Решения задач олимпиады МАДИ 2008г I курса.
Вариант 1.
1. 
. Разложим определитель по верхней строке
. Проверяем делители числа 10 в качестве
целых корней. 10
. 
1- не подходит. 
- подходит.
подходит, 
- тоже подходит.
По теореме Безу, если 
- корень многочлена, то многочлен
разделится без остатка на 
.
. Других корней нет.
Ответ: 
2. Объем треугольной пирамиды полностью определяется
тремя векторами, соединяющими одну из вершин с тремя
остальными вершинами. 
;
; 
;
.
; 
; 
. 
пл. 
. Поэтому уравнение прямой 
:
, или 
, 
, 
.
Уравнение плоскости : 
или, разлагая по 3-й
строке: 
. 
. Находим 
.
, 
, 
, 
,,
. 
Тогда 
. 
. 
.
.
. Ответ: 2
3. 
. По определению, 
- бесконечно
малая порядка 
относительно бесконечно малой 
при 
, если 
. В нашем случае 
.
.
При 
Ответ: .
3. Так как 
- четная функция и убывает при
возрастании 
, то площадь прямоугольника
. 
.
Отсюда 
. 
. 
, так как
. (использовано правило Лопиталя).
Ответ: 
.
5. 
, 
(
, 
, 
).
Отсюда 
, 
.
. Поэтому 
. Эта линия – эллипс
с полуосями 
- по вертикали, и 1 - по горизонтали, с центром
в начале координат.
Наименьшее расстояние от кривой до начала координат это
расстояние до центра - длина малой полуоси 
. Ответ: 1.
6. 
, 
. 
. Пусть 
. Тогда
. 
. 
. 
,
если 
. 
, если 
Если 
, то 
. Аналогично, если 
,
то 
. Отсюда
. 
.
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет
предел. Отсюда существует 
, существует 
. 
. .
Отсюда 
. Ответ: 3.
7. 
. Существует 
Пусть 
- собственное
значение матрицы 
, 
- соответствующий собственный
вектор матрицы . Тогда 
, 
, и т. д. … 
. 
. Отсюда необходимо существование 
.
Если 
, то 
.
. 
- не существует.
Если 
, то 
. 
- не существует.
Ответ: 
.
Вариант 2.
1. 
. Разложим определитель по 1-му столбцу:
. . Ответ: 2.
2. 
, , , . - высота,
- середина . 
. . .
В варианте 1 получена точка и вектор 
.
.
. Ответ: 26.
3. 
- . По определению, -
бесконечно малая порядка относительно бесконечно малой
при , если 
. В нашем случае
. 
. Отсюда 
. ( при 
,
при 
). Ответ - бесконечно малая 7-го
порядка относительно 
.
4. 
. 
.
. 
. 
.
, поскольку
. Ответ: 4016.
5. 
, 
, 
, 
, .
Отсюда , 
.
Поэтому 
, 
.
Это каноническое уравнение эллипса с центром в начале
координат, вертикальной большой полуосью 15 и горизон-
тальной малой полуосью 1. Наименьшее расстояние от
начала координат до эллипса равно малой полуоси, т. е. 1.
Ответ: 1.
6. , 
. 
при всех 
. Поэтому 
.
То есть 
ограничена.
Допустим, что предел существует и равен . Тогда, так как
, то 
. 
, 
, так как . Докажем, что
; 
.
. Отсюда ясно, что
, если 
и
, если 
Из формулы
следует, что если 
, то 
; если ,
то 
. Поэтому 
, .
. По теореме о пределе монотонной ограниченной
последовательности существуют
,
. Но тогда 
, 
, 
,
, 
,
.
Аналогично, 
, 
, 
,
, 
. 
.
Отсюда 
. Ответ: 5.
7. . не существует.
, 
,
- не существует. В противном случае
. Тогда бы существовал .
Последний предел существует, если ,
Но заведомо не существует, если 
. Ответ: .
Решения задач олимпиады МАДИ 2008г II курса.
Вариант 1.
1. 
. Ответ: 
2. 
. 
. 
.
. 
. По признаку Даламбера если 
, то ряд
сходится; если 
, то ряд расходится. Или, если 
,
то ряд сходится. Отсюда интервал сходимости 
Ответ: .
3. 
. 
. 
.
. 
, 
. 
.
Векторы 
и 
должны быть сонаправлены, так как
градиент показывает направление наибольшего значения
производной по направлению:
. Отсюда 
. Ответ: 5.
4. 
-
. Рассмотрим степенной ряд 
. Его радиус сходимости 
. Это
значит, что 
- интервал сходимости, т. е. при 
ряд
сходится. По известной теореме ряд можно интегрировать
и дифференцировать почленно в любой точке интервала
сходимости cколько угодно раз. По формуле суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
.
Тогда 
. Отсюда при 
, 
.
Ответ:
.
5. 
.
. Найдем сначала частное решение.
, 
входят в правую часть системы симметричным образом.
Действительно, если положить 
, то система
приобретает вид: 
. Поэтому напрашивается
положить 
. В этом случае получаем 
.
, 
, 
,
. 
.
. 
.
. Отсюда ( учитывая, что , 
),
получим 
. 
. 
.
При этом начальные условия ,
- удовлетворяются.
По теореме единственности для систем с непрерывной правой
частью найденное решение единственно.
Ответ: 
.
7. 
. Доопределим функцию в нуле
(иначе функция в нуле не непрерывна, и тем более
не дифференцируема, 
не существует, а задача
становится малосодержательной). Пусть 
.
Тогда 
, поскольку 
при .
-?
Разложим в ряд 
. Для этого сначала
продифференцируем его. 
.
.
Воспользуемся биноминальным рядом:
При 
он сходится.
В нашем случае 
, 
. 
. Проинтегрируем почленно
последнее равенство: 
Отсюда
Получили разложение в ряд
Маклорена. 
Отсюда, при 
, получаем 
,
Ответ: 
.
8. Корень -й степени из комплексного числа 
принимает
различных значений, которые изображаются точками,
являющимися вершинами правильного - угольника, на
расстоянии 
от начала координат. При перемножении
комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы
складываются. 
.
,
и определяется из условий 
,
, 
В нашем случае 
. 
,
, 
, 
,
IV четверти, 
.
- четно, Поэтому,
Положим 
. Известна формула
,
где 
. Тогда
, где 
.
Поэтому все точки множества есть вершины правильного
2008- угольника, вписанного в окружность радиуса 5.
Наибольшее расстояние между вершинами равно 10, - диаметру
окружности. Наименьшее расстояние между различными
точками множества - есть расстояние между соседними
вершинами и равно 
.
. Ответ: 
.
Вариант 2.
1. 
.
, 
, 
, 
,
. Ответ: 
.
2. 
, 
. Найдем радиус сходимости
.
Отсюда интервал сходимости 
Ответ: 
.
3. . . 
, . 
. В точке
. Производная в точке по направлению достигает
наибольшего значения в направлении градиента. Поэтому
векторы и 
- сонаправлены. 
. . Ответ: 5.
4. 
? Пусть надо вычислить 
, где 
.
Ряд 
сходится в интервале 
. Поэтому этот ряд
можно интегрировать в любой точке интервала сходимости.
При 
, 
.
Ответ: 
.
5. 
, , 
- функции от 
.
Положим 
. Тогда 
, 
,
, 
, 
.
, 
. Ответ: 
.
6. 
(arctg
. 
(Считаем, что 
, иначе задача теряет смысл).
arctg
. 
(
)
. 
. 
. 
Ответ: 
7. 
при 
. Доказать.
.
Это означает, что 
.
8. 
. 
.
.
. Все точки находятся на окружности радиуса 5
и образуют правильный 
- угольник, (так как аргументы
соседних точек отличаются на 
) и 
,
. Ответ:
.
Ответ: 
.
Решения задач подготовил ответственный за
студенческие олимпиады по высшей математике
ст. преп. каф. высшей математики
.
.
