Олимпиадные задания для учащихся 9-11 классов
Задача 1 Построить график функции:
7 баллов
Задача 2 Диагонали четырёхугольника АВСД пересекаются в точке О. Доказать, что центры окружностей, описанных около ∆ОАВ, ∆ОВС, ∆ОСД, ∆ОДА, являются вершинами параллелограмма.
Найти площадь этого параллелограмма, если площадь данного четырёхугольника равна S, а угол между диагоналями равен 45°.
7 баллов
Задача 3 Укажите 19 последовательных натуральных чисел, сумма которых делится на 98.
13 баллов
Задача 4 График функции y = f(x), заданной на всей числовой оси, имеет вид трехзвенной ломаной, изображенной на рис. 7. Задайте эту функцию на всей оси одной формулой, используя только операции сложения, вычитания и взятия модуля. |
|
13 баллов
Задача 5 Разложите на множители: 
7 баллов
Задача 6 В параллелограмме АВСD стороны АВ = 4, ВС = 7. Биссектрисы АK и ВМ углов параллелограмма пересекаются в точке О (точки K и M принадлежат сторонам ВС и АD соответственно). Найдите отношение площади пятиугольника ОКСDM к площади треугольника ОАВ (рис. 6). |
|
13 баллов
Задача 7 Задача. В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастёт на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату – на 15%, если же зарплату удвоят папе на – 25%. На сколько процентов возрастёт доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?
13 баллов
Задача 8 В вершинах шестиугольника записаны числа, а на каждой стороне – сумма чисел в ее концах. Назовем округлением замену нецелого числа на одно из двух ближайших целых (ближайшее большее или ближайшее меньшее), а целое пусть при округлении не меняется. Докажите, что можно все 12 чисел округлить так, чтобы по-прежнему на каждой стороне стояла сумма чисел в ее концах.
13 баллов
Задача 9 Доказать, что если корни уравнения 
действительные, то корни уравнения 
так же действительные. Параметры a p и q – действительные числа.
7 баллов
Задача 10 Гроссмейстер хочет, сделав несколько ходов конем, побывать на всех вертикалях и горизонталях шахматной доски и последним ходом вернуться на исходное поле. За какое наименьшее число ходов он сможет это сделать?
13 баллов
Задача 1 Сумма нескольких последовательных целых чисел равна 2006.Найдите эти числа.
7 баллов
Задача 2 В выпуклом шестиугольнике надо провести три не пересекающиеся внутри него диагонали так, чтобы он разбился на четыре треугольника. Сколькими различными способами можно это сделать?
13 баллов
Задача 3 Найдите все такие пары натуральных чисел (n, m), что (n!)2 + n! = m!
13 баллов
Задача 4 Является ли число 2 30 составным?
7 баллов
Задача 5
В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведена высота BD. На продолжении DB за точку B выбрана точка K так, что Ð CAK=Ð ВСА. Докажите, что окружность, проходящая через точку В и касающаяся прямой АС в точке С, пересекает ВD в точке пересечения высот треугольника AKC.
7 баллов
Задача 6 В противоположных углах квадратной комнаты положили два одинаковых прямоугольных ковра. Площадь их общей части оказалась равна 50. Затем один из ковров развернули в своем углу на 90 градусов. Площадь общей части стала равна 25. На сколько длина ковра больше его ширины?
13 баллов
Задача 7 Решить неравенство: 
7 баллов
Задача 8 Один из концов отрезка лежит на одном из катетов прямоугольного треугольника, другой – на другом (но не в вершинах треугольника). Докажите, что на этом отрезке есть точка, которая от вершины прямого угла удалена меньше, чем от любого из концов гипотенузы.
13 баллов
Задача 9 Найти количество решений уравнения 
в зависимости от значений а.
7 баллов
Задача 10 Гроссмейстер хочет, сделав несколько ходов конем, побывать на всех вертикалях и горизонталях шахматной доски размером 100´100 клеток и последним ходом вернуться на исходное поле. За какое наименьшее число ходов он сможет это сделать?
13 баллов
Задача 1 . Найти сумму корней всех трёхчленов вида
, где p принимает все целые значения от – 2006 до 2006.
7 баллов
Задача 2 . Имеются два бикфордовых шнура. Каждый горит ровно минуту, но, к сожалению, неравномерно. Как с их помощью отмерить 45 секунд?
13 баллов
Задача 3 . Известно, что 
. Найти наибольшее значение произведения 
7 баллов
Задача 4 . Квадратный трехчлен 
имеет корни. Следует ли из этого, что трехчлен 
тоже имеет корни?
13 баллов
Задача 5 . Решить уравнение: 
7 баллов
Задача 6 . В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб, а основание ее высоты – точка пересечения диагоналей ромба. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри ромба до двух противолежащих боковых граней равна сумме расстояний от этой точки до двух других противолежащих боковых граней.
13 баллов
Задача 7 . Определить вид правильного многоугольника, который может являться сечением куба плоскостью.
7 баллов
Задача 8 . Существует ли прямоугольный параллелепипед, длины всех ребер которого – целые числа, сумма длин всех 12 ребер равна 600 см, а объем – 30000 см3? Если да – какой, если нет – почему?
13 баллов
Задача 9 . Вычислить: 
7 баллов
Задача 10 . Сколько решений имеет уравнение 
?
13 баллов
Источники и авторы задач
II тур олимпиады Московской области 1998/99 уч. года (составители – , Р. Карасев, О. Подлипский)
Нижегородские городские олимпиады
Олимпиада им. Анисимовой (Ижевск, ноябрь 1998 г.) (автор – ), 7-4 (, )
Московский турнир им. Ломоносова 1997 г.
IV турнир «Математика 6-8» журнала "Квант" (Рыбинск, июнь 1998)
ХII Уральский турнир юных математиков (Ижевск, ноябрь 1998): .
