощью перегородки. Осциллирующее пятно света движется влево до —5, возвращается к 0, исчезает за экраном, возвраща­ется и т. д. Я спрашиваю: «Как вы думаете, каково пре­дельное значение справа?»

1. Один из мальчиков сразу же отвечает: «Плюс три, я помню, что вчера крайним делением справа было плюс три». Этот ответ, возможно, просто результат механиче­ского воспроизведения значения, которое во вчерашнем опыте было связано с правым краем шкалы. Мальчик, по-видимому, совершенно не думал о внутренней связи

1 Эта глава не была включена в первое издание книги, хотя, судя по найденному в бумагах Макса Вертгеймера раннему вари­анту оглавления, он хотел поместить этот материал здесь. Работа над рукописью, по-видимому, не была завершена. Глава нуждалась в редактировании, но мы ограничились минимальной правкой. — Прим. Майкла Вертгеймера.