Электрическое поле

1.2. Электрическое поле

1.2.1. Капля воды R = 5×10 - 5 м находится в состоянии безразличного равновесия в масле с плотностью r = 800 кг/м3 при напряжённости электрического поля Е = 104 Н/Кл. Вектор напряжённости поля направлен вертикально вверх. Сколько элементарных электрических зарядов находится на капле?

Решение

1. Свободно парящая в масле заряженная положительно капля воды находится под действием трёх сил: силы тяжести mg, силы Архимеда FA и кулоновской силы Fk, возникающей в вертикальном электрическом поле напряжённостью Е.

2. Определим величины действующих на каплю сил

, (1)

, (2)

, (3)

где r1 - плотность масла, r2 = 1000 кг/м3 - плотность воды, Q - заряд капли.

3. Запишем условие равновесия капли воды под действием анализируемой системы сил

, (4)

. (5)

4. Выразим из уравнения (5) величину заряда

. (6)

5. Определим количество положительных элементарных зарядов, сосредоточенных на поверхности капли

. (7)

1.2.2. Два равных отрицательных заряда по q = 9 нКл находятся в воздухе на расстоянии r0 = 8 см друг от друга. Определить напряжённость электрического поля в точке, отстоящей на удалении 5 см от каждого заряда. Изменится ли напряженность поля при помещении зарядов в воду?

Решение

1. В заданной точке А имеет место суперпозиция электрических полей от двух зарядов. Задача, таким образом, сводится к определению геометрической суммы векторов напряжённости зарядов q1 и q2

. (1)

2. Определим модуль вектора напряжённости результирующего электрического поля

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, (2)

где Е1, Е2 - модули напряжённостей полей, создаваемых зарядами q1 и q2, соответственно.

3. Поскольку модули зарядов одинаковы

, (3)

уравнение (2) можно упростить

. (4)

4. Определим из прямоугольного треугольника q1AO значение a

. (5)

5. Найдём модуль вектора напряжённости результирующего поля

. (6)

6. При перенесении зарядов в воду напряжённость поля изменится, потому что диэлектрическая проницаемость воды (e = 81) отличается от диэлектрической проницаемости воздуха (e @ 1), Е1 @ 370 В/м. Напряжённость результирующего поля, таким образом, определится как

. (7)

1.2.3. Для системы зарядов, заданной в предыдущей задаче определить потенциал электрического поля в точке А.

Решение

1. Потенциал, создаваемый системой точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов каждого заряда, составляющего систему

. (2)

2. Определим потенциал поля, создаваемого одним из зарядов в воздухе, потенциал второго заряда будет иметь такое же значение, потому что величины зарядов и удаление от заданной точки одинаковы

. (3)

3. При помещении зарядов в воду потенциал уменьшится в 81 раз и станет равным j2 @ - 20 В

4. Результирующий потенциал в воздухе и воде будет составлять

, (4)

. (5)

1.2.4. В вершинах квадрата со стороной а = 0,1 м расположены четыре отрицательных заряда: q1= q2 = q3 = q4 = 0,1 нКл. Определить напряжённость Е и потенциал j электрического поля в центре квадрата. Как изменятся параметры поля, если один из зарядов заменить положительным зарядом той же величины?

Решение

1. Если в вершинах квадрата находятся отрицательные заряды, то напряжённость электрического поля в центре будет эквивалентна нулю, потому что векторы напряжённостей диагональных зарядов будут равны по модулю и противоположны по направлению, Е0 = 0.

2. Определим далее потенциал поля, создаваемого одним из зарядов

, (1)

где - расстояние от центра квадрата до каждого из зарядов,

. (2)

3. Результирующий потенциал будет определяться в виде алгебраической суммы

. (3)

4. Рассмотрим далее систему, когда заряд q1 будет положительным. Ситуация по сравнению с предыдущей изменится. Векторы напряжённости поля создаваемого зарядами q2 и q4 будут одинаковы по модулю и противоположны по направлению

. (4)

Таким образом напряжённости в точке О определится в виде суммы векторов напряжённостей полей зарядов q1 и q3

. (5)

. (6)

5. Потенциал при этом будет определяться уравнением (3), с учётом того, что j1 + j3 =0, поэтому

. (7)

1.2.5. Две проводящие пластины несут заряды с плотностью s1 = +5×10 - 8 Кл/м2 и s2 = -9×10 - 8 Кл/м2. Пространство между пластинами заполнено стеклом (e = 7). Определить напряжённость электрического поля между пластинами и вне их.

Решение

1. Напряжённость электрического поля, создаваемого пластиной с плотностью заряда s определяется как

. (1)

2. Напряжённость электрического поля в зазоре между пластинами

. (2)

3. Подставим в уравнение (2) значение напряжённости в соответствии с уравнением (1)

. (3)

4. В пространстве вне области, заполненной диэлектриком, векторы напряжённостей имеют противоположное направление, поэтому

. (4)

1.2.6. a - частица проходит через геометрический центр молекулы водорода, состоящего из двух протонов, расположенных на расстоянии а друг от друга. На каком расстоянии от протонов их электрическое поле будет действовать на a - частицу с максимальной силой?

Решение

1. Предположим, что a - частица движется перпендикулярно линии, соединяющей центры протонов через середину отрезка а.

2. Напряжённость электрического поля по ходу движения частицы определяется в виде геометрической суммы напряжённостей полей, создаваемых каждым из протонов. Поскольку в каждой точке траектории расстояние от a - частицы до протонов одинаковы, то напряжённости по модулю одинаковы

, (1)

. (2)

. (3)

3. Анализ уравнений (2) и (3) показывает, что силовое воздействие электрического поля на отрицательно заряженную a - частицу определяется двумя параметрами: расстоянием r и величиной угла 2a. Максимум напряжённости поля от каждого протона будет иметь место в точке траектории 3, но векторы напряжённостей имеют противоположные направления, т. е. суммарная напряжённость будет равна нулю.

4. Функция Е = f (cos2a) будет иметь максимум при a = 450, в этом случае cos2a = 1. Таким образом, максимальное силовое воздействие на a - частицу будет иметь место при расстоянии r

. (4)

1.2.7. На расстоянии а = 8 см друг от друга в воде (e = 81) расположены два положительных заряда по q = 10 нКл каждый. Определить напряжённость и потенциал поля в точке, находящейся на расстоянии r = 5 см от зарядов.

Решение

1. Напряжённость электрического поля и потенциал точечного заряда в точке С определяются уравнениями

. (1)

2. Напряжённость поля в заданной точке С от двух зарядов равна геометрической сумме напряжённостей

, (2)

модуль которой находится по теореме косинусов, т. к. результирующий вектор является диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах

, (3)

. (4)

3. Величину определим из прямоугольного треугольника САD:

. (5)

4. Объединим уравнения (1), (3) и (5)

. (6)

5. Потенциал электрического поля в точке С определится в виде алгебраической суммы

. (7)

1.2.8. В вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 0,2 м помещены положительные одинаковые заряды по q = 1 нКл каждый. Заряды размещены в воздухе. В середине одной из сторон находится третий заряд, на который действует сила F = 0,6 мкН. Определить величину этого заряда, напряжённость поля и потенциал в этой точке.

Решение

1. Определим расстояние r от заряда q2 до точки расположения неизвестного заряда qx, воспользовавшись теоремой Пифагора

. (1)

2. Заряды q1 и q3 в точке D будут создавать равные по модулю и противоположные по направлению напряжённости

. (2)

3. Напряжённость результирующего поля, таким образом, будет равна напряжённости поля, создаваемого зарядом q2

. (3)

4. Определим долее величину заряда, находящегося в точке D

. (4)

5. Определим потенциал электрического поля в заданной точке

, (5)

причём

. (6)

6. Определим потенциал, создаваемый зарядом q2

. (7)

7. Совместим уравнения (7), (6) и (5)

. (8)

1.2.9. Два одинаковых положительных заряда расположены в воздухе на расстоянии а = 0,1 м. Напряжённость электрического поля в точке, удалённой на расстояния r1 = 6 cм и r2 = 8 см от зарядов равна Е = 10 кВ/м. Найти потенциал поля в заданной точке и величину зарядов.

Решение

1. Напряжённость электрического поля в точке С определится в виде геометрической суммы

. (1)

2. Соотношение заданных расстояний показывает, что DABC - прямоугольный

, (2)

т. е. a = 900, следовательно, cosa = 0.

3. Определим напряжённость результирующего поля по уравнению (1) с учётом особенности геометрии зарядов

(3)

4. Выразим из уравнения (3) заряд q

. (4)

5. Определим далее потенциал в точке С

. (5)

1.2.10. Электрон со скоростью v0 = 2×106 м/с влетает в направлении силовых линий однородного электрического поля напряжённостью Е = 2,4 В/м. В течение какого времени будет двигаться электрон до полной остановки? Какое расстояние пройдёт частица?

Решение

1. Запишем параметры элементарной частицы: масса электрона - me = 1×1кг, заряд е = 1,6×1Кл и определим ускорение

, (1)

. (2)

2. Определим далее время полёта электрона из кинематических соображений

. (3)

3. Путь, пройденный электроном до полной остановки

. (4)

1.2.11. Из экспериментальной установки выбрасываются протоны, летящие прямолинейно со скоростью v0 = 0,5×Мм/с. Каковы должны быть параметры однородного электрического поля, чтобы частицы останавливались на расстоянии, не превышающем х = 0,5 м?

Решение

1. Чтобы затормозить движущиеся протоны (mp @ 1,7×10 -27 кг, qp = 1,6×1Кл) необходимо приложить к ним тормозящую силу, обусловленную действием электрического поля.

2. Совмещая уравнения (1) и (3), получим зависимость для времени движения протонов до полной остановки

. (1)

2. Запишем кинематическое уравнение равнозамедленного движения протона в направлении противоположном электрическому полю

. (2)

3. Подставим в уравнение (2) значение t из уравнения (1)

. (3)

4. Разрешим уравнение (3) относительно напряжённости электрического поля Е

. (4)

1.2.12. Два длинных цилиндрических проводника расположенных на расстоянии l = 0,2 м в воздухе несут отрицательный равномерно распределённый электрический заряд с линейной плотностью t = 0,6 мкКл/м. С каким ускорением и, в каком направлении будет двигаться электрон, помещённый в точку, равноудалённую от проводников на расстояние r = 0,2 м.

Решение

1. Напряжённость поля, создаваемого протяжённой заряженной проводящей нитью определяется как

. (1)

2. Напряжённость результирующего поля определится в виде геометрической суммы напряжённостей от двух идентичных нитей, с учётом того, что угол между векторами напряжённостей a = 600

. (2)

3. Электрон (me = 1×1кг, е = 1,6×1Кл), помещённый в точку С будет двигаться в направлении противоположном направлению вектора напряжённости Е, потому что заряд электрона отрицательный.

4. Определим ускорение электрона, воспользовавшись уравнением (1) задачи 1.2.10

. (3)

1.2.13. Между параллельными металлическими пластинами находится трансформаторное масло с диэлектрической проницаемостью e = 2,2. Пластины несут положительный электрический заряд с плотностью s1 = 3 мкКл/м2 и s2 = 2 мкКл/м. Определить напряжённость и индукцию электрического поля в пространстве между пластинами и вне его.

Решение

1. Напряжённость электрического поля, создаваемого пластиной с плотностью заряда s определяется уравнением

. (1)

2. Напряжённость поля в диэлектрике между пластинами Е* будет равна разности напряжённостей полей, создаваемых каждой из пластин

. (2)

3. Напряжённость поля вне пластин определится в виде суммы

. (3)

4. Электрическое смещение D связано с напряжённостью поля следующим соотношением

, (4)

величина D, таким образом, в пространстве между пластинами и вне его индукция будет равна

, (5)

. (6)

1.2.14. Заряд Q = 1 мкКл распределён равномерно по тонкому проводящему кольцу радиуса R = 0,1 м. Определить напряжённость поля, создаваемого заряженным кольцом в воздухе на его оси в точке, удалённой от центра кольца на расстояние х = 1 м.

Решение

1. Выделим на кольце бесконечно малый элемент длиной dl, несущий на себе заряд dQ, и определим напряженность, создаваемого им электрического поля в точке удалённой на расстояние х. Определим величину элементарного заряда, считая, что весь заряд равномерно распределён по длине кольца

. (1)

2. Подставим значение элементарного заряда в уравнение напряжённости точечного заряда

, (2)

3. Направление вектора совпадает с отрезком, соединяющим и заданную точку. Этот вектор в данном случае целесообразно разложить на очевидные составляющие по стандартным осям координат, т. е. на и . Существенно отметить, что представление в виде двух составляющих позволит существенно упростить рассмотрение. Дело в том, что при любом способе разбиения кольца на элементарные длины, всегда будут встречаться два диаметрально противоположных элемента, у которых векторы напряжённостей будут равны по модулю и противоположны по направлению, их геометрическая сумма, в рассматриваемой точке будет равна нулю. Для всего кольца.

. (3)

4. Напряжённость поля кольца на его оси, таким образом, определится следующим уравнением

. (4)

5. Поскольку вопрос о направленности искомого вектора решён, то уместно векторную символику опустить. Подставим в уравнение (4) значение из уравнения (2)

. (5)

6. Подынтегральное выражение (5) содержит две переменных величины, однако, взять этот интеграл не представляется возможным. Но можно избавиться от одной переменной, используя следующие замены

, (6)

. (7)

7. Если >> R, как в данном случае, то уравнение (7) упрощается

(8)

8. Полученное уравнение (8) совпадает с уравнением напряжённости точечного заряда . Дело в том, что предположение x >> R, превращает кольцо в точку.

1.2.15. Электрический заряд Q=50 нКл равномерно распределён по тонкому стержню длиной а = 0,15 м. На продолжении оси стержня на расстоянии r = 0,1 м от ближайшего его конца находится точечный заряд q = 100 нКл. С какой силой электрическое поле стержня действует на заряд?

Решение

1. Прежде чем приступить к решению, следует заметить, что в рассматриваемом случае не представляется возможным напрямую использовать закон Кулона, потому, что заряженное тело не является точечным и вопрос о расстоянии в рамках этого закона не решается корректно. Требуются некоторые, специальные подходы. Определим координаты концов стержня, совместив начало системы отсчёта с положением заряда q, т. е. .

2. Рассмотрим элементарный участок стержня протяжённостью dx, заряд, которого можно представить как

(1)

где, величина Q/а = t - линейная плотность заряда.

3. Для выделенного точечного заряда, уже можно применять закон Кулона

. (2)

4. Применим далее принцип суперпозиции, т. е. определим множество значений элементарной силы и сложим их, т. е. проинтегрируем уравнение для элементарной силы

. (3)

Подстановка численных значений дает:

. (4)

5. Из (4) можно получить путём его деления на q уравнение для напряжённости электрического поля на оси заряженного стержня

```` . ````````````` (5)

Очевидно, что при r >> a уравнение (5) превращается в обычное уравнение закона Кулона. Используя изложенный выше метод, можно определять напряжённости поля не только на оси цилиндра, но и в любой точке окружающего пространства.

1.2.16. Внутри замкнутой сферической полости находятся три точечных электрических заряда q1 = +2 нКл, q2 = - 3 нКл, q3 = + 5 нКл. Определить поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую сферическую поверхность для двух случаев: когда полость заполнена воздухом (e = 1) и водой (e = 81).