Творческая работа ученика вечерней школы №3 г. Ставрополя
Плазунова Александра.
Руководитель: учитель математики
Всем известна из курса механики задача: найти время падения тела с высоты 
.
Школьник решает её так.
Использует формулу: 
; ; 
(1)
Кстати можно найти и скорость падения, используя закон сохранения энергии 
, , 
(2).
Так ли на самом деле? Конечно нет.
1.Не учтена зависимость 
; 
;
2.Задача решена без учета сопротивления воздуха.
Многие считают, что если учитывать эти два фактора, то решение задачи будет гораздо точнее, но трудности видят в математическом решении. Покажем, что располагая школьным знанием математики можно решать, казалось бы такие сложные задачи.
Для начала упростим задачу. Будем учитывать только первый фактор (зависимость ускорения свободного падения от высоты). Учитывая этот фактор, задача решается более точно, чем решают ученики? используя формулы (1) и (2).
Используем II закон Ньютона.
|
, |
; 
; 
; (3)
- радиус Земли, 
, 
- масса тела, 
– Масса Земли.
; 
,
- гравитационная постоянная.Можно решить это дифференциальное уравнение II порядка, но мы пойдем другим путем. Используем закон сохранения энергии.
Земля |
Возьмем интеграл
|
тело
;
– переменная величина.
;
; трудностей нет.
- const.
;
|
(4); (5). 
;
Производим дифференцирование по (4) и (5) формулам.
5 формула
Заметим, что:
(7) | 4 формула ; ;
Мы пришли к первоначальному виду
(8) |
. (6)
;
;
; 
,
или 
, что говорит о верности наших расчетов.
Обратим внимание, Что формула (7) легко переходит в формулу (1), А формула (8) легко переходит в формулу (2) при 
, что означает, что мы на верном пути.
Проведем сравнение времени падения с высоты равной радиусу Земли 
.
|
|
;
.
;
.
.
Проведем сравнение по скорости:
|
|
;
.
.
.
Итак, при падении тела с большой высоты, если учитывать зависимость ускорения свободного падения от высоты - время падения замедляется. Земля встречает тело с меньшей скоростью.
Используя мощь математического аппарата - интегрально-дифференциальное исчисление, мне удалось решить интересную задачу по физике.
