Лекция 1.
Иррациональные уравнения и неравенства.
1.Иррациональные уравнения.
Определение: Уравнение f(х)=0 называют иррациональным, если в нём над х совершаются арифметические операции, возведение в целую степень и обязательно операция извлечения корня.
Корнем п-й степени из числа х называется такое число у, п-я степень которого равна х.
Если п - нечётное число, то такое число у по любому х определяется единственным образом. Например, 
=2, 
=-2.
Если же п-чётное число, то для каждого числа х> 0 существует два значения у таких, что уп =х. Например, 22 = (-2)2 =4, 34 =(-3)4 =81 и т. д.
Основным иррациональным уравнением является уравнение 
=а. Уравнение имеет единственное решение х = ап, если п нечётное число и а
0 и не имеет решений при а <0.
При решении иррациональных уравнений придётся возводить в целую степень обе части. Это может дать «лишние» корни. Все преобразования исходного уравнения должны быть эквивалентны, или допускать при решении появления следствий.
Рассмотрим метод возведения в целую степень. Этот метод применяется для того, чтобы уменьшить число радикалов, входящих в уравнение. При этом учитывают возможные изменения в области определения уравнения. Проиллюстрируем метод на нескольких примерах.
1. Решить уравнение
1-2
= х
Проследим за эквивалентностью преобразования уравнения:
1-2 = х
1 – х = 2 ОДЗ: 1 – х ≥ 0
( 1 − х )2 =( 2 )2 х ≤ 1
1 − 2х + х2 =4 + 20х
х2 – 22х – 3 =0
Вспомогательный счёт: решение квадратного уравнения
Д = ∙1∙(- 3)=496
Х1,2 =(22±
):2=11±
Х1 =11− 
≤ 1
Х2 =11
не принадлежит ОДЗ, т. е. является посторонним корнем.
Ответ: 11−
2. Решить уравнение
+ 
= 8
Множество допустимых значений х находится просто: - 78≤ х≤628. Возведём обе части в четвёртую степень по формуле (а + в)4=а4 +в4+ 4ав(а+в)2 – 2а2в2.
Имеем
84 = 628 – х+ 78 +4 
∙ 82 – 2 
,
или, положив 
, у≥0,
получим: -2у2 + 256у – 3390 =0, или у2 -128у +1695 =0,
Далее: Д= 2401 и у1 =15, у2= 113
В силу того, что у≥ 0, следует рассмотреть оба корня. Переходим к исходной переменной.
Случай 1. 
Возведём обе части уравнения в четвёртую степень, и после приведения подобных слагаемых получим квадратное уравнение, решив его, получим корни х1 =3, х2 =547
Случай 2.
= 113
Возведём в четвёртую степень, получим квадратное уравнение дискриминант, которого отрицателен, т. е. уравнение не имеет корней.
Ответ: х1 =3, х2 =547.
Рассмотрим следующий метод подстановки. Общая идея метода подстановки состоит в следующем. Пусть дано уравнение f(х) = 0
Представим функцию f (х) =g(h(x))
Тогда уравнение примет вид g(h(x)) =0 и мы переписываем в виде специальной системы уравнений
1) у= g(x)
2) h(y)=0
Таким образом, решение уравнения методом подстановки содержит три этапа:
1 этап: введение новой переменной у= g(x)
2 этап: преобразование уравнения f(х) = 0
h(y)=0
3 этап: возвращение к исходной переменной х посредством решения уравнений g(x)=уj, j=1, 2, 3,…
Проиллюстрируем эту схему на примере
Решить уравнение
+6 
=5
В силу того, что в первом слагаемом в левой части уравнения радикалы отделены друг от друга, имеем 
х > -1
При этом условии уравнение принимает вид системы 
+
=5
В этом уравнении сделаем замену = у, (у > 0)
Получим у + 
= 5, или у2 – 5у + 6 = 0
Тогда очевидно, что у = 2 или у = 3. Вернёмся к исходной переменной х/
Случай 1. 
= 4,
< = > 
Случай 2. 
= 9
< = > 
Ответ: решений нет.
2.Иррациональные неравенства.
Определение. Неравенство f (x) =0 называется иррациональным, если над х совершаются, лишь арифметические операции, возведение в целую степень и обязательно извлечение корня.
1 тип. 
≥ h(x) < = > f(x) ≥ (h(x))2n +1
2 тип. ≤ h(x) < = > f(x) ≤ (h(x))2n +1
3 тип.
≥ h(x) < = > 1) 
2) 
2n
4 тип. 
≤ h(x) < = > 
2n
Проиллюстрируем сказанное на нескольких примерах.
1.Решить неравенство. 
≥ - 22
Функция 
принимает лишь неотрицательные значения при всех допустимых значениях переменной х. Поэтому наше неравенство эквивалентно неравенству 
≥0, которое решается методом интервалов.
Ответ: х 
] 
(8, +
) {
2.Решить неравенство. 
< 2
Обе части неравенства неотрицательны. Поэтому их можно возвести в квадрат и получить эквивалентное неравенство на множестве допустимых значений х. Имеем
< = > 
< = > 
< = >
< = > 
= > Ответ: х
3. Решить неравенство 
< 2+ х
Это неравенство вида, когда неотрицательная функция меньше другой функции 2 + х. Следовательно, необходимо 18 - х≥ 0 и 2 + х >0. При этих условиях обе части неравенства можно возводить в квадрат. Это значит, что наше неравенство эквивалентно следующей системе неравенств
2
Или, продолжая эквивалентные преобразования, получаем:
< = > 
< = > 
< = > (2;18]
Ответ: (2;18]
4. Решить неравенство.3 – х 
Это неравенство имеет тип, когда некоторая функция меньше другой неотрицательной функции. Поэтому следует рассмотреть два случая.
Случай 1.
< = > 
< = > х
Случай 2.
< = > 
< = > 
< = >
< = > 
Квадратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант. Следовательно, неравенство второй степени определяет пустое множество. Но тогда вся система не имеет решений. Общим решением неравенства будет пустое множество.
Ответ: нет решений.
Вопросы и задания
1.Решите уравнения.
а) 
+ 
=6
б) 
в)
+
=
г)
+4
=5
д)
+ 
=5
е)
+4
=5
2. Решите неравенства.
а) 
+ х
б)
<1
в)
<2
