Биномиальное, полиномиальное распределения

1 Биномиальное, полиномиальное распределения

ДСВ X имеет биномиальный закон распределения, если она

принимает значения 0, 1, 2,…, т,…, п с вероятностями

(1)

где

Вероятность р(X=т) находится по формуле Бернулли, следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X = т наступлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью.

Ряд распределения биномиального закона имеет вид

	0	1	…	т	…	п
			…		…

Для СВ X распределенной по биномиальному закону, числовые характеристики находятся по формулам

(2)

Биномиальный закон распределения используется в теории стрельбы, при описании функционирования систем массового обслуживания в теории стрельбы и т. д.

Пусть в эксперименте выделена полная система несовместных событий , таких, что . Случайный вектор -я координата которого - количество осуществлений события в серии из п - независимых испытаний, носит название полиномиального случайного вектора. Можно показать, что полиномиальный случайный вектор является дискретным. Его ряд распределения задается соотношением

(3)

2 Распределение Пуассона

ДСВ X имеет распределение Пуассона, если она принимает значение 0, 1, 2, …, т, ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

.

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид

	0	1	…		…
					…

Закон Пуассона зависит от одного параметра а, который является одновременно МОЖ и дисперсией СВ, т. е. М(X)=а; Д(X)=а.

Можно доказать, что распределение Пуассона с параметром а=пр можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов п очень велико, а вероятность р очень мала, т. е. в каждом отдельном опыте событие а появляется крайне редко.

Поэтому закон Пуассона называют «законом редких явлений».

По закону Пуассона распределены, например, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в "нормальном режиме", число "требований на обслуживание", поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, число рождения четверней, число распадов реактивного вещества за время t, число атак средств ПВО по самолету, пересекающему зону ПВО за время t, т. д.

3. Равномерное распределение

Рассмотрим некоторые наиболее важные распределения НСВ.

Н С В X имеет равномерное распределение на [а, в], если на этом отрезке плотность вероятности СВ постоянна, а вне его равна нулю, т. е., если

Так как площадь области, ограниченной графиком плотности вероятности, согласно условию нормировки, равна единице, то плотность равномерного распределения на [а, в] , как высота прямоугольника с основанием (b-a) равна и, следовательно плотность вероятности имеет вид:

(1)

Найдем функцию распределения для равномерного распределения

1)

2)

3)

Итак,

(2)

Найдем МОЖ и Д(X) СВ X, имеющей равномерное распределение

(3)

Одним из наиболее простых распределений СНСВ является равномерное распределение.

Система двух НСВ (X, У) имеет равномерное распределение в области Д плоскости ХОУ, если плотность вероятности в точках области постоянна и равна нулю в остальных точках плоскости ХОУ:

(4)

где - площадь области Д.

СВ, имеющая равномерное распределение, применяется в измерительной практике при окружении отчетов измерительных приборов до целых делений шкал, распределение случайных углов поворота деталей механизмов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению.

4. Показательное распределение

НСВ X имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если её плотность вероятности имеет вид

(5)

Положительная величина , называется параметром распределения.

Найдём функцию распределения

(6)

Числовые характеристики показательного распределения:

(7)

Показательное распределение широко применяется в теории надежности, как закон распределения времени наработки на отказ (безотказной работы) сложных технических систем, их подсистем, агрегатов и элементов.

Согласно определению вероятность безотказной работы некоторого технического устройства до первого отказа выражается функцией надежности

, (8)

где Т - СВ - время наработки на отказ.

Выражая её через противоположное событие и предполагая СВТ распределенной по показательному закону, получим

(9)

Вероятность отказа за время t равна

, (10)

а плотность вероятности СВТ связана с вероятностью отказа соотношением

(11)

Среднее время наработки на отказ (или МОЖ этого времени) в соответствии с (7) равно

Параметр распределения играет роль интенсивности отказов.

Показательное распределение тесно связано с простейшим (стационарным пуассоновским) потоком событий. В частности интервал времени между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром , равным интенсивности потока

.

Пример. Самолет, выполняющий боевой полет, пересекает зону ПВО противника, где по нему действует поток атак средств ПВО. Предполагая поток атак средств ПВО простейшим с интенсивностью = 0,10 ат/час, определить вероятность того, что следующая атака после очередной атаки средств ПВО произойдет в течение 5 минут.

Решение. По существу, нужно определить при t = 5.

СВТ - время между двумя атаками (событиями в простейшем потоке), распределенному по показательному закону с параметром (опуская вопрос о поражении самолета первой атакой).