Классические методы корреляционно-спектрального анализа временных рядов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Волгоградский государственный технический университет

Камышинский технологический институт (филиал)

Волгоградского государственного технического университета

Кафедра «Автоматизированные системы

обработки информации и управления»

КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Методические указания к выполнению

лабораторной работы

РПК «Политехник»

Волгоград

2004

УДК 517.518

К 47

КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬ-НОГО АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ. Методические указания к выполнению лабораторной работы / Сост. ; Волгоград. гос. техн. ун-т − Волгоград, 20с.

Изучаются основные классические методы непараметрического оценивания корреляционной функции и спектральной плотности стационарных временных рядов.

Предназначены для студентов специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Илл. 3. Библиогр.: 6 назв.

Рецензент

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский

государственный

технический

университет, 2004

ВВЕДЕНИЕ

Во многих отраслях науки и техники перед исследователем возникает задача, как на основе экспериментальных данных случайных процессов (СП) с непрерывным или дискретным временем, полученных на конечном интервале времени, сформировать максимально достоверное представление о динамической модели этого процесса. В случае дискретного времени наблюдения СП представляют собой случайную последовательность или временной ряд (СВР).

Важнейшими динамическими характеристиками СВР являются автокорреляционная последовательность (АКП) и спектральная плотность мощности (СПМ), которые широко используются при решении многих задач АСУТП. Например, оценки АКП нужны в задачах контроля, при планировании эксперимента, идентификации объектов управления и действующих в них возмущений.

В работе рассматриваются классические (непараметрические) оценки АКП и СПМ стационарных СВР с нормальным законом распределения вероятностей. Выполнение работы позволит получить навыки обработки экспериментальных данных в рамках корреляционной теории стационарных СП.

Цель работы: изучение непараметрических методов получения оценок АКП и СПМ стационарного СВР.

ЗАДАНИЕ

1.  Получить у преподавателя параметры формирования авторегрессионной модели СВР.

2.  Составить программу для получения реализации заданной модели ряда авторегрессии.

3.  Вычислить теоретическую АКП и СПМ заданной модели.

4.  Выбрать необходимый объем выборки наблюдений, удовлетворяющий требуемую точность оценки.

5.  Составить программу нахождения точечных и интервальных классических оценок АКП и СПМ.

6.  Построить таблицу значений точечных и интервальных оценок АКП и СПМ и по этим данным построить графики точечных и интервальных оценок.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. ОЦЕНКА АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

1.1. Точечная оценка АКП

Пусть задана реализация стационарного эргодического СВР с равномерным шагом дискретности [5]. Если имеется N отсчётов ряда, то оценка АКП такого ряда определяется по формуле:

(1)

Здесь

(2)

оценка среднего СВР, Dt – шаг дискретности корреляционного сдвига, определённым образом связанный с . В дальнейшем будем полагать, что .[1]

Оценка является случайной функцией. Наиболее полной характеристикой оценки является многомерная функция распределения. Однако, ввиду сложности последней, приходится ограничиваться вычислениями лишь простейших числовых характеристик распределения оценки, таких, как математическое ожидание , дисперсия , которые в свою очередь, зависят от ненаблюдаемой истинной АКП и величин N, .

При этом нужно различать два случая оценивания: а) среднее временного ряда известно, б) среднее временного ряда неизвестно.

а. Cреднее значение ряда известно. Тогда является несмещённой оценкой истинной АКП [1]

, (3)

где – центрированная реализация временного ряда.

Дисперсия оценки для СВР с нормальным законом распределения определится по соотношению [1]:

(4)

Для эргодических процессов , поэтому значения АКП вычисляют только для k<<N, т. е. индекс корреляционного сдвига во много раз меньше числа отсчётов исходных данных. При конечном k и увеличении N значение дисперсии стремится к нулю, следовательно, является состоятельной оценкой .

Рассмотрим , при k = 0 и значениях k больших или равных интервалу корреляции . Тогда дисперсии оценок можно определить по приближенным формулам [4]:

при k = 0, (5)

, при , (6)

где

(7)

квадратичный интервал корреляции, а – нормированная АКП. В промежуточных точках значение дисперсии можно вычислить по формуле:

. (8)

Из сравнения формул (5) и (6) видно, что дисперсия оценки АКП с ростом k от нуля до убывает в два раза, а далее остается постоянной при всех . Отметим, что не может служить мерой точности оценки без указания величины самой оценки . В качестве меры точности в теории оценивания используют коэффициент изменчивости. Коэффициент изменчивости оценки АКП находится по формуле

. (9)

Для эргодических процессов величина с ростом k убывает до нуля, а равна постоянной, поэтому величина увеличивается неограниченно. Отсюда следует, что значения оценки АКП при больших k, как правило, не несут какой-либо информации о значениях . Многие авторы рекомендуют ограничиться рассмотрением оценок только до точки , в которой . При имеем 100 % погрешность, т. е. .

Отметим, что полученные оценки не являются статистиками, так как входящие в формулы величины , не наблюдаются. Для получения статистик в формулах (5–9), эти величины нужно заменить оценками , , а при определении в формуле (7) верхний предел суммы взять равным .

б. Среднее арифметическое неизвестно. При неизвестном среднем оценка АКП вычисляется с помощью формул (1) и (2). В этом случае оценка АКП будет смещенной и величину смещения и дисперсии оценки можно вычислить используя формулы (18.43) и (18.44), приведенные в [4], п. 18.2.4. Однако, если объем выборки превышает 10 интервалов корреляции, то величиной смещения можно пренебречь, а дисперсию оценки АКП можно вычислять по формулам (5), (6) и (8) для известного среднего.

1.2. Интервальная оценка АКП

Если , то распределение оценки можно считать приближённо нормальным с параметрами и [1]. Тогда вероятность b попадания в интервал будет равна:

,

или 10)

Величина

нормально распределена с параметрами . Если введем обозначение , то вместо равенства (10) получим

. (11)

Величина для заданной вероятности легко находится по таблицам нормального закона распределения. Действительно, из интегрального нормального закона распределения в силу его симметрии имеем

.

Отсюда

,

и

Таким образом, интервальная оценка АКП равна:

, (12)

где является оценкой вычисляемой по формулам (5, 6, 8).

2. ОЦЕНКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ

Известны два эквивалентных классических непараметрических метода определения СПМ. Один из них основан на вычислении квадрата модуля прямого преобразования Фурье исходной реализации и носит название метода периодограмм. Другой метод использует преобразование Фурье предварительно вычисленной АКП и называется коррелограммным методом.

2.1. Периодограммная оценка СПМ

Рассмотрим сначала реализацию непре-

рывного СП с нулевым средним. Оценку СПМ этой реализации определим прямым преобразованием Фурье по соотношению

. (13)

Эта оценка СПМ является несостоятельной. Для получения состоятельной оценки используют периодограмму, которую определяют усреднением СПМ отдельных сегментов. Исходную реализацию разбивают на M сегментов, каждый из которых длины . После этого по формуле (13) находят оценки СПМ для каждого r-го сегмента. Оценку СПМ наблюдаемой реализации находят как среднеарифметическое

. (14)

Математическое ожидание оценки равно

,

т. е. она является смещенной и смещение тем больше, чем меньше L. Если предположить, что некоррелированы, то дисперсию оценки СПМ можно найти по формуле

,

причем

,

следовательно,

, (15)

,

т. е. оценка СПМ состоятельная – чем больше сегментов M, тем меньше дисперсия, но тем больше смещение .

Отметим, что уменьшение дисперсии оценки СПМ обратно пропорционально числу сегментов. Уменьшение дисперсии с увеличением числа сегментов будет несколько меньше в том случае, когда периодограммы отдельных сегментов оказываются статистически зависимыми.

Модифицированная периодограмма для реализации СВР. В этом случае оценка СПМ находится следующим образом. Для каждого сегмента находим коэффициенты дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ)

, . (16)

Величина , называемая периодограммой, вычисляется по формуле

, (17)

где частоты ДПФ. Оценка СПМ находится по формуле

. (18)

Для уменьшения дисперсии этой оценки СПМ нужно увеличить количество сегментов, не уменьшая длины каждого сегмента. Такое увеличение числа сегментов можно осуществить следующим образом. Исходную последовательность длины N разбивают на M сегментов длиной по L отсчетов, сдвинутых относительно друг друга на D отсчетов, например, на рис. 1 .

Сегменты связаны с исходной последовательностью соотношением

. (19)

Максимальное число сегментов будет определяться целой частью числа . Количество сегментов выбирается с учетом требуемой гладкости оценки СПМ и требуемой разрешающей способности по частоте. При малом L получается больше сегментов, что обеспечивает оценку с меньшей дисперсией, но с большим смещением и с меньшим разрешением.

Окна и их основные свойства. Дальнейшее улучшение свойств оценки возможно применением функции окна (windowing). Дискретное преобразование Фурье от окна называется частотной характеристикой окна.

Рассмотрим кратко влияние функции окна на свойства оценки СПМ. Пусть дана функция временного окна

(20)

Соответствующая частотная характеристика окна находится так

. (21)

Математическое ожидание оценки СПМ для отдельно взятого сегмента равно [4]

, (22)

где . Из формулы (22) следует, что математическое ожидание искомой оценки равно свертке истинной СПМ с квадратом модуля Фурье-преобразования от функции окна.

Рассмотрим влияние вида окна на смещение, разрешающую способность и дисперсию оценки СПМ. Формулы наиболее популярных окон приведены в [4], табл.18.2, а их графики во временной и частотной областях на рис. 2 и рис. 3.

Прямоугольное окно. Первый боковой лепесток частотной характеритики окна (рис. 3, кривая 1) имеет экстремум в точке 3π/2 и составляет 2/3π величины главного максимума. Если имеется крутой максимум СПМ на частоте ω, то в оценке появляются ложные максимумы на расстоянии от ω из-за совпадения боковых экстремумов с пиком СПМ. Это может привести к неверным выводам. Другим недостатком этого окна является его знакопеременность (первый боковой лепесток отрицательный), что приводит к отрицательным значениям СПМ. По указанным причинам прямоугольное окно применяется редко.

Ширина главного лепестка спектрального окна определяет минимальную ширину СПМ, взвешенной временным окном последовательности. Поскольку ДПФ является периодической функцией, то наложение боковых лепестков может увеличить смещение и маскировать присутствие компонентов малой мощности. Снижение максимумов боковых лепестков окон Бартлетта и Ханна способствует обнаружению слабых компонент СПМ исследуемого сигнала. Если СПМ содержит много мелких деталей, то для разрешения их нужно увеличивать длину сегментов при выбранном окне. Под разрешением понимается способность различать два локальных максимума в СПМ. Формальное определение разрешающей способности – насколько близкими должны быть две близко расположенные по частоте синусоиды, чтобы их спектральные отклики стали неразличимыми [4]. Разрешение примерно равно величине обратной ширине временного окна.

Уменьшение боковых лепестков уменьшает смещение, однако при этом увеличивается ширина главного лепестка, что ухудшает частотное разрешение. Нужен компромисс между шириной главного лепестка и уровнем максимума бокового лепестка. Например, прямоугольное окно имеет самую малую ширину главного лепестка, но очень большие медленно убывающие знакопеременные экстремумы боковых лепестков. Частотные характеристики окон Бартлетта, Ханна всюду положительны. Окно Хемминга не всюду положительно, однако первый боковой экстремум, имеющий отрицательное значение, составляет лишь около 0,021 от высоты главного лепестка. Именно это свойство оправдывает применение окна Хемминга.

Пусть выбран тип окна и его ширина. Для нахождения оценки СПМ по периодограмме нужно выполнить следующие действия. Каждый сегмент умножается на функцию этого окна и определяются коэффициенты БПФ по формуле

. (23)

Периодограмма вычисляется по формуле

, (24)

где – энергия окна. (25)

Оценка СПМ находится как среднее значение периодограмм отдельных сегментов

. (26)

Точность оценивания СПМ измеряется дисперсией. Если исследуемая последовательность нормально распределена, а СПМ является достаточно гладкой функцией на ширине спектрального окна, то дисперсия оценки описывается выражением [27]

, (27)

где

. (28)

2.2. Коррелограммная оценка СПМ

СПМ представляет собой дискретно-временное преобразование Фурье корреляционной функции:

, . (29) Оценка СПМ по конечной последовательности значений равна

(30) Оценка (30) является смещённой и несостоятельной. Для нахождения состоятельной оценки СПМ по оценке АКП наиболее часто употребляется метод корреляционных окон. Предположим, что мы ограничились L<N–1 значениями АКП, где L называется точкой усечения. При увеличении L растёт дисперсия оценки СПМ, а при уменьшении L увеличивается смещение оценки СПМ. Это противоречие – возможность уменьшения смещения только ценой большей дисперсии – занимает центральное место в оценивании СПМ и, пожалуй, всё, что можно сделать на практике, – это выбрать несколько различных значений L и для каждого из них вычислить СПМ. Из полученного множества выбирается та оценка, которая наиболее удовлетворяет физической сущности изучаемого процесса.

Ограничение L равносильно умножению оценки АКП на весовую функцию вида:

(31)

называемую прямоугольным корреляционным окном. Тогда оценка СПМ примет вид:

. (32)

Недостатком прямоугольного окна является то, что значения оценки СПМ при больших w могут быть отрицательными, т. е. не удовлетворять физической сущности СПМ. Лучших результатов можно достичь, используя окно, согласованное с видом АКП. В качестве таких окон используются окна Бартлетта, Тьюки-Хеннинга, Парзена, Даниэля и др. Наиболее часто используется простое треугольное окно Бартлетта, имеющее вид:

(33)

Так как АКП − чётная функция, то формулу (32) можно переписать в виде:

(34)

В расчётах удобно полагать и вычислять нормированную оценку СПМ Тогда

(35)

где – нормированная оценка АКП.

Для численных расчётов нужно задать шаг дискретности: Dw, т. е.

. (36)

Так как 0 £ w £ p, то удобно Dw выбрать кратным p :

Dw = p /F, (37)

где F = (23) L. С учётом введённых преобразований расчётная формула имеет вид:

(38)

После расчёта можно перейти к истинным масштабам частот и значений СПМ:

. (39)

Рекомендуется оценку СПМ находить для трех значений параметра окна L:

,

где равно числу сдвигов, соответствующему интервалу корреляции случайного временного ряда.

Дисперсия оценок. Поскольку оценки с корреляционными окнами схожи с оценкой по множеству отрезков, то и дисперсии должны быть одинаковыми по структуре. Можно доказать, что [5]

, (40)

где

(41)

энергия окна. Значения I, выраженные через параметр окна L, приведены в [4], табл.18.3. Например, для окна Бартлетта, величина I равна .

Поэтому

,

2.3. Интервальная оценка СПМ

В случае дискретного белого шума в [4] показано, (формула (18.69)), что величина имеет -распределение с двумя степенями свободы ( ). В случае корреляционных окон можно показать, что величина распределена как с степенями свободы,

где . (42)

Для интервальная оценка СПМ с доверительной вероятностью

(уровень значимости) определяется по формуле

. (43)

Отсюда получаем

,

т. е. интервальная оценка СПМ на уровне значимости определяется выражением

. (44)

Чем больше число степеней свободы , тем надёжнее оценка в смысле уменьшения дисперсии, но нужен разумный компромисс между числом степеней свободы и смещением .

Если число степеней свободы превышает 20, то интервальную оценку СПМ можно вычислять по приближенной формуле, считая, что оценка СПМ распределена нормально с параметрами , где величина оценивается по формуле (40). Тогда приближенная интервальная оценка будет определяться так

(45)

ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ

Отчет должен содержать следующие разделы:

1)  название и цель работы;

2)  номер варианта задания и исходные данные;

3)  краткие ответы на контрольные вопросы;

4)  таблицы значений теоретических, точечных и интервальных оценок АКП, СПМ и их графики;

5)  выводы по работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.  Объясните физический смысл АКП и СПМ.

2.  Докажите, что периодограммная оценка СПМ

идентична коррелограммной оценке СПМ

,

если смещенная АКП при максимальном числе возможных сдвигов.

3.  Почему распределение оценки АКП нормального случайного процесса отлично от нормального?

4.  Выполняются ли условия эргодичности стационарного случайного процесса по отношению к АКП и СПМ?

ЛИТЕРАТУРА

1.  , Каримов корреляционных функций в промышленных системах управления. – М.: Энергия, 1979. – 80 с.

2.  Каримов основы кибернетики / (СПИ). − Саратов, 1975. – 115 с.

3.  Каримов нестационарных случайных процессов в АСУ / (СПИ). − Саратов, 1986. – 80 с. (СПИ).

4.  Каримов экспериментальной информации.: Учеб. пособие. Ч.4. Анализ случайных процессов / СГТУ. Саратов, 2001. – 104 с.

5.  Спектральный анализ и его приложения. – М.: Мир, 1971, вып. 1, – 316 с., 1972, вып. 2. – 288 с.

6.  Марпл.-мл. спектральный анализ и его приложения. – М.: Мир, 1990. – 584.

	СОДЕРЖАНИЕ	Стр.
	Введение ………………………………………………...….	3
	Задание ………………………………….........................….	3
	Теоретические сведения.....................…………………….	4
1	Оценка автокорреляционной функции……..………….…..	4
1.1.	Точечная оценка АКП..................................…………...….	4
1.2.	Интервальная оценка АКП …...........…………………...…	6
2.	Оценка спектральной плотности мощности ........................	7
2.1.	Периодограммная оценка СПМ…………………………….	7
2.2.	Коррелограмма оценка СПМ................................................	12
2.3.	Интервальная оценка СПМ …...............................................	14
	Требования к отчету ...........................................................	15
	Контрольные вопросы ..........................................................	15
	Литература .............................................................................	16

Каримов

КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНОГО

АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Методические указания к выполнению

лабораторной работы

Компьютерный набор и редакция автора

Темплан 2004 г., поз. № 000. Подписано в печать г.

Формат 60 ´ 84, 1/16. Бумага потребительская. Усл. печ. л. 1,06.

Усл. авт. л. 0,88. Тираж 60 экз. Заказ

Волгоградский государственный технический университет.

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета.

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

Отпечатано в типографии «Новый ветер», ПБОЮЛ

Волгоградская обл., /1.

[1] Будем полагать, что шаг дискретности выбран в соответствии с условиями теоремы Котельникова.