Вариационно-разностный метод

5.10. Вариационно-разностный метод

Этот метод представляет собой сочетание вариационного и разностного методов, причем он также основан на нахождении минимума полной потенциальной энергии. Поясним применение метода на примере простой балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q, (рис. 5.17).

 

Рис. 5.17

Пусть все шаги разностной сетки одинаковы и равны D, а количество узлов – n. Жесткость балки переменна – EJ (x). Потенциальная энергия деформации балки

. (5.93)

Потенциал внешних сил

. (5.94)

При дискретизации интегралы заменяют суммами, причем суммирование выполняют по всем узлам, а производные заменяют их разностными аналогами.

В таком представлении полная потенциальная энергия

Э =

или в развернутом виде

(5.95)

Условие минимума потенциальной энергии для узла i дает

(5.96)

При минимизации энергии по wi выпали все слагаемые, не содержащие wi ; в уравнении (5.96) остался только прогиб в узле i и прилегающих к нему 4 узлах – i +1, i +2, i – 1 и i – 2. После сведения подобных членов в случае EJ = const уравнение (5.96) принимает вид

, (5.97)

что полностью совпадает с разностным аналогом (3.49) дифференциального уравнения изгиба балки.

В связи с применением ЭВМ было установлено, что конечно-разностные аппроксимации лучше сочетать с вариационной постановкой задачи. Это позволяет: избежать вывода дифференциальных уравнений, упрощает формулировку граничных условий, удобно алгоритмизировать все этапы расчета. Действительно, уравнение (5.96) можно представить так:

или, в свернутом виде

, (5.98)

где вторая производная жесткости для узла i.

Кривизна в свою очередь выражается через прогибы (вторая из формул (5.98)), причем индекс h принимает значения индекса жесткости: i – 1, i, i + 1.

Для ортотропной плиты со следующими зависимостями между моментами Mx , My , Mxy и кривизнами Х, c, l

(5.99)

с переменными жесткостями A, B, C, D полная потенциальная энергия плиты представляется так

(5.100)

Минимизация энергии путем дифференцирования (5.100) по прогибам приводит к такому оператору для формирования разрешающих уравнений задачи (для телесного узла ij):

(5.101)

Здесь кривизны выражаются через прогибы при помощи разностных соотношений

(5.102)

причем индексы h, x принимают значения индексов жесткостей i, j. В случае изотропной плиты с постоянными жесткостями А.=.B.=.D0.; C = nD0 ;

D = (1 – n) D0./2, D0 = Eh3/(12 (1 – n2)) и одинаковом в двух направлениях шаге сетки разрешающее уравнение задачи аналогично разностному оператору (5.88).

5.11. Большие прогибы пластинки

В предыдущих пунктах рассматривалось действие на пластинку только поперечных нагрузок. Если, кроме поперечных нагрузок, в условиях задачи имеются и силы, действующие в срединной плоскости пластинки, то они могут оказать значительное влияние на её изгиб. Такая возможность возникает, если опорные закрепления препятствуют свободному смещению краев такой (гибкой) пластинки в плоскости контура, или по краям пластинки, в её плоскости, приложены внешние cилы (обычно задачи устойчивости).

Соответствующее дифференциальное уравнение для изогнутой поверхности пластинки можно получить путем следующих соображений. Пусть линия mn (рис. 5.18, (а)) представляет собой сечение срединной поверхности изогнутой пластинки плоскостью, параллельной xОz; аbсd – бесконечно малый элемент, вырезанный из пластинки. В дополнения к усилиям, возникающим при изгибе (рис. 5.4), теперь учитываем еще и силы, действующие в срединной плоскости. Обозначим силы, отнесенные к единице длины, через Nx , Ny и Nxy = = Nyx (рис. 5.18.б). Проектируя силы Nx на ось z, учитывая, что можно принять синус угла, составленного осью x и усилием Nx равным самому углу (углы наклона усилий Nx по граням ad и bc малого элемента показаны на рис. 5.18, (а)), получим

.

 

Рис. 5.18

После упрощения, если пренебречь слагаемым третьего порядка малости, эта проекция получит такое выражение

. (5.103)

Подобным образом, усилия Ny , действующие по двум другим граням элемента, дадут вертикальную составляющую

. (5.104)

Проекция касательных усилий Nxy на ось z, как видно из рис. 5.18,.(в),

после упрощений, даёт вертикальную составляющую

.

Подобное выражение может быть получено и для проекции на ось z касательных усилий Nyx

.

C учетом взаимности Nyx = Nxy полная проекция касательных усилий на ось z

. (5.105)

Складывая составляющие (5.103), (5.104), (5.105) и пользуясь уравнениями равновесия, получим полную проекцию на ось z всех усилий, действующих в срединной плоскости пластинки (цепных сил)

. (5.106)

При составлении уравнения равновесия (5.14) элемента пластинки, с учетом усилий показанных на рис. 5.4 и рис. 5.18, (б) составляющая (5.106) должна быть присоединена к нагрузке qdxdy. Прогиб пластинки при действии нормальной нагрузки q, и усилий Nx , Ny , Nxy = Nyx будет такой же, как прогиб пластинки под действием только нормальной нагрузки, имеющей интенсивность

.

Таким образом, если пластинка, кроме поперечных нагрузок, подвергается еще и действию мембранных сил, для ее расчета нужно пользоваться следующим уравнением:

. (5.107)

Наиболее просто уравнение (5.107) решается в случае, когда Nx , Ny и Nxy постоянны.

Предположим, что пластинка подвергается равномерному растяжению усилиями Nx в направлении оси х и действию равномерной поперечной нагрузки интенсивности q (рис. 5.19).

 

Рис. 5.19

Уравнение (5.107) в этом случае принимает вид

. (5.108)

Граничные условия на свободно опертых краях будут удовлетворены, если принять прогиб w в виде ряда

. (5.109)

Подставляя (5.109) в (5.108) и выполнив необходимые выкладки, использовавшиеся в решении Навье, найдем для коэффициентов Amn следующее выражение:

(5.110)

Из сравнения этого результата с Amn (5.37) в решении Навье (5.39) следует, что прогиб пластинки в рассматриваемой задаче, из-за наличия в знаменачлена Nx.m2/(p 2Da2), меньше, чем прогиб пластинки, загруженной только поперечной нагрузкой, что и следовало ожидать.

В рассмотренном примере мы предполагали, что усилия в срединной плоскости известны и постоянны. Задача становится сложнее, когда усилия, действующие в срединной плоскости пластинки, не заданы, и являются следствием опорных закреплений, препятствующих смещению краев пластинки при изгибе. Такой случай часто встречается на практике в пластинках, имеющих большие прогибы.

Для исследования общего случая больших прогибов пластинки необходимо, кроме уравнения (5.107) получить уравнения, позволяющие разыскать усилия Nx , Ny , Nxy .

Поскольку эти усилия действуют в плоскости пластинки xОy, мы можем воспользоваться уравнениями, полученными раньше для плоской задачи. Предполагая, что объемных сил в плоскости xОy не имеется, и что нагрузка действует перпендикулярно к пластинке, мы должны принять следующие уравнения равновесия малого элемента в плоскости xОy, записав их в усилиях (см. рис. 5.18, (б) и уравнения (3.11))

(5.111)

Очевидно, что физические соотношения, записанные через усилия, будут выглядеть так (3.13)

. (5.112)

В геометрических зависимостях рассматриваемой задачи (см. (3.13)) деформации получают дополнительные приращения, связанные с изгибом (рис. 5.20).

Рассмотрим перемещения линейного элемента АВ, лежащего на пересечении плоскости xОz и срединной плоскости пластинки. Из рис. 5.20 видно, что точка В, заняв положение В¢, получает за счет изгиба элемента АВ дополнительное смещение D, величина которого ввиду малости углов, может быть вычислена так:

,

тогда , что позволяет получить первую из формул (5.113). Рассматривая деформацию срединной плоскости в направлении оси y, а также деформацию сдвига, можно получить два других уравнения в (5.113)

x

 

B¢

 

 

Рис. 5.20

(5.113)

Взяв вторые производные от (5.113), сложив первые два соотношения и вычтя третье, получим уравнение совместности деформаций в деформациях

. (5.114)

Подставив (5.112) в (5.114) можно получить уравнение, которое установит связь между усилиями в срединной плоскости и прогибами пластинки. Это уравнение вместе с двумя уравнениями равновесия (5.111), при условии, что известны прогибы, позволяют разыскать Nx., Ny., Nxy.. Однако, как и в плоской задаче, эти три уравнения можно свести к одному, введя функцию напряжений

F = F (х, у). Очевидно, уравнения (5.111) будут тождественно удовлетворены, если принять следующие зависимости

. (5.115)

Если (5.115) подставить в (5.112) получим:

(5.116)

И, наконец, подставив (5.116) в уравнение совместности (5.114) придем к следующему уравнению, связывающему функцию напряжений F и функцию прогибов w

. (5.117)

Второе уравнение, необходимое для определения F и w, получим путем подстановки (5.115) в (5.107)

(5.118)

Уравнения (5.117) и (5.118) совместно с граничными условиями позволяют разыскать две функции: напряжений F и прогибов w. Эти уравнения получены Карманом.

Зная функцию напряжений, по (5.115) нетрудно определить усилия в срединной плоскости пластинки; зная функцию прогибов, можно получить усилия, связанные с изгибом, пользуясь теми же формулами, что и в случае пластинки с малым прогибом. Таким образом, исследование больших прогибов пластинки сводится к решению системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Решение этих уравнений в общем случае не получено.

Здесь удобно применить метод В. Ритца – , описанный в п. 5.7. Полная энергия деформации пластинки получится путем сложения энергии изгиба U с энергией, обусловленной деформацией срединной поверхности Um.. Эта составляющая, выраженная через функцию напряжений, имеет вид:

.

Этим методом выполнен расчёт равномерно-нагруженной пластинки с защемленными краями.

На рис. 5.21 приведен график зависимости в функции от .

 

Рис. 5.21

Для сравнения на рисунке пунктиром нанесены также прямые линии, представляющие собой относительные прогибы, вычисленные на основе теории малых прогибов. Рассмотрены пластинки с соотношением сторон b/a.=.1 и
b/a = 1/2. Из сравнения кривых с соответствующими прямыми, в частности, следует, что применять уравнение Софи Жермен-Лагранжа (5.18) к расчету пластинок можно лишь для пластинок, в которых ; в противном случае следует пользоваться уравнениями Кармана (5.117), (5.118).

5.12. Осесимметричный изгиб круглой пластинки

Для решения задачи расчета круглой пластинки удобна полярная система координат. Располагая начало координат в центре пластинки и определяя положение какой-либо точки величиной радиуса – вектора r и углом q, составляемым этим вектором с осью x, будем иметь x = r cosq, y = r sinq (рис. 5.22,.(a)). В полярной системе координат нагрузка q, а следовательно, прогиб пластинки и внутренние усилия (рис. 5.22, (б)) – изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы будут функциями r и q. Запишем основные уравнения, выведенные в декартовой системе координат, применительно к полярной системе. Подобное преобразование выполнялось нами раньше, при решении плоской задачи. Согласно (3.70) гармонический оператор

. (5.119)

 

Рис. 5.22

Основное уравнение изгиба (5.18) в полярной системе координат, приобретает вид

. (5.120)

После выполнения дифференцирования

(5.121)

Полученное уравнение (5.121) является дифференциальным уравнением в частных производных четвертого порядка. Замкнутого решения этого уравнения не получено. Ограничимся здесь рассмотрением простейшего случая, когда нагрузка, изгибающая пластинку, а также закрепление краев пластинки симметричны относительно центра. При этом условии срединная поверхность изогнутой пластинки будет поверхностью вращения и величина прогиба w будет зависеть только от координаты r ; в (5.121) превратятся в нуль члены, содержащие производные по q, и основное уравнение изгиба круглой пластинки в полярных координатах примет вид:

. (5.122)

Совмещая ось x с направлением r и принимая во внимание, что рассматривается случай симметричного изгиба, получим следующие равенства

. (5.123)

Заменяя в формулах для внутренних усилий, полученных для декартовых координат, производные функции прогибов w по х и у на производные по r согласно (5.123), определим выражения для усилий в полярных координатах

(5.124)

где Mr (Mq) – радиальный (тангенциальный) изгибающий момент; крутящий момент; Qr (Qq) – радиальная (тангенциальная) поперечная сила; Vr., Vq – соответствующие обобщенные поперечные силы.

Уравнение (5.122) можно решить в общем виде. Как уже отмечалось, общее решение неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения F и частного решения неоднородного уравнения j, т. е.

w = F + j. (5.125)

Общее решение однородного уравнения

, (5.126)

соответствующего неоднородному уравнению (5.122), как известно, имеет вид

. (5.127)

Чтобы получить общий вид частного решения j, уравнение (5.122) представим в виде

. (5.128)

Интегрируя последовательно четыре раза это уравнение, найдем

. (5.129)

Интеграл (5.129) легко вычислить, если интенсивность нагрузки задана в функции от r. Например, в случае нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности пластинки q (r) = q = const

, (5.130)

и общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.122) для нагрузки, равномерно-распределенной по поверхности пластинки примет вид

. (5.131)

Сплошная защемленная по контуру пластинка. Четыре произвольные постоянные в общем интеграле (5.131) можно определить из условий в центре пластинки и на контуре. В центре пластинки прогиб и наклон изогнутой поверхности в радиальном направлении конечны (рис. 5.23)

. (5.132)

 

Рис. 5.23

Так как , то в решении (5.131) нужно положить С1 = С2 = 0 и тогда

. (5.133)

На контуре пластинки должны обращаться в нуль прогиб и наклон изогнутой поверхности в радиальном направлении

. (5.134)

Подставляя в (5.134) функцию прогибов (5.133) получим два условия для определения С3 и С4

(5.135)

откуда находим

. (5.136)

Функция прогибов w, после подстановки (5.136) в (5.133) принимает вид:

. (5.137)

Очевидно, что наибольший прогиб будет в центре пластинки, при r = 0

. (5.138)

Заметим, что этот прогиб составляет 3/8 от наибольшего прогиба равномерно нагруженной полоски, защемленной по концам, жесткость которой при изгибе равна D, ширина – единице, а длина – диаметру пластинки. Подcтавляя функцию прогибов (5.137) в формулы (5.124) найдем значения изгибающих, крутящих моментов и поперечных сил.

Изгибающие моменты в центре пластинки, при r = 0

,

а на контуре пластинки, при r = a

.

Радиальная поперечная сила в центре пластинки равна нулю, а на контуре

.

Эпюры прогибов, изгибающих моментов и радиальной поперечной силы для диаметрального сечения пластинки, изготовленной из материала с коэффициентом Пуассона n = 0,3 показаны на рис. 5.23.

Из выражений для изгибающих моментов видно, что максимальное нормальное напряжение получается на контуре пластинки, где оно равно

.

Если край пластинки, нагруженный равномерно-распределенной нагрузкой шарнирно оперт, то определив из контурных условий произвольные постоянные, получим

. (5.139)

Прогиб центра шарнирно опертой круглой пластинки при n = 0,25 в 4,2 раза больше прогиба пластинки с защемленным краем. Изгибающие моменты

.

В центре пластинки

.