№ 11 Момент инерции материальной точки.
Момент инерции тела. Привести примеры.
Теорема Штейнера.
1) Момент инерции мт J = mr2 [J] = кг x м2
2) Момент инерции атт Ji=Δmi x ri J=∑ Δmi x ri
Δmi=pi x Δvi p-плотность ; v - объём
Момент инерции – физическая величина,
характеризующая инертность тела, при его
вращательном движении. Зависит от массы
тела, формы тела и положения оси вращения.
МТ | J = mr2 |
Цилиндр (диск) | J = mr2/2 |
Цилиндр (полый) | J = mr2 |
Шар | J = 2mr2/5 |
Стержень (ось в центре) | J = ml2/12 |
Стержень (ось с края) | J = ml2/3 |
Теорема Штейнера - момент инерции тела
относительно произвольной оси равен сумме
момента инерции этого тела относительно
оси, проходящей через центр масс тела
параллельно рассматриваемой оси, и
произведения массы тела m на квадрат
расстояния d между осями.
J=Jc+md2
№12 Динамика вращательного движения.
Момент инерции. Момент силы. Момент
импульса. Основной закон динамики
вращательного движения.
Динамика вращательного движения.
Поступательное движение | Вращательное движение |
Масса (m) | Момент инерции (J) |
Сила (F) | Момент силы (M) |
Импульс (p) | Момент импульса (L) |
Момент инерции – физическая величина,
характеризующая инертность тела, при его
вращательном движении. Зависит от массы тела,
формы тела и положения оси вращения.
Момент силы - физическая величина,
характеризующая вращательное действие
силы на твёрдое тело.
[M] = H x M ;
M = r x F x sin(a) r x sin(a) = L
M = F x L
Моментом силы относительно оси называется
момент проекции силы на плоскость
перпендикулярную оси относительно точки
пересечения оси с этой плоскостью.
Момент всех внутренних сил системы:
∑ Mi внутр. = 0
Момент импульса - характеризует количество
вращательного движения. Величина, зависящая
от того, сколько массы вращается, как она
распределена относительно оси вращения и с какой
скоростью происходит вращение. Замечание:
момент импульса относительно точки - это
псевдовектор, а момент импульса относительно
оси - скалярная величина.
М. Т.
mi ri Vi ; Pi = mi x Vi ; Li – момент импульса
Li = mi x ri x Vi ; Vi = ri x ω ; mi x ri 2 = Ji
Li = Ji x ω ; Li = Ji x ω
А. Т.Т.
L = ∑ Li ; L = ∑ Ji x ω = J x ω
[L] = кг x м2 x с-1
Основной закон динамики вращательного движения.
1. Уравнение моментов. Основное уравнение динамики
(2 закон Ньютона для М. Т.)
OB перпендикулярно F => OB – плечо (L)
L = r x cos(α) ; aT = ε x r ; ε x m x r2 = M
m x r2 = J ; ε x J = M
ε = M/J ; ε = M/J ; a = F/m
2. ε = (∑Mi x Ln)/∑Ji ; Mi x Ln – сумма всех моментов
∑Ji = J ; ε = dω/dt ; ε = ∑Mi/J
dω/dt = ∑Mi/J ; J x (dω/dt) = ∑Mi ; J = const ; L = J x ω
dL = J x dω ; dL/dt = ∑Mi ; dP/dt = F ; dL = ∑Mi x dt
Элементарные изменения момента импульса тела
на оси равны элементарному импульсу момента сил
относительно этой же оси.
№13. Момент импульса. Закон сохранения
момента импульса. Примеры.
Момент импульса – смотри вопрос №12
Закон сохранения момента импульса.
L = J x ω ; dL/dt = ∑Mi ; ∑Mi = 0 ; L = const
Если существует момент сил, действующих
на тело, закреплённое на оси равен нулю,
то момент импульса есть величина
постоянная. J x ω = const
J1 x ω1 = J2 x ω2
Примеры. Скамья Жуковского. Опыт с
вращением на скамье и сведением
отведением рук.
№14. Кинетическая энергия. Работа при
вращательном движении.
а)кинетическая энергия м. т.
=
б)Кинетическая энергия а. т.т.
в)Работа. A=FS ; S=r
;
A=Fr(
) ; Fr=M ; A=M()
A=M
№15 Гармонический осциллятор.
Дифференциальное уравнение собственных
колебаний. Его решение. Амплитуда, фаза,
частота собственных колебаний. Скорость и
ускорение.
Тело, совершающее колебания по г
армоническому закону, - гармонический
осциллятор.
1. Дифференциальное уравнение г. о.
Fвып=0 , Fпр=0
Тело совершающее
колебания по этому закону называется г. о.
2. Решение дифференциального уравнения.
x=Acos(W0t+
)
A-амплитуда -фаза
-величина, характеризующая
состояние колебания системы в данный
момент времени
-фаза в начальный момент колебания
x(t)=x(t+T)
x(t+T)=Acos(w0(t+T)+ )=Acos(w0t++2п)
w0t+w0T+=w0t++2п
w0T=2п
w0=2п
T=
T=
3. Скорость и ускорение
Vmax=Aw0
V=Aw0cos(w0t++п/2)
a=
amax=Aw2
a=Aw20cos(w0t++п)
№16 Гармонический осциллятор. Кинетическая,
потенциальная и полная энергия ГО
- тело, совершающее колебания по гармоническому
закону (зак. Гарм. Функц: COSωt, SINωt и начинаются
от положения равновесия).
W = T+U
T = mV2/2=(mA2ω0Sin2(ω0t+φ))/2
U = kx2/2 = (mω02COS2(ω0t+φ))/2
Тк V = - A ω0 Sin(ω0t+φ) k = m ω02
x = Aω0 COS(ω0t+φ) W = T + U = mω02A2/2
№17 Затухающие колебания. Дифференциальное
уравнение затухающих колебаний и его решение.
Время релаксации, коэффициент затухания, декремент.
Затуханием колебаний называется постепенное
ослабление колебаний с течением времени,
обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Закон затухания колебаний зависит от свойств
колебательной системы. Система называется линейной,
если параметры, характеризующие существенные в
рассматриваемом процессе физические свойства системы,
не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие
колебания линейной системы описываются уравнением:
md2x/dt + bdx/dt + kx = F0COS(ω0t+φ) = 0
k/m = ω02 b/m = 2β
уравнение: d2x/dt2 + 2β dx/dt + ω02x = 0
решение: x = e - βt (C1e√ (β^2- ω0^2)t + C2e-√ (β^2- ω0^2)t)
затух колеб – как частный случай когда β мало
β2 - ω02 < 0 β2 - ω02 = ω2 √(β2 - ω02) = iω2
x = e - βt (C1e iωt + C2e- iωt) C1e iωt + C2e- iωt = C1xe - iωt + C2xeiωt
C1 = C2x C2 = C1x C1 = A0eiφ0/2 C1 = A0e-iφ0/2
Потом подставляем С в вышеупомянутое уравнение,
выносим Ао/2, а в скобках получается такая фигня:
[COS(ωt+φ0) - iSin(ωt+φ0)] хотя я не уверена
В итоге X = A0 e - βt COS(ωt+φ0) ; COS – фаза, остальное амплитуда
Время релаксации амплитуды –
время уменьшения амплитуды в е раз
A0 e - βt через τ A0 e- β(t+τ)
A0 e - βt / A0 e- β(t+τ) = e βt = e λτ/Τ
τ/T = Nτ - число колебаний за время релаксации,
чем оно больше тем добротнее система. (Q)
коэффициент затухания – определяет скорость затухания
колебаний – β ; обратен по величине тому промежутку
времени, за который амплитуда колебаний уменьшается
в «e»=2.718 раз
декремент – величина равная отношению любой
амплитуды к соседней
A0 e - βt / A0 e- β(t+T) = D D = eβt
логорифмический декримент λ=lnD
λτ = βt A(t) = A0 e- βt = A0 e-λt/T
№18 + 19
Дифференц. Уравнение:
md2x/dt2 + bdx/dt + kx = F0COS(ωt+φ0)
колебания совершаются под действием
постоянно действующей вынуждающей силы
ω – частота вынуждающей силы
d2x/dt2 + bdx/mdt + kx/m = F0Cos(ωt+φ0)/m
k/m = ω02 b/m = 2β F0/m = f0
d2x/dt2 + 2β dx/dt + ω02x= ^f0 eiωt
x = x1 + x2
дифф уравнение отличается от первых,
неоднорю диффю ур. с пр. частью.(?)
решение есть общее решение однородного
уравнения + частное решение
d2x/dt2 + 2β dx/dt + ω02x = 0
x = A0 e - βt Cos(ω1t+φ0)
ω1 = √( ω02 - β2) x1 = 0 x = x2
уст. Колебания совершаемые с частотой вынужд. F
x = ^A e-iωt dx/dt = iω^A e-iωt d2x/dt2 = - ω2^A e-iωt
- ω2^A e-iωt + 2β iω^A e-iωt + ω02^A e-iωt = ^f0 eiωt
^A = (ω02 - ω2 + 2β iω) = ^f0
^A = ^f0 / ω02 - ω2 + 2β iω
^A2 = ^f0 / (ω02 - ω2) + 2β iω * ^f0x / (ω02 - ω2) + 2β iω
^A2 = f02 / (ω02 - ω2)2 + 4β2ω2
A = F0 / (m√((ω02 - ω2)2 + 4β2ω2))
Резонанс – резкое возрастание амплитуды при
воздействии Fвынужд с резонансной частотой. Найдем её.
A = F0/(m√((ω02 - ω2)2 + 4β2ω2))
(d/dω)[ (ω02 - ω2)2 + 4β2ω2)] 2(ω02 - ωω) + 8 β2ω = 0
ω не равно 0 иначе не бдет колебаний
ω02 - ωр2 + 2β2 = 0 ωр = √(ω02 - 2β2)
Ар = F0/ m2β√(ω02 - 2β2) Aстат = F0/m ω02
Сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой.
F = F0 cos(ωt+φ0) фаза силы
^x = ^ACos(ωt+φ0) амплитуда компл.
ω02 - ω2 + 2β iω = ρ e-iσ
x = ρ e-iσ cos(ωt+φ0) x = (1/ρ) f0 cos(ωt+φ0 - σ)
1/ρ – коэфф усиления
Между смещ и силой имеется сдвиг σ
ω02 - ω2 + iαβω = ρ (Cos σ + iSin σ ) действ мним
Cos σ = 1/ρ (ω02 - ω2) Sin σ = 1/ρ 2βω
Tgσ = 2βω / (ω02 - ω2)
X = f0(1/ρ)Cos(ωt+φ0 – arctg (2βω / (ω02 - ω2)))
Фазовая резонансная кривая
X = F0 Cos(ωt+φ0 – arctg (2βω / (ω02 - ω2)))/ (m√((ω02 - ω2)2 + 4β2ω2)
№20 Графический метод сложения колебаний.
Сложение колебаний одного направления с
одинаковыми, близкими и различными частотами.
Близкие частоты
x1=Acos(ωt)
x2=Acos((ω+ ∆ ω )t)
x=(x1+x2)=A(cos(ωt) + cos((ω+ ∆ ω )t))=
=2Acos(∆ ωt/2) cos(ωt) =|2Acos(∆ ωt/2)|
Одинаковые частоты
Представим каждые колебания c помощью
метода вращающегося вектора
x1=A1 cos(ω0 t + ψ1)
x2=A2 cos(ω0 t + ψ2)
x=A cos(ω0 t + ψ)
A2 = A2 2 + A1 2 + 2 A1 A2 cos(ψ2 – ψ1)
tg ψ = (A1 sin ψ1 + A2 sin ψ2) / (A1 cos ψ1 + A2 cos ψ2)
№21 Сложение взаимноперпендикулярных
колебаний с одинаковыми и кратными частотами.
x=Acos(ωt)
y=Bcos(ωt+ ψ)
ψ –разность фаз между
колебаниями
cos(ωt) = x/A =>
sin(ωt) = √(1 – X2/A2)
cos(ωt+ ψ) = y/B
cos(ωt)cos ψ - sin(ωt)sin ψ = y/B
(x/A) cos ψ - √(1 – X2/A2) sin ψ = y/B
((x/A) cos ψ – (y/B))2 = (1 – X2/A2) sin2 ψ
sin2 ψ = (x/A)2 – 2(XY/AB)cos ψ + (y/B)2
1)sin 2ψ=0 (подставляем в ур-е выше)
cos ψ=1 ; y=(B/A)x
cos ψ=-1 ; y=-(B/A)x
2)sin2 ψ=1
cos ψ=0 ; (x/A)2 + (y/B)2 = 1
Если A=B => Ур-е окружности
№22. общее определение волнового процесса.
Уравнение плоской монохроматической волны.
Длина волны, волновое число, фазовая скорость
распространения волны.
Волновым процессом (волной) называется
распространение колебаний в среде. Волны –
процесс распространения колебаний в пространстве.
Если колебания возникают – возникает и волна.
Волны делятся на виды в зависимости от природы
колебаний.
Электромагнитные
Упругие (механические)
К любой волне применим ряд характеристик:
Смещение от полож равновесия ξ
Амплитуда А
Циклическая частота ω
линейная частота ω=2 עπ
период T = 2π/ω
фаза
скорость волны V
луч – напр. Расп. Ось х
фронт волны – геометрическое место точек,
до кот. В данный t дошли колеб. 1)плоск в. 2)сфер в.
Волновая поверхность –
геометрическое место точек – колеб в 1 фазе
Деформации – упругие и поперечные
Длина волны λ – расстояние между точками на луче,
колеб в 1 фазе или расст на котором распредел колеб
за время одного периода
ТВ. Т. V = √(E/ρ)
E – модуль юнга, ро – плотность среды
Газ V = √(γRT/μ)
Γ – коэфф пуасона. = Сp/Cv
Уравнение плоской бегущей волны
Поместим в точку о ист. Колеб.
So = ACos ωt = So(t)
Найдем гарм колеб для SB = ACos ωt’
t’ = t – x/V x/V = τ
SB = ACos (ω(t - x/V)) = S(x, t) =
= ACos ω(t - x/V)
Фаза
Длина волны
λ=VT T=1/ ע λ = V/ ע V= λ/T
SB = ACos ω(t - xT/ λ) = ACos(ωt- ωxT/ λ)
= ACos(ωt - 2πx/ λ)
2π/ λ = k – волновое число [м-1]
S(x, t)= ACos(ωt - kx)
t – сплошная, пунктиром – t'
t’>t обе const
Решение:
∂2S/∂x2 = 1/v2 * ∂2S/∂t2
фазовая скорость распространения волны
Vф = V
ω(t - x/V) = const
dt – dx/V = 0
v = dx/dt => V= Vф Vф-?
ωt - kx = const
ωdt - kdx=0
dx/dt = ω/k = Vф
№23. динамика волнового процесса.
Перенос энергии волной. Вектор умова.
Và
Бегущие волны переносят энергию по
направлению луча.
Sосн = 1м2
h=l=V
V=Sоснh=SоснV
Nчаст.
W1= kA2/2 k- жесткость
ω=√k/m k/m = ω2 k=mω2
W1= mω2A2/2
WN = NW1
N?
n – концентрация N=nV=nSоснV
WN = mω2A2nV/2
mn=ρ
WN = W = ρ ω2A2V/2
ρ ω2A2/2 = ώ – объемная пл. Энергии
W = ώV = f(V)
W => j – вектор умова – физическая величина,
характеризующая плотность потока энергии.
Интенсивность волны
J = ώV
Направлен по скорости
[дж/м2с]
Далее стоячие волны и их отличие от бегущих (?)
Возникают в результате сложения 2х монохром. Плоск.
Бегущих друг другу на встречу волн.
Падающий: S1 = ACos(ωt - k/x)
Отраженный: S2 = ACos(ωt- kx)
S = 2ACos(kx)Cos(ωt)
