Прямая на плоскости
Пусть заданы: точка М и прямые: L1 , L2 ;
Написать уравнение прямой, проходящей через т. М:
а) параллельно прямой L1,
б) перпендикулярно прямой L2 .
2 . Пусть прямые L1 к L2- стороны параллелограмма, а М - точка пересечения его диагоналей. Написать уравнения остальных сторон и диагоналей параллелограмма.
3 . Найти точку В, симметричную точке M, относительно прямой L1.
4 . Составить уравнения сторон треугольника, если одна из его
вершин – точка M, а прямые L1 и L2 - высоты этого треугольника.
5 . Найти расстояние от точки М до прямой L1 .
6 . Написать нормальное уравнение прямой L1 . Пересекает прямая L2 отрезок OM или нет? (Точка 0 – начало координат).
7 . Написать уравнения прямых, параллельных L1 и отстоящих от нее на расстоянии d = 3.
8 . Пусть L1 одна из сторон квадрата, а точка М – его вершина.
Написать уравнения остальных сторон квадрата.
9 . Определить, какой из углов, тупой или острый, образованны прямыми L1, L2 содержит точку М.
10 . Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми L1 и L2, смежного с углом, содержащим точку M.
ЗАМЕЧАНИЕ: Уравнения прямнх, помеченные *, при решении
задач 5, 6, 7, 8, 9, 10, заменяются на уравнения, у которых
в правой части вместо нуля стоит "1". Например, в варианте 3:
урвнение прямой L1:2x-5y=0 заменить на 2x-5y=1
N | M | L1 | L2 |
1 | (7,8) | 2x+3y-8=0 | 2x-5=0 |
2 | (1,-4) | 3y-5=0 | 2x-y+3=0 |
3 | (2,0) | * 2x-5y=0 | y-4=0 |
4 | (-1,2) | 5x+4y-8=0 | 3x+8=0 |
5 | (-2,5) | x+1=0 | 4x+5y-6=0 |
6 | (1,3) | 5y-7x-12=0 | 2x+3y-1=0 |
7 | (1,5) | y-2=0 | 2x-y+8=0 |
8 | (1,3) | 2x+5y+1=0 | 2x+y-3=0 |
9 | (0,1) | * 8x-y=0 | 4x-3y+20=0 |
10 | (1,3) | 7x-2y+14=0 | 2y-7=0 |
11 | (2,-1) | x-y+5=0 | 2x+y+1=0 |
12 | (-1,4) | y+7=0 | 2x-y-5=0 |
13 | (1,2) | 2x-y-8=0 | * x-y=0 |
14 | (7,1) | 5y-x+4=0 | * x-y=0 |
15 | (1,2) | 4x-y+1=0 | 2x-y+1=0 |
16 | (1,2) | 3x-7y+1=0 | y-x+1=0 |
17 | (6,-5) | 3y-x-5=0 | x+y+1=0 |
18 | (1,2) | 3x-5y+8=0 | 3x-y+4=0 |
19 | (2,3) | 2x-y+5=0 | 2x+3y-7=0 |
20 | (1,3) | 2x+y+7=0 | 3x-y+3=0 |
21 | (-2,4) | x-y-4=0 | 2x+y+1=0 |
22 | (3,-1) | 2x+y-8=0 | x-y-1=0 |
23 | (3,-1) | * 2x+y=0 | 3x-2y+7=0 |
24 | (3,-4) | 3y-x-5=0 | x+y-1=0 |
25 | (-5,-4) | X+5y-1=0 | 2x+3=0 |
26 | (1,-4) | X+3y-5=0 | x+y-1=0 |
27 | (2,0) | x-2y+3=0 | 2y+5=0 |
28 | (-2,0) | * x+y=0 | x+2y-1=0 |
29 | (2,3) | 2x+5=0 | x-y+3=0 |
30 | (0,3) | x+y+2=0 | 2x+5y-2=0 |
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть заданы, векторы a1, a2, точки M0,M1,M2, плоскость P, прямая L
1. Написать уравнение плоскости P1 , содержащей точку M0 и || a1, a2.
2 . Написать уравнение плоскости P2 , содержащей точку М0 и перпендикулярной плоскости P1 и P.
3.Написать уравнение плоскости P3, содержащей точку М0 и || плоскости P.
4 . Определить, лежат ли точки М2, М1,. на плоскостях P и P2. Если нет, то выяснить лежат ли они в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении плоскостей P и P2.
5 . Написать канонические и параметрические уравнения прямой L. 6.Найти точку пересечения прямой L и плоскости, проходящей через точки М0, М2, М1,.
7 . Найти проекцию точки М0 на прямую L.
8 . Найти проекцию точки М0 на плоскость P.
9 . Написать урввнения прямой L1, прохорлщей через точку M1 параллельно вектору a1. Доказать, что прямая L1 параллельна плоскости P1 и найти расстояние между L1 и P1.
10 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и прямую L.
11. Найти проекцию прямой L1 на плоскость P.
l2. Выяснить взаимное расположение прямой L и прямой L2, проходящей через точки М1 и M2 . Найти расстояние между L и L2
13 . Написать уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между плоскостями P и P2 , в котором расположена точка M1.
N | M0 | M1 | M2 | a1 | a2 | L | P |
1 | (1,2,-4) | (-5,0,4) | (0,1,0) | (1,-1,0) | (1,2,3) | 2x-y+5=0,2y+z-2=0 | 3y+2z+15=0 |
2 | (2,1,5) | (-8,-1,-9) | (0,1,0) | (0,-1,1) | (1,2,3) | 3x+5y+9=0,y+z+2=0 | 2x-y+z-2=0 |
3 | (3,8,2) | (6,17,5) | (0,1,0) | (1,0,2) | (1,2,3) | 2x+y-z=0,3x-y-z-2=0 | 2x-y+z-6=0 |
4 | (1,2,-3) | (1,2,3) | (0,1,0) | (1,2,1) | (1,2,3) | x-y+z+1=0,x-2y+z+3=0 | 2x-3z+2=0 |
5 | (3,3,-1) | (7,8,-2) | (0,1,0) | (1,2,0) | (1,2,3) | 2x+y+4=0,6x+z+6=0 | 3x+y-z-2=0 |
6 | (4,1,-1) | (-10,-1,3) | (0,1,0) | (1,0,-1) | (1,2,3) | x-2y+3=0,x+3z=0 | x+y+z-1=0 |
7 | (2,1,0) | (-2,1,-2) | (0,1,0) | (1,0,2) | (1,2,3) | 3x+y-z=0,x+y+z=0 | x-3y+z-10=0 |
8 | (3,5,-1) | (6,8,-7) | (0,1,0) | (1,-1,1) | (1,2,3) | x-y+2=0,x+3y-z-1=0 | 2x-3y+z-4=0 |
9 | (0,3,2) | (-1,6,9) | (0,1,0) | (3,0,-1) | (1,2,3) | 2x-y+z+3=0,x+2y-1=0 | 2x-3y-4=0 |
10 | (0,1,-1) | (0,13,-4) | (0,1,0) | (0,3,1) | (1,2,3) | 3x+y-2z+2,x+2y-2z-4=0 | 2x-y-3z+12=0 |
11 | (1,-2,-3) | (-2,-9,-12) | (0,1,0) | (1,-2,1) | (1,2,3) | 4x-y+5=0,x+z-6=0 | x+2y+2z+18=0 |
12 | (-7,1,-4) | (7,-3,0) | (0,1,0) | (2,1,3) | (1,2,3) | x+2z+4=0,2x+3y+z+5=0 | 2x-y-z+5=0 |
13 | (-4,-4,1) | (0,4,-1) | (0,1,0) | (2,0,3) | (1,2,3) | x-y+2=0,y+3z=0 | 3x-4y+z+21=0 |
14 | (5,-1,-3) | (-9,-3,3) | (0,1,0) | (1,1,1) | (1,2,3) | x-y+z=0,2x-y+z+2=0 | 2x-y+z+4=0 |
15 | (0,-1,-4) | (0,-1,-7) | (0,1,0) | (1,-1,0) | (1,2,3) | 2x+y-z=0,3x-y-z-2=0 | 2x-y+z-3=0 |
16 | (1,0,5) | (-5,2,-5) | (0,1,0) | (0,-1,1) | (1,2,3) | x-y+3=0,2y-z-2=0 | 3x+2z+3=0 |
17 | (-2,3,-6) | (4,1,6) | (0,1,0) | (1,0,2) | (1,2,3) | x-y+z+1=0,x-2y+z+3=0 | 2x-3z-1=0 |
18 | (1,1,1) | (-1,1,3) | (0,1,0) | (1,2,1) | (1,2,3) | 3x+y-z-2=0,x+y+z=0 | x-y-z+4=0 |
19 | (0,8,1) | (-1,16,7) | (0,1,0) | (1,2,0) | (1,2,3) | 2x-y+z+3=0,x+2y-1=0 | x-y-z-6=0 |
20 | (2,0,-1) | (-2,12,9) | (0,1,0) | (1,0,-1) | (1,2,3) | 3x+y-2z+2=0,x+2y-2z+4=0 | 2x-y-3z+7=0 |
21 | (2,-2,-2) | (4,-9,10) | (0,1,0) | (-1,0,1) | (1,2,3) | 4x-y+5=0,x+z-6=0 | x-y+z+1=0 |
22 | (7,-1,-3) | (16,0,-6) | (0,1,0) | (-1,-2,0) | (1,2,3) | x-y+z=0,2x-y+z+2=0 | x-3y+4z-24=0 |
23 | (2,-1,3) | (-8,1,-7) | (0,1,0) | (1,-1,0) | (1,2,3) | 3x+5y+9=0,3x+4y-z+7=0 | 2x-y+3z+14=0 |
24 | (3,3,-1) | (7,8,-2) | (0,1,0) | (1,0,3) | (1,2,3) | 2x+y+4=0,4x-y+z+2=0 | x-y+z-2=0 |
25 | (4,1,-1) | (11,2,-3) | (0,1,0) | (1,0,2) | (1,2,3) | x-2y+3=0,2x-2y+3z+3=0 | x+y+z-1=0 |
1 | 1 | 8x2-4xy+5y2-8x-16y-16=0 |
2 | 7x2+60xy+32y2-14x-60y+7=0 | |
3 | 16x2-24xy+9y2-60x-80y-100=0 | |
4 | 32x2-7y2-180z2+52xy+360z=0 | |
2 | 1 | 45x2+12xy+40y2-144x+216y-1296=0 |
2 | 11x2-20xy-4y2-20x-8y-4=0 | |
3 | 16x2+24xy+9y2-120x+160y-400=0 | |
4 | 17x2+8y2+5z2-12xy-20z=0 | |
3 | 1 | 7x2-12xy+12y2-18x-12y-9=0 |
2 | 4x2+24xy+11y2+64x+42y+31=0 | |
3 | 9x2+24xy+16y2+40x-30y-25=0 | |
4 | 5x2+5y2-6xy-32z=0 | |
4 | 1 | 33x2-24xy+40y2-192x-144y-576=0 |
2 | 2x2+3xy-2y2+5x+10y=0 | |
3 | 9x2-24xy+16y2+120x+90y-225=0 | |
4 | 5x2-5y2+52z2+24xy+104z+104=0 | |
5 | 1 | 11x2+10xy+35y2-100x+20y-100=0 |
2 | x2+6xy-7y2-12x-4y+4=0 | |
3 | x2-2xy+y2-12x+12y-14=0 | |
4 | z2-3x-4y-5=0 | |
6 | 1 | 4x2 -4xy+7y2 +12x+6y-9=0 |
2 | x2 +6xy-7y2 +16x-48y-64=0 | |
3 | 4x2 +12xy+9y2 -4x-6y+1=0 | |
4 | x2 +2y2 +z2 +2xy-2yz=0 | |
7 | 1 | 24x2 -6xy+16y2 +30x+90y-225=0 |
2 | 11x2 -24xy+4y2 +30x+40y-25=0 | |
3 | 4x2 +4xy+y2 -12x-6y+5=0 | |
4 | 2x2 -4y2 –6x+8y-z +1=0 | |
8 | 1 | 65x2 +8xy+80y2 -512x+128y-4096=0 |
2 | 24x2 +14xy-24y2 -350x-50y+625=0 | |
3 | x2 -6xy+9y2 +4x-12y+14=0 | |
4 | 36x2 +9y2 +4z2 -216x-18y+16z+349=0 | |
9 | 1 | 2x2-4xy+5y2-4x-2y-1=0 |
2 | 24x2+50xy+24y2-490x-490y+2401=0 | |
3 | x2 +2xy+y2-8x+8y-16=0 | |
4 | x2+4y2+9z2-6x+8y-18z-14=0 | |
10 | 1 | 15x2 +6xy+7y2 +12x-36y-36=0 |
2 | 24x2+50xy+24y2 +10x-10y-1=0 | |
3 | 144x2-120xy+25y2-130x-312y-169=0 | |
4 | 4x2 +9y2 +24x-18y-36z+261=0 | |
11 | 1 | 50x2 -8xy+35y2 +100x-8y+67=0 |
2 | 24xy-7y2 -96x+128y-256=0 | |
3 | 144x2 +120xy+25y2 +260x-624y-676=0 | |
4 | x2 +2y2 -3z2+2x+4y-6z=0 | |
12 | 1 | 41x2 +24xy+34y2 +34x-112y+129=0 |
2 | 24x2 -7y2 +72x+54y+81=0 | |
3 | 25x2 +120xy+144y2-936x+390y-1521=0 | |
4 | x2 +4y2 +9z2 –4x+6z-12z=0 | |
13 | 1 | 29x2 –24xy+36y2 +82x-96y+269=0 |
2 | 3x2+4xy-16x-8y+16=0 | |
3 | 25x2-120xy+144y2+1248x+520y-2704=0 | |
4 | x2 +y2 –z2 +2xy+1=0 |
14 | 1 | 41x2+24xy+9y2+24x+18y+9=0 |
2 | 4xy+3y2+4x-2y-1=0 | |
3 | x2-2xy+y2-8x-8y-16=0 | |
4 | x2+5y2+4z2+4xy-4z=0 | |
15 | 1 | 5x2+4xy+8y2-24x-24y=0 |
2 | x2-8xy+7y2+28x-40y+34=0 | |
3 | 9x2+30xy+25y2-90x-150y=0 | |
4 | x2+4y2+9z2-4x-8y+18z+53=0 | |
16 | 1 | 15x2-6xy+7y2+48x-48y=0 |
2 | 7x2+30xy+23y2-160x-288y+896=0 | |
3 | 16x2-40xy+25y2-8x+10y+2=0 | |
4 | 4x2-y2+z2 +4xz+2y-1=0 | |
17 | 1 | 641x2-420xy+200y2-862x+20y+421=0 |
2 | 8x2+30xy-8y2+198x+10y+611=0 | |
3 | 4x2-4xy+y2-20x-40y+100=0 | |
4 | x2+y2+2z2+2xy+4z=0 | |
18 | 1 | 24x2+8xy+9y2+80x+80y=0 |
2 | 12x2+7xy-12y2+31x-17y+7=0 | |
3 | x2+4xy+4y2+80x-40y+400=0 | |
4 | x2 + 4y2 +4z2 -2x+16y-24z-47=0 | |
19 | 1 | 19x2 -12xy+16y2 -120x+120y=0 |
2 | 12x2 -10xy-12y2 -74x-110y-69=0 | |
3 | x2 +2xy+y2 +8x-8y+16=0 | |
4 | x2 -4y2 –2x-32y-16z-191=0 | |
20 | 1 | 24x2 +4xy+21y2 -56x-88y-384=0 |
2 | 17x2 +10xy-7y2 +84x-60y+36=0 | |
3 | 16x2 -24xy+9y2 -300x-400y+2500=0 | |
4 | 2x2 +3y2 +2z2 –12x+12y-4z +32=0 | |
21 | 1 | 7x2 -12xy+12y2 +66x-84y+135=0 |
2 | 4x2 -6xy-4y2 +26x+18y+11=0 | |
3 | 9x2 -6xy+y2 +40x+120y+400=0 | |
4 | x2 +4y2 +16z2 -12x+24y-64z+152=0 | |
22 | 1 | 27x2+24xy+20y2+258x+232y+455=0 |
2 | 45x2+36xy-32y2-504x+504y=0 | |
3 | 4x2 +12xy+9y2-156x+104y+676=0 | |
4 | x2+y2+9z2+10x-8y-18z+50=0 | |
23 | 1 | 48x2 -8xy+33y2 +128x+272y-960=0 |
2 | 6xy+8y2 -18x-42y+45=0 | |
3 | 4x2-20xy+25y2-16x+40y+16=0 | |
4 | 2x2 +2y2 -5z2 +2xy-2x-4y-4z+2=0 | |
24 | 1 | 24x2 +6xy+16y2 –66x-102y-189=0 |
2 | 8xy+15y2 +8x+62y+63=0 | |
3 | x2 +8xy+16y2 -10x-40y+16=0 | |
4 | x2 +y2 - z2-2xy+2z-1=0 | |
25 | 1 | 41x2 +24xy+34y2 +34x-112y+129=0 |
2 | 24x2 -7y2 +72x+54y+81=0 | |
3 | 25x2 +120xy+144y2-936x+390y-1521=0 | |
4 | x2 +4y2 +9z2 –4x+6z-12z=0 | |
26 | 1 | 29x2 -24xy+36y2 +82x-96y+269=0 |
2 | 3x2+4xy-16x-8y+16=0 | |
3 | 25x2-120xy+144y2+1248x+520y-2704=0 | |
4 | x2 +y2 –z2 +2xy+1=0 |
