Задания

адание	Ответ
В1	20
В2	6
В3	88
В4	24000
В5	1
В6	4
В7	2
В8	2
В9	60
В10	0,04
В11	105
В12	2
В13	15
В14	-4

С6 Решение (*****)

а) Пусть, например, s = 3. Обменяв 5 дублонов, получим 2 пистоля, а обменяв пистоли, получим 6 дублонов.

б) Пусть s < 1. Обменяв n дублонов, мы получим ns-1 + ε пистолей, где |ε| ≤ 1/2.

Это равно ns-1 + εs < n + 1/2 дублонов, поэтому больше n дублонов мы не получим уже при первой паре обменов.

Пусть s > 1 и после первого обмена мы получим n пистолей. Как показано выше, за два обмена мы получим не более n пистолей, следовательно, и число дублонов после 4-го обмена не больше, чем после второго.

Задание	Ответ
В1	1458
В2	45
В3	9
В4	3050
В5	-2
В6	2,5
В7	22
В8	-2
В9	5
В10	0,024
В11	10
В12	3
В13	600
В14	1,5

Задание	Ответ
В1	190
В2	5
В3	6
В4	742,5
В5	-0,2
В6	156
В7	5
В8	6
В9	1872
В10	0,98
В11	10
В12	2
В13	20
В14	-3

С6. Пусть наибольший вес гири в некотором правильном наборе равен M (грамм). Это означает, что любая меньший вес может быть уравновешен меньшими гирями. Пусть вес всех меньших гирь равен m. Ясно, что  m M – 1.  Но если  m M,  то у нас есть два способа уравновесить вес  M + r,  где r – остаток от деления m на M.

Следовательно,  m = M – 1.

  Пусть гирь максимального веса k штук. Тогда общий вес всех гирь  kM + m = 500,  значит, 501 должно делиться на M. Определив M, можно определять вес второй по тяжести гири. Повторение предыдущего рассуждения показывает, что она должна быть делителем M. Но у 501 ровно два отличных от 1 и 501 делителя: 3 и 167, каждый из которых – простое число. Значит, имеется ровно два правильных набора, не считая тривиального из 500 гирь по 1 г: две гири по 167 г и 166 гирь по 1 г; 166 гирь по 3 г и две гири по 1 г.

Ответ

а) Две гири по 167 г и 166 гирь по 1 г или 166 гирь по 3 г и две по 1 г.

б) 3 набора.