В. Д. МУР, С. Г. ПОЗДНЯКОВ, В. С. ПОПОВ1, C. В. ПОПРУЖЕНКО
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
1Институт теоретической и экспериментальной физики
СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
МЕТОДОМ ЗЕЛЬДОВИЧА
Предложен метод суммирования расходящихся рядов, в том числе рядов теории возмущений, являющийся аналогом метода регуляризации Зельдовича в теории квазистационарных состояний. Показано, что этот метод совместен с известными методами Абеля и Бореля. Процедура применения нового метода продемонстрирована на примере суммирования нескольких известных рядов.
Как известно, ряды теории возмущений (ТВ) расходятся за исключением небольшого числа простейших модельных задач, в которых ряд обрывается на нескольких первых членах. По этой причине извлечь из рядов ТВ какую-либо информацию о поведении искомой функции (например, энергии уровня) невозможно без использования методов суммирования (или регуляризации) расходящихся рядов. Такие методы исследуются в математике со времен Эйлера и Пуанкаре. Разнообразные методы суммирования и соотношения между ними, т. е. их совместность или несовместность подробно рассмотрены, например, в монографии [1].
В теоретической физике наиболее часто используются методы Абеля и Бореля [1], как наиболее простые и удобные в вычислительном отношении. В настоящей работе мы обсудим еще один метод суммирования, который возникает из исследований по теории квазистационарных состояний [2].
Обобщённой суммой ряда (или просто суммой) по Зельдовичу назовём предел
. (1)
Если ряд сходится, то (1) совпадает с его обычной суммой. Поскольку 
при 
, то можно ожидать, что (1) сильнее, чем метод Бореля, однако возникает вопрос о его совместности с другими методами суммирования. Не претендуя на строгое математическое решение этой проблемы, рассмотрим несколько характерных примеров, иллюстрирующих применение метода (1).
1. Рассмотрим простейший расходящийся ряд [1]:
. (2)
Методы Абеля и Бореля дают для его суммы значение 1/2. Применение метода Зельдовича даёт:
,
где 
– одна из тета-функций [3]. Так как 
[3], то
. (3)
Таким образом, все три метода суммируют ряд (2) к одной и той же величине, равной 1/2.
2. Рассмотрим ряд Эйлера [1]:
(4)
Здесь метод Абеля не работает, а метод Бореля даёт:
(5)
где C=0.5772..., а Ei(z) – интегральная экспонента [3]. В таблице приведены точные значения функции S(g), вычисленные по формуле (5), а также результаты суммирования ряда (4) методом Зельдовича, имеющим точность от 0.015 до 0.04 % (в зависимости от значения g). В последнем столбце показано число членов ряда, учтённых при суммировании по формуле (1).
g | Точное значение суммы | Результат суммирования методом Зельдовича | Число членов ряда, учтённых в сумме |
0.1 | 0.915633 | 0.9155 | 41 |
0.5 | 0.722657 | 0.7225 | 71 |
0.8 | 0.638791 | 0.6386 | 65 |
1.0 | 0.596347 | 0.5961 | 56 |
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ.
Список литературы
1. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951.
2. , , // ЯФ, 2005, в печати.
3. и Рыжик интегралов, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962.
